Una lista de 40 calificaciones es difícil de leer. Una tabla de frecuencias agrupa los datos en intervalos y cuenta cuántos caen en cada uno, y un histograma convierte esos conteos en barras. En segundos puedes ver dónde se concentra la mayoría, qué tan dispersos están los datos y si algo se ve raro.
Aquí aprenderás a construir las dos cosas a partir de datos sin procesar, a elegir el ancho de clase y a interpretar el resultado. El histograma interactivo te deja cambiar el ancho y los datos para ver cómo se rehace la figura.
Qué contiene una tabla de frecuencias
- Clase (intervalo): un rango de valores, como 70 a 79.99.
- Frecuencia (f): cuántos datos caen en la clase.
- Frecuencia relativa: $latex f/n$, la fracción de todos los datos que está en la clase. Multiplica por 100 para obtener un porcentaje.
- Frecuencia acumulada: el total corrido de las frecuencias, que dice cuántos datos hay hasta el límite superior de cada clase.
- Ancho de clase: el límite superior menos el límite inferior de una clase.
Las clases no deben traslaparse y deben cubrir todos los datos. Una convención común es incluir el límite inferior y excluir el superior, que se escribe $latex [70,80)$. Así el 70 pertenece a $latex [70,80)$ y el 80 a la clase siguiente.
Cómo construirla paso a paso
- Calcula el rango: el dato mayor menos el menor.
- Elige el número de clases $latex k$. Una guía común es la regla de Sturges, $latex k\approx 1+\log_2 n$, o la raíz cuadrada de $latex n$. Entre 5 y 12 clases sirve para la mayoría de los datos de clase.
- Divide el rango entre $latex k$ y redondea hacia arriba a un número cómodo. Ese es el ancho de clase.
- Empieza en un número redondo igual o menor que el mínimo y escribe los intervalos. Asegúrate de que el máximo quepa en el último.
- Marca con rayitas los datos y cuéntalos para obtener cada frecuencia.
- Agrega las frecuencias relativa y acumulada. Comprueba que las frecuencias sumen $latex n$.
Toma 20 calificaciones de un quiz: 55, 62, 64, 67, 68, 70, 71, 73, 74, 75, 76, 78, 79, 81, 83, 84, 86, 88, 92, 95. La menor es 55 y la mayor es 95, así que el rango es 40. Sturges da $latex 1+\log_2 20\approx 5.3$, o sea unas 5 clases, y $latex 40/5=8$ se redondea a un ancho de 10. Empezando en 50:
| Clase | Conteo | Frecuencia | Frecuencia relativa | Porcentaje | Acumulada |
|---|---|---|---|---|---|
| [50, 60) | | | 1 | 0.05 | 5% | 1 |
| [60, 70) | |||| | 4 | 0.20 | 20% | 5 |
| [70, 80) | ||||| ||| | 8 | 0.40 | 40% | 13 |
| [80, 90) | ||||| | 5 | 0.25 | 25% | 18 |
| [90, 100) | || | 2 | 0.10 | 10% | 20 |
Las frecuencias suman 20, y la columna acumulada termina también en 20, que es la comprobación.
¿Histograma o gráfica de barras?
Un histograma se parece a una gráfica de barras, pero no es lo mismo. La gráfica de barras compara categorías separadas (fruta favorita, ciudad), así que sus barras tienen espacio entre sí y pueden ir en cualquier orden. El histograma muestra cómo se distribuyen datos numéricos sobre una recta, así que sus barras se tocan, siguen el orden de los valores y el ancho de cada barra es el ancho de clase.
Con anchos de clase iguales, la altura de la barra es proporcional a la frecuencia. Si alguna vez usas anchos distintos, grafica la densidad $latex f/\text{ancho}$, para que el área de la barra, y no su altura, represente el conteo.
Construye un histograma y cambia el ancho de clase
Los datos iniciales son 40 calificaciones de un examen. Mueve el control del ancho y mira cómo se rehacen las barras y la tabla. Con ancho 1 solo ves ruido, con ancho 46 todo queda en una barra y con anchos cercanos a 8 o 10 se entiende la historia. Pega tus propios números en el cuadro o cambia a frecuencia relativa para ver porcentajes.
Construye un histograma: cambia el ancho de clase
Las barras y la tabla se rehacen al mover el control o editar los datos. Cada clase incluye su límite inferior y deja fuera el superior.
Cómo interpretar un histograma
- Centro: dónde están las barras más altas. La clase más alta es la clase modal.
- Dispersión: cuánto se extienden las barras de izquierda a derecha.
- Forma: simétrica, sesgada o con varios picos (mira abajo).
- Huecos y barras aisladas: posibles valores atípicos o dos grupos mezclados.
En un histograma sesgado a la derecha la cola larga apunta a la derecha, como en los ingresos o los tiempos de espera, y la media suele ser mayor que la mediana. En uno sesgado a la izquierda la cola apunta a la izquierda. Dos picos suelen indicar dos grupos mezclados en un mismo conjunto de datos, como las estaturas de adultos de ambos sexos.
Cómo elegir el ancho de clase
Con muy pocas clases se esconde la forma. Con demasiadas, el histograma queda dentado, porque cada barra tiene solo uno o dos datos. No hay una única respuesta correcta: empieza con Sturges o con la raíz cuadrada y ajusta. Para las 40 calificaciones de arriba, Sturges sugiere $latex \lceil 1+\log_2 40\rceil = 7$ clases, un ancho cercano a 6.6, y un ancho de 10 da una imagen más limpia con 5 clases. Usa la Calculadora de media, mediana y moda para obtener antes el rango y el centro de tus datos.
Ejemplos resueltos
EJEMPLO 1
Con las 20 calificaciones de la tabla, ¿qué porcentaje sacó 80 o más?
Las clases $latex [80,90)$ y $latex [90,100)$ tienen 5 y 2 datos, así que $latex \frac{5+2}{20}=\frac{7}{20}=0.35$, o sea 35%.
EJEMPLO 2
¿Cuántas calificaciones fueron menores que 70?
Lee la columna acumulada en la clase $latex [60,70)$: 5 calificaciones, que son 25% de los datos.
EJEMPLO 3
¿Qué clase contiene la mediana y cuál es la clase modal?
Con 20 datos, la mediana está entre el 10.º y el 11.º. La frecuencia acumulada llega a 5 en $latex [60,70)$ y a 13 en $latex [70,80)$, así que la mediana está en $latex [70,80)$. Esa clase también tiene la mayor frecuencia (8), por lo que es la clase modal.
EJEMPLO 4
Estima la media a partir de la tabla.
Usa la marca de clase (el punto medio: 55, 65, 75, 85, 95) como valor representativo: $latex \bar{x}\approx\frac{55(1)+65(4)+75(8)+85(5)+95(2)}{20}=\frac{1530}{20}=76.5$.
La media exacta de los datos originales es 76.05. La estimación agrupada se acerca, y la pequeña diferencia es el precio de agrupar.
Errores comunes
- Clases que se traslapan. Escribir 60 a 70 y 70 a 80 mete el 70 en dos clases. Decide qué extremo se incluye.
- Dejar espacios entre las barras. Las barras de un histograma se tocan, porque los datos son continuos sobre el eje.
- Anchos de clase desiguales sin ajustar. Las barras anchas y altas engañan. Usa la densidad o mantén los anchos iguales.
- Dejar fuera el máximo. Si la última clase termina por debajo del dato mayor, las frecuencias no suman $latex n$.
- Empezar el eje vertical por encima de cero. Las barras deben partir de 0 para que sus alturas se comparen con honestidad.
- Tomar la forma como la verdad absoluta. Distintos anchos y puntos de inicio cambian la imagen, así que revisa más de uno.
Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1
Los datos van de 12 a 87 y quieres 6 clases. Encuentra un ancho de clase cómodo y escribe los límites.
Solución
El rango es $latex 87-12=75$ y $latex 75/6=12.5$. Redondea a un ancho cómodo como 15. Empezando en 10: $latex [10,25)$, $latex [25,40)$, $latex [40,55)$, $latex [55,70)$, $latex [70,85)$, $latex [85,100)$. Esas seis clases cubren de 12 a 87.
EJERCICIO 2
Construye una tabla de frecuencias para 3, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 12, 13, 15 con clases de ancho 4 que empiecen en 2.
Solución
$latex [2,6)$: 3, 5, o sea 2. $latex [6,10)$: 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, o sea 7. $latex [10,14)$: 10, 11, 12, 12, 13, o sea 5. $latex [14,18)$: 15, o sea 1. El total es 15.
EJERCICIO 3
Con las clases $latex [30,40)$ y $latex [40,50)$, ¿en qué clase va el valor 40?
Solución
En $latex [40,50)$, porque cada clase incluye su límite inferior y excluye el superior.
EJERCICIO 4
Una tabla de 40 datos tiene frecuencias 4, 9, 15, 8, 4. Calcula las frecuencias relativas y acumuladas, y el porcentaje de datos hasta el final de la tercera clase.
Solución
Relativas: $latex 0.10, 0.225, 0.375, 0.20, 0.10$, o sea 10%, 22.5%, 37.5%, 20%, 10%. Acumuladas: 4, 13, 28, 36, 40.
Hasta la tercera clase hay 28 de 40 datos: $latex 28/40=0.70$, o sea 70%.
EJERCICIO 5
Un histograma tiene frecuencias 20, 14, 8, 5, 3, 1 de izquierda a derecha. Describe su forma.
Solución
La barra más alta está a la izquierda y las barras bajan despacio hacia la derecha, así que está sesgado a la derecha. La media será mayor que la mediana.
EJERCICIO 6
Estima la media con las clases $latex [0,10)$, $latex [10,20)$, $latex [20,30)$ y frecuencias 5, 10, 5.
Solución
Marcas de clase 5, 15, 25: $latex \bar{x}\approx\frac{5(5)+15(10)+25(5)}{20}=\frac{300}{20}=15$.
Preguntas frecuentes
¿Cuántas clases debe tener un histograma?
Entre 5 y 12 para datos de clase. Parte de la regla de Sturges o de la raíz cuadrada de n y ajusta hasta que la forma se vea clara sin demasiado ruido.
¿Cuál es la diferencia entre un histograma y una gráfica de barras?
La gráfica de barras compara categorías, así que sus barras van separadas y se pueden reordenar. El histograma muestra datos numéricos en intervalos ordenados, así que sus barras se tocan.
¿Las clases pueden tener anchos distintos?
Sí, pero entonces el área de cada barra, y no su altura, debe representar la frecuencia. Para empezar, los anchos iguales son más simples y seguros.
¿Por qué cambió mi histograma al cambiar el ancho?
Porque agrupar esconde detalles. Las dos imágenes son correctas, pero resaltan cosas distintas. Prueba varios anchos antes de concluir algo.
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