Series y sumatorias – Ejercicios resueltos

Podemos encontrar los términos de la serie al usar el valor de r en la expresión $latex r(r+1)$ empezando desde $latex r=1$ hasta $latex r=5$:

• Cuando $latex r=1$, tenemos $latex (1)(1+1)=2$
• Cuando $latex r=2$, tenemos $latex (2)(2+1)=6$
• Cuando $latex r=3$, tenemos $latex (3)(3+1)=12$
• Cuando $latex r=4$, tenemos $latex (4)(4+1)=20$
• Cuando $latex r=4$, tenemos $latex (5)(5+1)=30$

Entonces, los términos de la serie son $latex 2+6+12+20+30$.

En este caso, sustituimos el valor de $latex r=1$ hasta $latex r=7$ en la expresión $latex (\frac{(-1)^{r-1}}{r})$:

• Cuando $latex r=1$, tenemos $latex (\frac{(-1)^{1-1}}{1})=1$
• Cuando $latex r=2$, tenemos $latex (\frac{(-1)^{2-1}}{2})=-\frac{1}{2}$
• Cuando $latex r=3$, tenemos $latex (\frac{(-1)^{3-1}}{3})=\frac{1}{3}$
• Cuando $latex r=4$, tenemos $latex (\frac{(-1)^{4-1}}{4})=-\frac{1}{4}$
• Cuando $latex r=5$, tenemos $latex (\frac{(-1)^{5-1}}{5})=\frac{1}{5}$
• Cuando $latex r=6$, tenemos $latex (\frac{(-1)^{6-1}}{6})=-\frac{1}{6}$
• Cuando $latex r=7$, tenemos $latex (\frac{(-1)^{7-1}}{7})=\frac{1}{7}$

Entonces, los términos de la serie son

$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$$

Esta es una serie escrita como $latex S_{4}$, que es la suma de los primeros cuatro términos. Usando sumatorias, tenemos:

$$S_{4}=\sum_{r=1}^{4}(-1)^r~3^{r+1}$$

$$=(-1)3^2+(-1)^23^3+(-1)^33^4+(-1)^43^5$$

$latex =-3^2+3^3-3^4+3^5$

$latex S_{4}=180$

La suma de los primeros cuatro términos es igual a 180.

Esta serie puede ser formada usando la expresión $latex \frac{1}{r}$, en donde r incrementa por 1 en cada término consecutivo.

Además, podemos observar que la serie empieza en $latex r=3$ y termina en $latex r=20$. Entonces, la escribimos de la siguiente forma:

$$\sum_{r=3}^{20}\frac{1}{r}$$

Tal vez no podamos identificar al patrón de la serie a primera vista. Sin embargo, podemos considerar una serie en la que sus términos son definidos por $latex u_{r}=r^2$:

$latex 1+4+9+16+25$

Comparando esta serie con la serie dada, observamos que si restamos 2 a cada término de la serie definida, obtenemos la serie requerida. Entonces, tenemos la expresión $latex u_{r}=r^2-2$.

Usando notación sigma, tenemos:

$$\sum_{r=1}^{5}(r^2-2)$$

Esta es una serie infinita, ya que está indicado que la serie continúa indefinidamente.

Si es que ignoramos el signo negativo, vemos que cada término incrementa por 1. Entonces, el término r de la serie $latex 6+7+8+9+…$ está dado por $latex u_{r}=r+5$.

Ahora, podemos multiplicar por $latex (-1)^{r-1}$, ya que esta expresión nos da el signo alternante. Entonces, tenemos:

$latex u_{r}=(-1)^{r-1}(r+5)$

Cuando $latex (r+1)$ es par, el signo es positivo y cuando $latex (r+1)$ es impar, el signo es negativo.

Por lo tanto, en notación sigma, tenemos:

$$\sum_{r=1}^{\infty}(-1)^{r+1}(r+5)$$

En este caso, también es posible escribir a la serie de la siguiente forma:

$$\sum_{r=5}^{\infty}(-1)^{r+1}(r+1)$$

Similar al ejercicio anterior, aquí también tenemos un signo negativo alternante. Entonces, podemos implementar esto usando la expresión $latex (-1)^{r+1}$.

Si es que ignoramos el signo negativo, vemos que los términos son formados por potencias del 2. Es decir, tenemos $latex 2^2+2^3+2^4+…$.

Entonces, los términos son hallados con la expresión $latex (2)^{r+1}$ empezando desde $latex r=1$ hasta $latex r=9$. Por lo tanto, en notación sigma, tenemos:

$$\sum_{r=1}^{9}(-2){r+1}$$

Los términos de esta serie son formados usando la expresión $latex \frac{r}{r^2-1}$, en donde r incrementa por 1 en cada término consecutivo.

En este caso, los límites van desde $latex r=5$ hasta $latex r=n$. Entonces, usando notación sigma, tenemos:

$$\sum_{r=5}^{n}\frac{r}{r^2-1}$$

Este ejercicio es similar al anterior, ya que podemos usar el último término dado para obtener la expresión de la sumatoria fácilmente. Es decir, tenemos $latex \frac{r}{(r+1)(r+2)}$

Además, observamos que la serie va desde $latex r=1$ hasta $latex r=n$. Entonces, la escribimos de la siguiente forma:

$$\sum_{r=1}^{n}\frac{n}{(n+1)(n+2)}$$

Primero, observamos que la serie tiene signos negativos alternantes, por lo que sabemos que vamos a usar la expresión $latex (-1)^{r+1}$ para implementar esto.

Luego, vemos que cada término es una multiplicación de dos números. Entonces, buscamos una expresión para cada parte en términos de r.

La primera parte puede ser obtenida usando $latex (2r-1)$ y la segunda parte puede ser obtenida con $latex (3r+1)$.

Por último, observamos que la serie va desde $latex r=1$ hasta $latex r=15$. Entonces, combinando todo esto, tenemos:

$$\sum_{r=1}^{15}(-1)^{r+1}(2r-1)(3r+1)$$