La media dice dónde está el centro de los datos, pero no qué tan dispersos están. Dos grupos pueden tener media 80 y ser muy distintos: en uno todos sacaron entre 70 y 90, y en el otro las calificaciones van de 60 a 100. La varianza y la desviación estándar miden esa dispersión con un solo número.
Aquí verás cómo calcular las dos paso a paso, por qué se elevan las distancias al cuadrado, qué hace el $latex n-1$ en la versión para muestras y cómo interpretar el resultado. La figura interactiva dibuja los cuadrados detrás de la fórmula para que veas qué se está promediando.
Por qué no basta la media
El grupo A sacó 70, 75, 80, 85, 90. El grupo B sacó 60, 70, 80, 90, 100. Las dos medias son 80, pero B está claramente más disperso. Las desviaciones estándar lo dicen con números: 7.07 para A y 14.14 para B.
Desviaciones, varianza y desviación estándar
La desviación de un dato es su distancia a la media, $latex x-\bar{x}$. No se pueden promediar las desviaciones sin más, porque siempre suman 0: las positivas cancelan a las negativas. Elevar cada desviación al cuadrado arregla los signos y da más peso a los datos lejanos.
- La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado.
- La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Regresa a las unidades de los datos (puntos, centímetros, pesos), mientras que la varianza está en unidades al cuadrado.
Para una población (todos los datos del grupo), con media $latex \mu$ y $latex N$ datos:
$latex \sigma^2=\frac{\sum (x-\mu)^2}{N} \qquad \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
Para una muestra (algunos datos tomados de un grupo mayor), con media $latex \bar{x}$ y $latex n$ datos:
$latex s^2=\frac{\sum (x-\bar{x})^2}{n-1} \qquad s=\sqrt{s^2}$
Mira los cuadrados
Cada cuadrado azul tiene como lado la distancia de un dato a la media, así que su área es esa desviación al cuadrado. El cuadrado naranja con línea punteada es el "cuadrado promedio": su área es la varianza y, por tanto, su lado es la desviación estándar. Arrastra un punto lejos de los demás y mira crecer el cuadrado naranja. Cambia a $latex n-1$ para ver la versión muestral.
Mira los cuadrados detrás de la desviación estándar
Arrastra un punto o escribe tus propios números. Cada cuadrado azul tiene como lado una distancia a la media, así que su área es esa distancia al cuadrado.
Paso a paso
- Calcula la media: suma los datos y divide entre cuántos son.
- Resta la media a cada dato para obtener las desviaciones.
- Eleva cada desviación al cuadrado.
- Suma los cuadrados. Es la suma de cuadrados.
- Divide entre $latex N$ (población) o entre $latex n-1$ (muestra). Es la varianza.
- Saca la raíz cuadrada. Es la desviación estándar.
Este es todo el proceso para la población 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. La media es $latex \mu=\frac{40}{8}=5$.
| x | x − 5 | (x − 5)² |
|---|---|---|
| 2 | -3 | 9 |
| 4 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | 1 |
| 5 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 |
| 7 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 16 |
| Total | 0 | 32 |
La suma de cuadrados es $latex 32$. Dividimos entre $latex N=8$: $latex \sigma^2=\frac{32}{8}=4$. Luego $latex \sigma=\sqrt{4}=2$.
Población o muestra: ¿N o n − 1?
Usa $latex N$ cuando tus datos son todos los que te interesan, como las 30 personas de un salón. Usa $latex n-1$ cuando los datos son una muestra para estimar un grupo mayor, como 30 votantes elegidos de toda una ciudad.
La razón del $latex n-1$ es que la media muestral se calcula con los mismos datos, así que queda más cerca de ellos que la media verdadera. Las desviaciones medidas desde $latex \bar{x}$ salen un poco pequeñas en promedio, y dividir entre un número algo menor lo corrige. Otra forma de verlo: una vez fijada la media, solo $latex n-1$ desviaciones pueden variar libremente, porque la última debe hacer que todas sumen 0.
Con muestras grandes la diferencia se borra. Para $latex n=100$ las dos desviaciones estándar difieren cerca de 0.5%. Las calculadoras suelen mostrar ambas, como σ y s. La Calculadora de desviación estándar da las dos, y la Calculadora de media, mediana y moda da la media y el rango.
Una fórmula corta
Al desarrollar el cuadrado sale una versión que se salta las desviaciones:
$latex \sigma^2=\frac{\sum x^2}{N}-\mu^2$
Para 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9: $latex \sum x^2=232$, así que $latex \sigma^2=\frac{232}{8}-5^2=29-25=4$. Mismo resultado. Es útil en exámenes, pero resta dos números grandes y parecidos, así que conserva todos los decimales para evitar errores de redondeo.
Cómo interpretar la desviación estándar
- Usa las mismas unidades que los datos. Una desviación estándar de 10 puntos significa que una calificación típica está a unos 10 puntos de la media.
- Un valor mayor significa más dispersión. Vale 0 solo cuando todos los datos son iguales y nunca puede ser negativa.
- Sumar el mismo número a todos los datos no la cambia. Multiplicar todos los datos por $latex k$ la multiplica por $latex |k|$.
- Los valores atípicos pesan mucho, porque su distancia se eleva al cuadrado. En datos con forma de campana, cerca de 68% de los valores cae a una desviación estándar de la media y cerca de 95% a dos.
Ejemplos resueltos
EJEMPLO 1
Los datos 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 son una muestra. Calcula la varianza y la desviación estándar muestrales.
La media es 5 y la suma de cuadrados es 32 (mira la tabla de arriba). Con $latex n=8$: $latex s^2=\frac{32}{7}=4.571$.
$latex s=\sqrt{4.571}=2.138$. La desviación estándar muestral es 2.138, un poco mayor que el valor poblacional 2.
EJEMPLO 2
Calcula la desviación estándar poblacional de 6, 8, 10, 12, 14.
Media: $latex \frac{50}{5}=10$. Desviaciones: $latex -4,-2,0,2,4$. Cuadrados: $latex 16,4,0,4,16$, que suman 40.
$latex \sigma^2=\frac{40}{5}=8$ y $latex \sigma=\sqrt{8}=2.828$. Si fuera una muestra, $latex s^2=\frac{40}{4}=10$ y $latex s=3.162$.
EJEMPLO 3
Compara el grupo A (70, 75, 80, 85, 90) con el grupo B (60, 70, 80, 90, 100). Las dos medias son 80.
Grupo A: las desviaciones al cuadrado $latex 100,25,0,25,100$ suman 250, así que $latex \sigma^2=50$ y $latex \sigma=7.07$.
Grupo B: las desviaciones al cuadrado $latex 400,100,0,100,400$ suman 1000, así que $latex \sigma^2=200$ y $latex \sigma=14.14$.
El grupo B tiene exactamente el doble de desviación estándar: sus calificaciones están el doble de dispersas.
EJEMPLO 4
¿Cuánto cambia el resultado por un valor atípico? Compara 10, 12, 11, 13, 12 con 10, 12, 11, 13, 40.
El primer conjunto tiene media 11.6 y $latex \sigma=1.02$.
Al cambiar un valor a 40, la media pasa a 17.2 y la desviación estándar a $latex \sigma=11.44$, unas 11 veces mayor. Un solo valor extremo domina la suma de cuadrados.
Errores comunes
- Dividir entre el número equivocado. Población: $latex N$. Muestra: $latex n-1$. Revisa cuál pide tu problema.
- Sumar las desviaciones sin elevarlas al cuadrado. Siempre suman 0.
- Olvidar la raíz cuadrada. La varianza está en unidades al cuadrado. La desviación estándar es la raíz.
- Redondear la media demasiado pronto. Usa la media exacta al restar.
- Elevar la suma al cuadrado en lugar de sumar los cuadrados. $latex (\sum x)^2$ no es $latex \sum x^2$.
- Esperar un resultado negativo. Una varianza o una desviación estándar negativa indica un error.
Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1
Calcula la varianza y la desviación estándar poblacionales de 12, 15, 18, 21, 24.
Solución
La media es 18. Desviaciones: $latex -6,-3,0,3,6$. Cuadrados: $latex 36,9,0,9,36$, suma 90.
$latex \sigma^2=\frac{90}{5}=18$ y $latex \sigma=\sqrt{18}\approx 4.243$.
EJERCICIO 2
Calcula la desviación estándar muestral de 4, 8, 6, 5, 3, 4.
Solución
La media es 5. Desviaciones: $latex -1,3,1,0,-2,-1$. Cuadrados: $latex 1,9,1,0,4,1$, suma 16.
$latex s^2=\frac{16}{5}=3.2$ y $latex s=\sqrt{3.2}\approx 1.789$.
EJERCICIO 3
Una suma de desviaciones al cuadrado es 108 para 10 datos. Calcula la varianza si los datos son (a) una población, (b) una muestra.
Solución
(a) $latex 108/10=10.8$. (b) $latex 108/9=12$.
EJERCICIO 4
Sin calcular, ¿cuál tiene mayor desviación estándar: 20, 22, 24, 26, 28 o 20, 21, 22, 23, 24? Luego compruébalo.
Solución
El primer conjunto está el doble de disperso (pasos de 2 en lugar de 1). Comprobación: $latex \sigma=2.83$ contra $latex \sigma=1.41$.
EJERCICIO 5
Usa la fórmula corta para 1, 2, 3, 4, 5 (población).
Solución
$latex \sum x^2=55$, $latex \mu=3$. $latex \sigma^2=\frac{55}{5}-3^2=11-9=2$, así que $latex \sigma=\sqrt{2}\approx 1.414$.
EJERCICIO 6
Los datos 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 tienen desviación estándar 2. ¿Qué le pasa si (a) sumas 10 a cada dato, (b) multiplicas cada dato por 3?
Solución
(a) Nada: sigue en 2, porque todas las distancias a la media quedan igual. (b) Se triplica a 6 y la varianza pasa a 36.
Preguntas frecuentes
¿Por qué se elevan al cuadrado las desviaciones y no se usan valores absolutos?
Los valores absolutos también dan una medida válida (la desviación media). Se usan cuadrados porque funcionan bien en álgebra y cálculo, y están en la base de muchas otras fórmulas de estadística.
¿La desviación estándar puede ser 0?
Sí, cuando todos los datos son iguales. Entonces no hay dispersión.
¿Una desviación estándar grande es mala?
Depende del contexto. Solo indica que los datos están dispersos. Una desviación de 15 minutos es grande para el horario de un tren y mínima para un maratón.
En un examen, ¿uso N o n − 1?
Lee el enunciado. Si los datos son todo el grupo, divide entre N. Si son una muestra para estimar un grupo mayor, divide entre n − 1. Cuando el problema no dice, muchos libros tratan una lista de datos como muestra.
Calculadoras relacionadas
- Calculadora de desviación estándar
- Calculadora de media, mediana y moda
- Calculadora de promedio ponderado
- Calculadora de porcentajes
Puedes explorar más herramientas en el listado de calculadoras.