La probabilidad pone un número a qué tan posible es algo. Va de 0 (no puede pasar) a 1 (siempre pasa) y se escribe como fracción, decimal o porcentaje. Una moneda justa cae en cara con probabilidad $latex \frac{1}{2}$, 0.5 o 50%, y las tres formas dicen lo mismo.
Aquí las ideas van en orden: espacio muestral, eventos, la fórmula básica, el complemento, la regla de la suma y los eventos independientes, con dados, monedas y cartas. Dos herramientas interactivas te dejan contar resultados en una cuadrícula y ver cómo los ensayos al azar se acercan al valor teórico.
Experimentos, resultados y espacio muestral
Un experimento aleatorio es un proceso cuyo resultado no se puede predecir con certeza, aunque se conocen todos los resultados posibles. Cada resultado posible es un resultado (o caso). El conjunto de todos ellos es el espacio muestral, que se escribe $latex S$.
- Una moneda: $latex S=\{C,X\}$ (cara y cruz), 2 resultados.
- Un dado: $latex S=\{1,2,3,4,5,6\}$, 6 resultados.
- Dos monedas: $latex S=\{CC,CX,XC,XX\}$, 4 resultados.
- Dos dados: 36 pares ordenados, de $latex (1,1)$ a $latex (6,6)$.
- Una baraja inglesa: 52 cartas, 4 palos (corazones y diamantes son rojos, tréboles y picas son negros) con 13 valores cada uno (A, 2 a 10, J, Q, K). Las J, Q y K son las 12 figuras.
Contar bien el espacio muestral es la mitad de cualquier problema de probabilidad. Si los dados se distinguen, $latex (2,5)$ y $latex (5,2)$ son resultados distintos.
Eventos y la fórmula básica
Un evento es un conjunto de resultados que nos interesa. "El dado muestra un número par" es el evento $latex A=\{2,4,6\}$. Cuando todos los resultados son igual de probables:
$latex P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}=\frac{n(A)}{n(S)}$
- $latex 0 \le P(A) \le 1$ siempre. Un evento imposible tiene probabilidad 0 y uno seguro tiene probabilidad 1.
- Las probabilidades de todos los resultados del experimento suman 1.
Para el número par en un dado, $latex P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
La frase "igual de probables" importa. Con dos dados, la suma 7 es mucho más probable que la suma 2, porque el 7 sale de seis maneras y el 2 de una sola. Por eso los problemas de probabilidad cuentan resultados (pares), no sumas.
Mira el espacio muestral de dos dados
Cada casilla es un resultado y muestra la suma. Elige un evento y cuenta las casillas marcadas: la probabilidad es ese conteo entre 36. Marca la casilla de abajo para ver el complemento.
Espacio muestral de dos dados
Cada casilla es un resultado. Elige un evento y cuenta las casillas marcadas.
El complemento: "no A"
El complemento de un evento $latex A$ son todos los resultados que no están en $latex A$. Como un resultado está en $latex A$ o no lo está, las dos probabilidades suman 1:
$latex P(A') = 1 - P(A)$
Ahorra trabajo en preguntas de "al menos uno", porque "ninguno" es un solo caso. La probabilidad de al menos una cara en 3 lanzamientos es 1 menos la de puras cruces: $latex 1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$.
La regla de la suma: "A o B"
$latex P(A \text{ o } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ y } B)$
Restar la intersección evita contar dos veces los resultados que están en los dos eventos. Si los eventos son mutuamente excluyentes (no pueden pasar juntos), la intersección vale 0 y solo se suma.
Eventos independientes: "A y B"
Dos eventos son independientes cuando uno no cambia la probabilidad del otro. Entonces:
$latex P(A \text{ y } B) = P(A)\cdot P(B)$
Una moneda y un dado no se afectan, así que la probabilidad de cara y un 5 es $latex \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{12}$. Un diagrama de árbol muestra la misma multiplicación por cada camino, aquí para dos lanzamientos de moneda:
Los eventos son dependientes cuando el primero cambia al segundo. Sacar cartas sin devolverlas es el caso clásico: al salir un as, quedan 51 cartas y 3 ases, así que $latex P(\text{segundo as}\mid\text{primer as})=\frac{3}{51}$.
Mira cómo la frecuencia se acerca a la probabilidad
La frecuencia relativa es el número de éxitos entre el número de ensayos. Con pocos ensayos salta de un lado a otro. Con miles se acerca a la probabilidad teórica, un hecho llamado ley de los grandes números. No significa que el siguiente ensayo "deba" compensar: cada lanzamiento empieza de cero.
Simulador: la frecuencia se acerca a la probabilidad
Elige un experimento, haz ensayos y mira cómo la frecuencia observada se acerca a la probabilidad teórica.
Hacer ensayos
Ejemplos resueltos
EJEMPLO 1
Se lanza un dado justo. Calcula la probabilidad de un número mayor que 4.
Los casos favorables son 5 y 6, así que $latex P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, cerca de 33.33%.
EJEMPLO 2
Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la suma sea 7 y de que sea al menos 10.
La suma 7 sale con (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1): 6 de 36, así que $latex P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
Una suma de al menos 10 es 10 (3 maneras), 11 (2 maneras) o 12 (1 manera): 6 de 36, o sea $latex P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ también.
EJEMPLO 3
Se lanza un dado 4 veces. Calcula la probabilidad de obtener al menos un 6.
Usa el complemento. La probabilidad de no sacar 6 en un lanzamiento es $latex \frac{5}{6}$ y los lanzamientos son independientes, así que $latex P(\text{ningún 6})=\left(\frac{5}{6}\right)^4=\frac{625}{1296}$.
$latex P(\text{al menos un 6})=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx 0.5177$, cerca de 51.8%.
EJEMPLO 4
Se saca una carta de una baraja inglesa. Calcula la probabilidad de que sea corazones o un rey.
Hay 13 corazones y 4 reyes, y el rey de corazones está en ambos grupos: $latex P=\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$, cerca de 30.77%.
EJEMPLO 5
Se sacan dos cartas de una baraja. Calcula la probabilidad de que las dos sean ases, (a) devolviendo la primera carta, (b) sin devolverla.
(a) Independientes: $latex \frac{4}{52}\cdot\frac{4}{52}=\frac{1}{169}\approx 0.00592$.
(b) Dependientes: $latex \frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}=\frac{1}{221}\approx 0.00452$. Sin devolver, la probabilidad es menor.
Errores comunes
- Suponer que los resultados son igual de probables cuando no lo son. Con dos monedas, "0, 1 o 2 caras" no son tres casos iguales: una cara ocurre en 2 de los 4 resultados.
- Contar sumas en lugar de pares. La suma 7 son seis resultados de 36, no un resultado de 11.
- Sumar cuando se debe multiplicar. "A y B" independientes se multiplica. "A o B" se suma, menos la intersección.
- Ignorar la intersección en "o". Corazones o rey son 16 cartas, no 17.
- Olvidar que sacar sin devolver cambia las probabilidades. Actualiza numerador y denominador después de cada extracción.
- Creer en resultados que "ya tocan". Después de cinco caras seguidas, el siguiente lanzamiento sigue siendo 50% cara.
Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1
Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de un número primo?
Solución
Los primos de un dado son 2, 3 y 5, así que $latex P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
EJERCICIO 2
Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de exactamente una cara?
Solución
Los resultados con una cara son CX y XC, 2 de 4: $latex P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
EJERCICIO 3
Se saca una carta de una baraja inglesa. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una figura roja?
Solución
Las figuras son J, Q, K de cada palo. Los palos rojos tienen 3 cada uno: 6 cartas. $latex P=\frac{6}{52}=\frac{3}{26}\approx 0.1154$.
EJERCICIO 4
Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 9?
Solución
Los pares son (3,6), (4,5), (5,4), (6,3): 4 de 36. $latex P=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$.
EJERCICIO 5
Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 6?
Solución
Complemento: ningún 6 en dos lanzamientos es $latex \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$. Entonces $latex P=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\approx 0.3056$.
EJERCICIO 6
Una bolsa tiene 5 canicas rojas y 3 azules. Se sacan dos canicas sin devolverlas. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean azules?
Solución
$latex P=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}\approx 0.1071$.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre probabilidad y momios?
La probabilidad compara los éxitos con todos los casos. Los momios (o razón de posibilidades) comparan los éxitos con los fracasos. Para un seis en un dado, la probabilidad es 1 entre 6 y los momios son 1 a 5.
¿Una probabilidad puede ser mayor que 1 o negativa?
No. Si te sale así, hay un conteo mal hecho. Revisa el espacio muestral y los casos favorables.
Después de cinco caras seguidas, ¿es más probable la cruz?
No. Los lanzamientos son independientes, así que cada uno es 50% cara. El simulador de arriba muestra que la frecuencia se acerca por dilución, no por compensación.
¿Cómo paso una probabilidad a porcentaje?
Multiplica por 100. Por ejemplo, $latex \frac{1}{6}\approx 0.1667$ es cerca de 16.67%.
Calculadoras relacionadas
- Simulador de probabilidad con dados y monedas
- Calculadora de combinaciones (nCr)
- Calculadora de permutaciones (nPr)
- Calculadora de porcentajes
Puedes explorar más herramientas en el listado de calculadoras.
Ver también
- Permutaciones y Combinaciones con Fórmulas y Ejemplos
- Diferencia entre Permutación y Combinación
- Ejercicios de Factoriales Resueltos y para Resolver
- Ejercicios de Combinaciones Resueltos y para Resolver
- Aplicaciones del Triángulo de Pascal
- Ejercicios de Permutaciones Resueltos y para Resolver
- Tablas de frecuencias e histogramas: cómo hacerlos
- Varianza y desviación estándar paso a paso