Con las permutaciones, podemos contar el número de diferentes formas de escoger objetos de un conjunto si es que el orden de los objetos sí importa. Esto es diferente a las combinaciones, en donde el orden de los objetos no importa.
A continuación, empezaremos con un resumen sobre las permutaciones y miraremos su fórmula. Luego, veremos varios ejercicios resueltos para entender la aplicación de la fórmula de permutaciones.
Resumen de permutaciones
Una permutación es una organización o una lista de objetos, en la que el orden sí es importante. Las permutaciones son usadas cuando estamos contando sin reemplazar los objetos y el orden sí importa. Si es que el orden no importa, usamos las combinaciones.
En general P(n, k) significa el número de permutaciones de n objetos de los cuales tomamos k objetos. Alternativamente, la fórmula de permutaciones es expresada en la siguiente manera:
| $latex _{n}{{P}_{k}}=\frac{{n!}}{{( {n-k} )!}}$ |
en donde:
- n representa al número total de elementos en un conjunto
- k representa al número de objetos seleccionados
- ! es el símbolo de factorial
Para resolver problemas de permutaciones, tenemos que recordar que el factorial (denotado como “!“) es igual al producto de todos los números enteros positivos menores o iguales al número que precede al factorial. Por ejemplo, $latex 4!=1 \times 2 \times 3 \times 4=24$.
Ejercicios de permutaciones resueltos
En los siguientes ejercicios, veremos la aplicación de la fórmula de las permutaciones. Cada ejercicio tiene su respectiva solución detallada, la cual puede ser usada para entender el razonamiento en la respuesta de cada ejercicio.
EJERCICIO 1
Encuentra el resultado de la permutación $latex _{7}P_{3}$.
Solución
Tenemos que usar la fórmula de permutaciones $latex _{n}{{P}_{k}}=\frac{{n!}}{{(n-k)!}}$ y reemplazamos $latex n=7$ y $latex k=3$:
$latex _{7}{{P}_{3}}=\frac{{7!}}{{(7-3)!}}$
$latex =\frac{{7!}}{{(4)!}}$
Podemos simplificar esto al escribir a 7! como $latex 7\times 6\times 5\times 4!$:
$latex\frac{{7!}}{{(4)!}}=\frac{{7\times 6\times 5\times 4!}}{{(4)!}}$
$latex =7\times 6\times 5=210$
EJERCICIO 2
Encuentra el resultado de la permutación $latex _{8}P_{7}$.
Solución
Usamos la fórmula de permutaciones $latex _{n}{{P}_{k}}=\frac{{n!}}{{(n-k)!}}$ usando los valores $latex n=8$ y $latex k=7$:
$latex _{8}{{P}_{7}}=\frac{{8!}}{{(8-7)!}}$
$latex =\frac{{8!}}{{(1)!}}$
En este caso, no tenemos nada para simplificar, por lo que tenemos que calcular 8!:
$latex\frac{{8!}}{{(1)!}}=8!$
$latex =40 320$
EJERCICIO 3
Encuentra el número de permutaciones $latex _{9}P_{6}$.
Solución
En este caso, tenemos los valores $latex n=9$ y $latex k=6$:
$latex _{9}{{P}_{9}}=\frac{{9!}}{{(9-6)!}}$
$latex =\frac{{9!}}{{(3)!}}$
Reconocemos que podemos escribir a 9! como $latex 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3!$. Entonces, simplificamos el 3!:
$latex\frac{{9!}}{{(3)!}}=\frac{{9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3!}}{{(3)!}}$
$latex =9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4=60480$
EJERCICIO 4
¿Cuántas permutaciones hay con 4 objetos y 2 lugares?
Solución
Podemos reconocer los valores $latex n=4$ y $latex k=2$. Entonces, usamos la fórmula reemplazando estos valores:
$latex _{4}{{P}_{2}}=\frac{{4!}}{{(4-2)!}}$
$latex =\frac{{4!}}{{(2)!}}$
Reescribimos a 4! como $latex 4\times 3\times 2!$ y simplificamos:
$latex\frac{{4!}}{{(2)!}}=\frac{{4\times 3\times 2!}}{{(2)!}}$
$latex =4\times 3=12$
EJERCICIO 5
¿En cuántas formas puede un presidente, un tesorero y un secretario ser escogidos de 7 candidatos?
Solución
El problema involucra a 7 candidatos, de los cuales escogimos a 3. Entonces, tenemos los valores $latex n=7$ y $latex k=3$:
$latex _{7}{{P}_{3}}=\frac{{7!}}{{(7-3)!}}$
$latex =\frac{{7!}}{{(4)!}}$
Ahora, escribimos a 7! como $latex 7\times 6\times 5\times 4!$. Entonces, simplificamos el 4!:
$latex\frac{{7!}}{{(4)!}}=\frac{{7\times 6\times 5\times 4!}}{{(4)!}}$
$latex =7\times 6\times 5=210$
EJERCICIO 6
¿En cuántas formas pueden los 3 primeros lugares ser otorgados en una carrera con 5 participantes?
Solución
Reconocemos a los valores $latex n=5$ y $latex k=3$:
$latex _{5}{{P}_{3}}=\frac{{5!}}{{(5-3)!}}$
$latex =\frac{{5!}}{{(2)!}}$
Reescribimos al factorial 5! como $latex 5\times 4\times 3\times 2!$. Entonces, simplificamos el 2!:
$latex\frac{{5!}}{{(2)!}}=\frac{{5\times 4\times 3\times 2!}}{{(2)!}}$
$latex =5\times 4\times 3=60$
→ Calculadora de Permutaciones (nPr)
Ejercicios de permutaciones para resolver
Practica y pon a prueba tu conocimiento sobre permutaciones. Selecciona una respuesta y verifícala para saber si escogiste la respuesta correcta. Si necesitas ayuda, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre combinaciones y permutaciones? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
