Los problemas y ejercicios de desigualdades pueden ser resueltos con un proceso similar al que usamos para resolver ecuaciones. La diferencia principal con respecto a las desigualdades es que, tenemos que cambiar el lado del signo de desigualdad cuando multiplicamos o dividimos por números negativos.

A continuación, veremos un resumen sobre cómo resolver desigualdades. Además, miraremos varios ejercicios resueltos para dominar el proceso de resolución de desigualdades.

ÁLGEBRA
propiedades de las desigualdades

Relevante para

Aprender a resolver desigualdades con ejercicios resueltos.

Ver ejercicios

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Proceso usado para resolver desigualdades

Recordemos que las desigualdades son relaciones que comparan a dos valores usando los signos mayor que (>), menor que (<), mayor o igual que (≥) y menor o igual que (≤). Por ejemplo, 3x<6 y 2x+2>3 son desigualdades.

Para resolver desigualdades, podemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Simplificamos la desigualdad si es que es posible. Esto incluye, eliminar signos de agrupación como paréntesis, combinar términos semejantes y eliminar fracciones.

Paso 2: Despejar la variable. Tenemos que realizar sumas y restas de modo que todas las variables se ubiquen en un solo lado de la desigualdad y las constantes se ubiquen del otro lado.

Paso 3: Resolver. Usamos división o multiplicación para encontrar la respuesta. Nota: Cuando multiplicamos o dividimos a la desigualdad por un número negativo, debemos cambiar de lado al signo de desigualdad.

Paso 4: Si es que tenemos que graficar, debemos recordar que, usamos un punto vacío para indicar que el número limitante no es parte de la solución y usamos un punto relleno para indicar que el número limitante sí es parte de la solución.

Por ejemplo, si la solución es x>2, el 2 no es parte de la solución, por lo que usamos un punto vacío y si la solución es x\ge 2, el 2 sí es parte de la solución, por lo que usamos un punto relleno.


Ejercicios de desigualdades resueltos

Los siguientes ejercicios resueltos de desigualdades nos ayudan a dominar completamente la resolución de desigualdades. Cada ejercicio tiene una solución detallada que indica el proceso a seguir para encontrar la solución.

EJERCICIO 1

Resuelve y grafica la desigualdad 5x-10<15.

Paso 1: Aquí, no tenemos nada para simplificar, por lo que empezamos con:

5x-10<15

Paso 2: Para despejar la variable, sumamos 10 de ambos lados y simplificamos:

5x-10+10<15+10

5x<25

Paso 3: Para resolver, dividimos ambos lados por 5:

 \frac{5}{5}x<\frac{25}{5}

x<5

Paso 4: Para graficar, notamos que las soluciones a la desigualdad son todos los números reales hacia la izquierda de 5. El 5 no está incluido, por lo que usamos un punto vacío para indicar esto:

ejercicios de desigualdades

EJERCICIO 2

Resuelve y grafica la desigualdad -4x-5\leq 3.

Paso 1: No tenemos nada que simplificar, por lo que empezamos con:

-4x-5\leq 3

Paso 2: Sumamos 5 a ambos lados para despejar la variable:

-4x-5+5\leq 3+5

-4x\leq 8

Paso 3: Dividimos ambos lados por -4 para obtener:

 \frac{-4}{-4}x\leq\frac{8}{-4}

x\geq -2

No olvides cambiar el signo de desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo.

Paso 4: En este caso, -2 sí es parte de la solución. Entonces, usamos un punto sólido para indicar que las soluciones son todos los números hacia la derecha del -2, incluido el -2:

ejercicios de desigualdades

EJERCICIO 3

Resuelve la desigualdad 5x+3>3x-3.

Paso 1: No tenemos nada para simplificar. Empezamos con la desigualdad:

5x+3>3x-3

Paso 2: Restamos 3 y 3x de ambos lados para despejar la variable:

5x+3-3-3x>3x-3-3-3x

2x>-6

Paso 3: Dividimos ambos lados por 2 para resolver:

 \frac{2}{2}x>\frac{-6}{2}

x>-3

EJERCICIO 4

Resuelve la desigualdad 3(x+2)>-9.

Paso 1: Tenemos paréntesis, por lo que aplicamos la propiedad distributiva para eliminarlos:

3(x+2)>-9

3x+6>-9

Paso 2: Para despejar la variable, restamos 6 a ambos lados:

3x+6-6>-9-6

3x>-15

Paso 3: Para resolver, dividimos ambos lados por 3:

 \frac{3}{3}x>\frac{-15}{3}

x>-5

EJERCICIO 5

Resuelve la desigualdad 2(2x+4)+5>1.

Paso 1: Simplificamos el paréntesis y combinamos términos semejantes:

2(2x+4)+5>1

4x+8+5>1

4x+13>1

Paso 2: Despejamos la variable al restar 13 de ambos lados:

4x+13-13>1-13

4x>-12

Paso 3: Tenemos que dividir por 4:

 \frac{4}{4}x>\frac{-12}{4}

x>-3

EJERCICIO 6

Resuelve la desigualdad 4(2x+4)-3\leq 2(3x+4)+3.

Paso 1: Simplificamos los paréntesis de ambos lados y combinamos términos semejantes:

4(2x+4)-3\leq 2(3x+4)+3

8x+16-3\leq 6x+8+3

8x+13\leq 6x+11

Paso 2: Restamos 13 y 6x de ambos lados para despejar la variable:

8x+13-13-6x\leq 6x+11-13-6x

2x\leq -2

Paso 3: Para resolver, dividimos ambos lados por 2:

 \frac{2}{2}x\leq \frac{-2}{2}

x\leq -2

EJERCICIO 7

Resuelve la desigualdad 2(x+5)-10\geq 4(2x+6)-1.

Paso 1: Simplificamos los paréntesis de ambos lados y combinamos términos semejantes:

2(x+5)-10\geq 4(2x+6)

2x+10-10\geq 8x+24

2x\geq 8x+24

Paso 2: Restamos ambos lados por 8x para despejar la x:

2x-8x\geq 8x+24-8x

-6x\geq 24

Paso 3: Ahora, dividimos por -6:

 \frac{-6}{-6}x\geq\frac{24}{-6}

x\leq -4

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Ejercicios de desigualdades para resolver

Pon en práctica lo aprendido sobre las desigualdades para resolver los siguientes ejercicios. Escoge una respuesta y verifícala para comprobar que seleccionaste la correcta.

Resuelve la desigualdad 6x+5>-7.

Escoge una respuesta






Resuelve la desigualdad -5x+4\leq -6.

Escoge una respuesta






Resuelve la desigualdad 3x-5>-2x+15.

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Resuelve la desigualdad 2(2x+3)-10\geq 2x-2.

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Resuelve la desigualdad 4(x+4)+5\geq 2(x+3)+9.

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Véase también

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