Los problemas y ejercicios de desigualdades pueden ser resueltos con un proceso similar al que usamos para resolver ecuaciones. La diferencia principal con respecto a las desigualdades es que, tenemos que cambiar el lado del signo de desigualdad cuando multiplicamos o dividimos por números negativos.
A continuación, veremos un resumen sobre cómo resolver desigualdades. Además, miraremos varios ejercicios resueltos para dominar el proceso de resolución de desigualdades.
Proceso usado para resolver desigualdades
Recordemos que las desigualdades son relaciones que comparan a dos valores usando los signos mayor que (>), menor que (<), mayor o igual que (≥) y menor o igual que (≤). Por ejemplo, $latex 3x<6$ y $latex 2x+2>3$ son desigualdades.
Para resolver desigualdades, podemos seguir los siguientes pasos:
Paso 1: Simplificamos la desigualdad si es que es posible. Esto incluye, eliminar signos de agrupación como paréntesis, combinar términos semejantes y eliminar fracciones.
Paso 2: Despejar la variable. Tenemos que realizar sumas y restas de modo que todas las variables se ubiquen en un solo lado de la desigualdad y las constantes se ubiquen del otro lado.
Paso 3: Resolver. Usamos división o multiplicación para encontrar la respuesta. Nota: Cuando multiplicamos o dividimos a la desigualdad por un número negativo, debemos cambiar de lado al signo de desigualdad.
Paso 4: Si es que tenemos que graficar, debemos recordar que, usamos un punto vacío para indicar que el número limitante no es parte de la solución y usamos un punto relleno para indicar que el número limitante sí es parte de la solución.
Por ejemplo, si la solución es $latex x>2$, el 2 no es parte de la solución, por lo que usamos un punto vacío y si la solución es $latex x≥2$, el 2 sí es parte de la solución, por lo que usamos un punto relleno.
10 Ejercicios de desigualdades resueltos
EJERCICIO 1
Resuelve y grafica la desigualdad $latex 3x-5>1$.
Solución
- Empezamos escribiendo el problema original:
$latex 3x-5>1$
- Para despejar la variable, sumamos 5 a mbos lados de la desigualdad:
$latex 3x-5+5>1+5$
- Luego de simplificar, la expresión se reduce a:
$latex 3x>6$
- Para resolver, dividimos ambos lados por 3:
$latex \frac{3}{3}x> \frac{6}{3}$
$latex x> 2$
- Graficamos la desigualdad con un punto abierto, ya que el 2 no está incluido en la solución. La solución es todos los números hacia la derecha del 2:

EJERCICIO 2
Resuelve y grafica la desigualdad $latex 5x-10<15$.
Solución
Paso 1: Aquí, no tenemos nada para simplificar, por lo que empezamos con:
$latex 5x-10<15$
Paso 2: Para despejar la variable, sumamos 10 de ambos lados y simplificamos:
$latex 5x-10+10<15+10$
$latex 5x<25$
Paso 3: Para resolver, dividimos ambos lados por 5:
$latex \frac{5}{5}x<\frac{25}{5}$
$latex x<5$
Paso 4: Para graficar, notamos que las soluciones a la desigualdad son todos los números reales hacia la izquierda de 5. El 5 no está incluido, por lo que usamos un punto vacío para indicar esto:

EJERCICIO 3
Resuelve y grafica la desigualdad $latex -4x-5\leq 3$.
Solución
Paso 1: No tenemos nada que simplificar, por lo que empezamos con:
$latex -4x-5\leq 3$
Paso 2: Sumamos 5 a ambos lados para despejar la variable:
$latex -4x-5+5\leq 3+5$
$latex -4x\leq 8$
Paso 3: Dividimos ambos lados por -4 para obtener:
$latex \frac{-4}{-4}x\leq\frac{8}{-4}$
$latex x\geq -2$
No olvides cambiar el signo de desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo. |
Paso 4: En este caso, -2 sí es parte de la solución. Entonces, usamos un punto sólido para indicar que las soluciones son todos los números hacia la derecha del -2, incluido el -2:

EJERCICIO 4
Resuelve y grafica la desigualdad $latex 4x+2\geq 2x+10$.
Solución
En este caso, tenemos variables en ambos lados. Tenemos que mover las variables a un solo lado y las constantes al otro. No importa cuál lado contenga las variables, pero es estándar mover las variables a la izquierda:
- Empezamos con el problema original:
$latex 4x+2\geq 2x+10$
- Restamos 2 y 2x de ambos lados para despejar la variable:
$$4x+2-2-2x\geq 2x+10-2-2x$$
- Simplificando la desigualdad, tenemos:
$latex 2x\geq 8$
- Dividimos ambos lados por 2 y simplificamos para obtener la respuesta:
$latex \frac{2}{2}x\geq \frac{8}{2}$
$latex x\geq 4$
- Aquí, el 4 sí es parte de la solución, por lo que usamos un punto cerrado para indicar esto:

EJERCICIO 5
Resuelve la desigualdad $latex 5x+3>3x-3$.
Solución
Paso 1: No tenemos nada para simplificar. Empezamos con la desigualdad:
$latex 5x+3>3x-3$
Paso 2: Restamos 3 y 3x de ambos lados para despejar la variable:
$latex 5x+3-3-3x>3x-3-3-3x$
$latex 2x>-6$
Paso 3: Dividimos ambos lados por 2 para resolver:
$latex \frac{2}{2}x>\frac{-6}{2}$
$latex x>-3$
EJERCICIO 6
Resuelve la desigualdad $latex 3(x+2)>-9$.
Solución
Paso 1: Tenemos paréntesis, por lo que aplicamos la propiedad distributiva para eliminarlos:
$latex 3(x+2)>-9$
$latex 3x+6>-9$
Paso 2: Para despejar la variable, restamos 6 a ambos lados:
$latex 3x+6-6>-9-6$
$latex 3x>-15$
Paso 3: Para resolver, dividimos ambos lados por 3:
$latex \frac{3}{3}x>\frac{-15}{3}$
$latex x>-5$
EJERCICIO 7
Resuelve la desigualdad $latex 2(3x-3)>4x$.
Solución
En este caso, tenemos paréntesis, por lo que usamos la propiedad distributiva para eliminar paréntesis y simplificar:
- Escribimos el problema original:
$latex 2(3x-3)>4x$
- Aplicamos la propiedad distributiva:
$latex 2(3x)+2(-3)>4x$
$latex 6x-6>4x$
- Sumamos 6 de ambos lados y restamos 4x para despejar la variable:
$latex 6x-6+6-4x>4x+6-4x$
- Luego de simplificar, la expresión se reduce a:
$latex 2x>6$
- Al dividir ambos lados por 2, tenemos:
$latex \frac{2}{2}x> \frac{6}{2}$
$latex x> 3$
EJERCICIO 8
Resuelve la desigualdad $latex 2(2x+4)+5>1$.
Solución
Paso 1: Simplificamos el paréntesis y combinamos términos semejantes:
$latex 2(2x+4)+5>1$
$latex 4x+8+5>1$
$latex 4x+13>1$
Paso 2: Despejamos la variable al restar 13 de ambos lados:
$latex 4x+13-13>1-13$
$latex 4x>-12$
Paso 3: Tenemos que dividir por 4:
$latex \frac{4}{4}x>\frac{-12}{4}$
$latex x>-3$
EJERCICIO 9
Resuelve la desigualdad $latex 4(2x+4)-3\leq 2(3x+4)+3$.
Solución
Paso 1: Simplificamos los paréntesis de ambos lados y combinamos términos semejantes:
$latex 4(2x+4)-3\leq 2(3x+4)+3$
$latex 8x+16-3\leq 6x+8+3$
$latex 8x+13\leq 6x+11$
Paso 2: Restamos 13 y 6x de ambos lados para despejar la variable:
$$8x+13-13-6x\leq 6x+11-13-6x$$
$latex 2x\leq -2$
Paso 3: Para resolver, dividimos ambos lados por 2:
$latex \frac{2}{2}x\leq \frac{-2}{2}$
$latex x\leq -1$
EJERCICIO 10
Resuelve la desigualdad $latex 2(x+5)-10\geq 4(2x+6)-1$.
Solución
Paso 1: Simplificamos los paréntesis de ambos lados y combinamos términos semejantes:
$latex 2(x+5)-10\geq 4(2x+6)$
$latex 2x+10-10\geq 8x+24$
$latex 2x\geq 8x+24$
Paso 2: Restamos ambos lados por 8x para despejar la x:
$latex 2x-8x\geq 8x+24-8x$
$latex -6x\geq 24$
Paso 3: Ahora, dividimos por -6:
$latex \frac{-6}{-6}x\geq\frac{24}{-6}$
$latex x\leq -4$
Ejercicios de desigualdades para resolver


Resuelve la desigualdad $latex (-3x-2)+2>-x-2(-2x+6)$
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
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