Las siguientes son las propiedades de las desigualdades:

Propiedades de las desigualdades
Propiedad de la adiciónPara los números reales x, y y z,• Si es que x<y, entonces x+z<y+z.
Propiedad de la sustracciónPara los números reales x, y y z,• Si es que x<y, entonces x-z<y-z.
Propiedad de la multiplicaciónPara los números reales x, y y z,• Si es que x<y, entonces: xz<yz, si es que z>0• xz>yz, si es que z<0• xz=yz, si es que z=0
Propiedad antisimétricaPara los números reales y y,• Si es que x<y, entonces y≮ x.• Si es que x>y, entonces y≯ x.
Propiedad transitivaPara los números reales x, y y z,• Si es que x<y y y<z, entonces, x<z.• Si es que x>y y y>z, entonces, x>z.
ÁLGEBRA
propiedades de las desigualdades

Relevante para

Aprender sobre las propiedades de las desigualdades.

Ver propiedades

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Propiedades de la adición y sustracción

Cuando añadimos z a ambos lados de la desigualdad, simplemente estamos trasladando toda la desigualdad, por lo que la desigualdad permanece igual:

propiedades de la adicion y sustraccion de las desigualdades

Si es que x>y, entonces, x+z>y+z

De igual forma, tenemos lo siguiente:

  • Si es que x>y, entonces x-z>y-z
  • Si es que x<y, entonces x+z<y+z
  • Si es que x<y, entonces x-z<y-z

Esto significa que añadir o sustraer el mismo valor tanto a x como a y, no cambiará a la desigualdad.

EJEMPLO

  • Carlos tiene menos dinero que Matías.

Si es que Carlos y Matías reciben 5 dólares cada uno, Carlos sigue teniendo menos dinero que Matías. La relación no ha cambiado.


Propiedades de la multiplicación y división

Cuando multiplicamos tanto a x como a y por un número positivo, la desigualdad permanece igual.

Sin embargo, cuando multiplicamos tanto a x como a y por un número negativo, la desigualdad se da la vuelta.

propiedades de la multiplicacion y division de las desigualdades

x>y se vuelve x<y al multiplicar por -2

Pero la desigualdad permanece igual al multiplicar por 2

Estas son las reglas:

  • Si es que x<yz es positivo, entonces xz<yz
  • Si es que x<yz es negativo, entonces xz>yz (el signo se da la vuelta)

El siguiente es un ejemplo de multiplicación por un número positivo:

EJEMPLO

  • Carolina obtuvo una calificación de 4 que es menos que la calificación de 5 que obtuvo Andrés.

x<y

Si es que tanto Carolina como Andrés consiguen duplicar su calificación (multiplicar por 2), la calificación de Carolina seguirá siendo menor a la calificación de Andrés.

2x<2y

Ahora veamos lo que sucede al multiplicar por un negativo:

EJEMPLO

  • Si es que las calificaciones se vuelven negativas (multiplicar por -1), entonces, Carolina pierde 4 puntos y Andrés pierde 5 puntos.

Esto significa que Carolina ahora obtiene una calificación más alta que Andrés.

-x>-y


Propiedad transitiva

Cuando relacionamos desigualdades en orden, podemos saltarnos la desigualdad del medio.

propiedad transitiva de las desigualdades

Si es que tenemos x<y y y<z, entonces x<z.

De igual forma, si es que tenemos x>y y y>z, entonces x>z.

EJEMPLO

  • Si es que Juan es mayor que Ricardo y,
  • Si es que Ricardo es mayor que Sergio,

entonces, Juan debe ser mayor que Sergio.


Propiedad antisimétrica

Los valores x y y no pueden ser intercambiados si es que mantenemos el mismo signo de desigualdad.

  • Si es que tenemos x>y, esto es diferente que y>x, entonces, tenemos y\ngtr x
  • Si es que tenemos x<y, esto es diferente que y<x, entonces, tenemos y\nless x

Si es que cambiamos los valores x y y, debemos asegurarnos de cambiar el signo de desigualdad:

  • Si es que x>y, entonces, y<x
  • Si es que x<y, entonces, y>x

EJEMPLO

  • Si es que Juan es mayor que Ricardo, entonces, Ricardo es menor que Juan.

Véase también

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