Las siguientes son las propiedades de las desigualdades:
| Propiedades de las desigualdades |
| Propiedad de la adición | Para los números reales x, y y z,• Si es que x<y, entonces x+z<y+z. |
| Propiedad de la sustracción | Para los números reales x, y y z,• Si es que x<y, entonces x-z<y-z. |
| Propiedad de la multiplicación | Para los números reales x, y y z,• Si es que x<y, entonces:• xz<yz, si es que z>0• xz>yz, si es que z<0• xz=yz, si es que z=0 |
| Propiedad antisimétrica | Para los números reales x y y,• Si es que x<y, entonces y≮ x.• Si es que x>y, entonces y≯ x. |
| Propiedad transitiva | Para los números reales x, y y z,• Si es que x<y y y<z, entonces, x<z.• Si es que x>y y y>z, entonces, x>z. |
Propiedades de la adición y sustracción
Cuando añadimos z a ambos lados de la desigualdad, simplemente estamos trasladando toda la desigualdad, por lo que la desigualdad permanece igual:
Si es que $latex x>y$, entonces, $latex x+z>y+z$
De igual forma, tenemos lo siguiente:
- Si es que $latex x>y$, entonces $latex x-z>y-z$
- Si es que $latex x<y$, entonces $latex x+z<y+z$
- Si es que $latex x<y$, entonces $latex x-z<y-z$
Esto significa que añadir o sustraer el mismo valor tanto a x como a y, no cambiará a la desigualdad.
EJEMPLO
- Carlos tiene menos dinero que Matías.
Si es que Carlos y Matías reciben 5 dólares cada uno, Carlos sigue teniendo menos dinero que Matías. La relación no ha cambiado.
Propiedades de la multiplicación y división
Cuando multiplicamos tanto a x como a y por un número positivo, la desigualdad permanece igual.
Sin embargo, cuando multiplicamos tanto a x como a y por un número negativo, la desigualdad se da la vuelta.
$latex x>y$ se vuelve $latex x<y$ al multiplicar por -2
Pero la desigualdad permanece igual al multiplicar por 2
Estas son las reglas:
- Si es que $latex x<y$ y z es positivo, entonces $latex xz<yz$
- Si es que $latex x<y$ y z es negativo, entonces $latex xz>yz$ (el signo se da la vuelta)
El siguiente es un ejemplo de multiplicación por un número positivo:
EJEMPLO
- Carolina obtuvo una calificación de 4 que es menos que la calificación de 5 que obtuvo Andrés.
$latex x<y$
Si es que tanto Carolina como Andrés consiguen duplicar su calificación (multiplicar por 2), la calificación de Carolina seguirá siendo menor a la calificación de Andrés.
$latex 2x<2y$
Ahora veamos lo que sucede al multiplicar por un negativo:
EJEMPLO
- Si es que las calificaciones se vuelven negativas (multiplicar por -1), entonces, Carolina pierde 4 puntos y Andrés pierde 5 puntos.
Esto significa que Carolina ahora obtiene una calificación más alta que Andrés.
$latex -x>-y$
Propiedad transitiva
Cuando relacionamos desigualdades en orden, podemos saltarnos la desigualdad del medio.
Si es que tenemos $latex x<y$ y $latex y<z$, entonces $latex x<z$.
De igual forma, si es que tenemos $latex x>y$ y $latex y>z$, entonces $latex x>z$.
EJEMPLO
- Si es que Juan es mayor que Ricardo y,
- Si es que Ricardo es mayor que Sergio,
entonces, Juan debe ser mayor que Sergio.
Propiedad antisimétrica
Los valores x y y no pueden ser intercambiados si es que mantenemos el mismo signo de desigualdad.
- Si es que tenemos $latex x>y$, esto es diferente que $latex y>x$, entonces, tenemos $latex y\ngtr x$
- Si es que tenemos $latex x<y$, esto es diferente que $latex y<x$, entonces, tenemos $latex y\nless x$
Si es que cambiamos los valores x y y, debemos asegurarnos de cambiar el signo de desigualdad:
- Si es que $latex x>y$, entonces, $latex y<x$
- Si es que $latex x<y$, entonces, $latex y>x$
EJEMPLO
- Si es que Juan es mayor que Ricardo, entonces, Ricardo es menor que Juan.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
