¿Cómo Resolver Desigualdades Lineales?

Para resolver la desigualdad, queremos encontrar todos los valores de x que la satisfacen. Esto significa que hay un número infinito de soluciones las cuales al ser sustituidas, harían que la desigualdad sea verdadera. Entonces, seguimos los siguientes pasos:

• Escribimos el problema original:

$latex 4x-6>2$

• Sumamos 6 a ambos lados para mantener las variables de un lado y las constantes del otro:

$latex 4x-6+6>2+6$

• Luego de simplificar, la expresión se reduce a:

$latex 4x>8$

• Dividimos ambos lados por 4 y simplificamos para obtener la respuesta:

$latex \frac{4}{4}x>\frac{8}{4}$

$latex x>2$

• Usamos un punto abierto para indicar que el 2 no es parte de la solución. La solución a la desigualdad incluye todos los valores hacia la derecha del 2, pero no incluye al 2:

Este es un ejemplo de lo que sucede con la desigualdad cuando dividimos por un número negativo:

• Escribimos el problema original:

$latex -2x-3\geq 1$

• Despejamos a la variable al sumar 3 a ambos lados:

$latex -2x-3+3\geq 1+3$

• Luego de simplificar, la expresión se reduce a:

$latex -2x\geq 4$

• Dividimos ambos lados por -2 y simplificamos para obtener la respuesta:

$latex \frac{-2}{-2}x\geq \frac{4}{-2}$

$latex x\leq -2$

• Usamos un punto cerrado para indicar que el -2 sí es parte de la solución. La solución a la desigualdad incluye al -2 y todos los valores hacia la izquierda:

Aquí tenemos variables en ambos lados. Es posible despejar las variables al lado izquierdo o al lado derecho, pero lo estándar es hacerlo al lado izquierdo.

• Escribimos el problema original:

$latex 5-3x>13-5x$

• Podemos sumar 5x a ambos lados y restar 5 para despejar la variable:

$$5-3x+5x-5>13-5x+5x-5$$

• Simplificando la expresión, tenemos:

$latex 2x>8$

• Podemos obtener la respuesta al dividir ambos lados por 2:

$latex \frac{2}{2}x> \frac{8}{2}$

$latex x> 2$

En este caso, tenemos paréntesis, por lo que tenemos que empezar aplicando la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis:

• Escribimos el problema original:

$latex 2(2x+3)<2x+12$

• Aplicamos la propiedad distributiva:

$latex 2(2x)+2(3)<2x+12$

$latex 6x+6<2x+12$

• Despejamos a la variable al restar 6 y 2x a ambos lados:

$$6x+6-2x-6<2x+12-2x-6$$

• Luego de simplificar, la expresión se reduce a:

$latex 4x<8$

• Dividimos ambos lados por 4 y simplificamos para obtener la respuesta:

$latex \frac{4}{4}x< \frac{8}{4}$

$latex x< 2$

Nuevamente, empezamos aplicando la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis:

• Escribimos el problema original:

$latex 2(3x-4)\geq 7x-7$

• Aplicamos la propiedad distributiva:

$latex 2(3x)+2(-4)\geq 7x-7$

$latex 6x-8\geq 7x-7$

• Ahora, sumamos 8 y restamos 7x de ambos lados para despejar la variable:

$latex 6x-8+8-7x\geq 7x-7+8-7x$

• Simplificamos para obtener:

$latex -x\geq 1$

• Dividimos ambos lados por -1 y simplificamos para obtener la respuesta:

$latex \frac{-1}{-1}x\geq \frac{1}{-1}$

$latex x\geq -1$

En este caso, tenemos que aplicar la propiedad distributiva a ambos paréntesis y luego combinamos términos semejantes para simplificar:

• Escribimos el problema original:

$latex 3(x+2)+2\leq 2(x-1)+8$

• Aplicamos la propiedad distributiva a ambos paréntesis:

$latex 3(x)+3(2)+2\leq 2(x)+2(-1)+8$

$latex 3x+6+2\leq 2x-2+8$

• Combinamos términos semejantes para simplificar:

$latex 3x+8\leq 2x+6$

• Despejamos a la variable al restar 8 y 2x a ambos lados:

$latex 3x+8-8-2x\leq 2x+6-8-2x$

• Simplificando, tenemos:

$latex x\leq -2$

• Ya no tenemos que dividir:

$latex x\leq -2$