¿Cómo Resolver Desigualdades Lineales?

El proceso para resolver desigualdades lineales en una variable es similar a resolver ecuaciones básicas. La mayoría de las reglas o técnicas usadas para resolver ecuaciones pueden ser fácilmente usadas para resolver desigualdades. La única diferencia importante es como el símbolo de desigualdad cambia dirección cuando un número negativo es multiplicado o dividido a ambos lados de una ecuación.

A continuación, miraremos ejercicios resueltos para dominar el proceso de resolución de desigualdades lineales.

ÁLGEBRA
propiedades de las desigualdades

Relevante para

Aprender a resolver desigualdades lineales.

Ver ejercicios

ÁLGEBRA
propiedades de las desigualdades

Relevante para

Aprender a resolver desigualdades lineales.

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Símbolos de desigualdad con ilustraciones

Los siguientes son los símbolos usados para representar desigualdades:

Mayor que

Símbolo:

simbolo mayor que

Ejemplo: x es mayor que -2:

ejemplo de desigualdad con mayor que

Gráfica:

grafica de desigualdad mayor que

Menor que

Símbolo:

simbolo menor que

Ejemplo: x es menor que 4:

ejemplo de desigualdad con menor que

Gráfica:

grafica de desigualdad menor que

Mayor o igual que

Símbolo:

simbolo mayor o igual que

Ejemplo: x es mayor o igual que -3:

ejemplo de desigualdad con mayor o igual que

Gráfica:

grafica de desigualdad mayor o igual que

Menor o igual que

Símbolo:

simbolo menor o igual que

Ejemplo: x es menor o igual que 3:

ejemplo de desigualdad con menor o igual que

Gráfica:

grafica de desigualdad menor o igual que

Desigualdades lineales ejemplos resueltos

Los siguientes ejemplos resueltos nos permitirán dominar completamente el proceso de resolución de desigualdades lineales. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.

EJEMPLO 1

Resuelve y grafica la solución de la desigualdad $latex 4x-6>2$.

Para resolver la desigualdad, queremos encontrar todos los valores de x que la satisfacen. Esto significa que hay un número infinito de soluciones las cuales al ser sustituidas, harían que la desigualdad sea verdadera. Entonces, seguimos los siguientes pasos:

  • Escribimos el problema original:

$latex 4x-6>2$

  • Sumamos 6 a ambos lados para mantener las variables de un lado y las constantes del otro:

$latex 4x-6+6>2+6$

  • Luego de simplificar, la expresión se reduce a:

$latex 4x>8$

  • Dividimos ambos lados por 4 y simplificamos para obtener la respuesta:

$latex \frac{4}{4}x>\frac{8}{4}$

$latex x>2$

  • Usamos un punto abierto para indicar que el 2 no es parte de la solución. La solución a la desigualdad incluye todos los valores hacia la derecha del 2, pero no incluye al 2:
como resolver desigualdades lineales

EJEMPLO 2

Resuelve y grafica la desigualdad $latex -2x-3\geq 1$.

Este es un ejemplo de lo que sucede con la desigualdad cuando dividimos por un número negativo:

  • Escribimos el problema original:

$latex -2x-3\geq 1$

  • Despejamos a la variable al sumar 3 a ambos lados:

$latex -2x-3+3\geq 1+3$

  • Luego de simplificar, la expresión se reduce a:

$latex -2x\geq 4$

  • Dividimos ambos lados por -2 y simplificamos para obtener la respuesta:

$latex \frac{-2}{-2}x\geq \frac{4}{-2}$

$latex x\leq -2$

Siempre recuerda cambiar la dirección de la desigualdad al dividir o multiplicar por un número negativo.
  • Usamos un punto cerrado para indicar que el -2 sí es parte de la solución. La solución a la desigualdad incluye al -2 y todos los valores hacia la izquierda:
como resolver desigualdades lineales

EJEMPLO 3

Resuelve la desigualdad $latex 5-3x>13-5x$.

Aquí tenemos variables en ambos lados. Es posible despejar las variables al lado izquierdo o al lado derecho, pero lo estándar es hacerlo al lado izquierdo.

  • Escribimos el problema original:

$latex 5-3x>13-5x$

  • Podemos sumar 5x a ambos lados y restar 5 para despejar la variable:

$$5-3x+5x-5>13-5x+5x-5$$

  • Simplificando la expresión, tenemos:

$latex 2x>8$

  • Podemos obtener la respuesta al dividir ambos lados por 2:

$latex \frac{2}{2}x> \frac{8}{2}$

$latex x> 2$

EJEMPLO 4

Resuelve la desigualdad $latex 2(2x+3)<2x+12$.

En este caso, tenemos paréntesis, por lo que tenemos que empezar aplicando la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis:

  • Escribimos el problema original:

$latex 2(2x+3)<2x+12$

  • Aplicamos la propiedad distributiva:

$latex 2(2x)+2(3)<2x+12$

$latex 6x+6<2x+12$

  • Despejamos a la variable al restar 6 y 2x a ambos lados:

$$6x+6-2x-6<2x+12-2x-6$$

  • Luego de simplificar, la expresión se reduce a:

$latex 4x<8$

  • Dividimos ambos lados por 4 y simplificamos para obtener la respuesta:

$latex \frac{4}{4}x< \frac{8}{4}$

$latex x< 2$

EJEMPLO 5

Resuelve la desigualdad $latex 2(3x-4)\geq 7x-7$.

Nuevamente, empezamos aplicando la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis:

  • Escribimos el problema original:

$latex 2(3x-4)\geq 7x-7$

  • Aplicamos la propiedad distributiva:

$latex 2(3x)+2(-4)\geq 7x-7$

$latex 6x-8\geq 7x-7$

  • Ahora, sumamos 8 y restamos 7x de ambos lados para despejar la variable:

$latex 6x-8+8-7x\geq 7x-7+8-7x$

  • Simplificamos para obtener:

$latex -x\geq 1$

  • Dividimos ambos lados por -1 y simplificamos para obtener la respuesta:

$latex \frac{-1}{-1}x\geq \frac{1}{-1}$

$latex x\geq -1$

EJEMPLO 6

Resuelve la desigualdad $latex 3(x+2)+2\leq 2(x-1)+8$.

En este caso, tenemos que aplicar la propiedad distributiva a ambos paréntesis y luego combinamos términos semejantes para simplificar:

  • Escribimos el problema original:

$latex 3(x+2)+2\leq 2(x-1)+8$

  • Aplicamos la propiedad distributiva a ambos paréntesis:

$latex 3(x)+3(2)+2\leq 2(x)+2(-1)+8$

$latex 3x+6+2\leq 2x-2+8$

  • Combinamos términos semejantes para simplificar:

$latex 3x+8\leq 2x+6$

  • Despejamos a la variable al restar 8 y 2x a ambos lados:

$latex 3x+8-8-2x\leq 2x+6-8-2x$

  • Simplificando, tenemos:

$latex x\leq -2$

  • Ya no tenemos que dividir:

$latex x\leq -2$

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Desigualdades lineales ejercicios para resolver

Pon a prueba tus habilidades y tu conocimiento sobre desigualdades lineales con los siguientes ejercicios interactivos. Escoge una respuesta y verifícala para comprobar que seleccionaste la respuesta correcta.

Los ejercicios resueltos de arriba pueden servir de guía si tienes problemas con estos ejercicios.

Resuelve la desigualdad $latex 5x-4>6$.

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Resuelve la desigualdad $latex -2x+4\geq -4$.

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Resuelve la desigualdad $latex 7-4x\leq -5-6x$.

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Resuelve la desigualdad $latex -4(x-5)\leq -15+3x$.

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Resuelve la desigualdad $latex 3(-x+2)-4(x+3)\leq x-5x$.

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Véase también

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