Escalas Logarítmicas con Ejemplos

Una escala logarítmica es una escala no-lineal que a veces es usada para analizar cantidades que varían por un rango muy grande. En vez de incrementar en incrementos iguales, cada intervalo es incrementado por un factor que es igual a la base del logaritmo. Típicamente, escalas con base de 10 o con base de e son usadas.

Las escalas logarítmicas son útiles para varias aplicaciones, algunas de las cuales son la escala de pH usada en química para analizar las sustancias ácidas o las bases, la escala de decibelios usada para medir el sonido y la escala de Richter usada para medir la intensidad de los terremotos.

ÁLGEBRA
aplicaciones de los logaritmos escala de decibeles

Relevante para

Aprender sobre las escalas logarítmicas y sus aplicaciones.

Ver ejemplos

ÁLGEBRA
aplicaciones de los logaritmos escala de decibeles

Relevante para

Aprender sobre las escalas logarítmicas y sus aplicaciones.

Ver ejemplos

Uso de escalas logarítmicas

Debido a que las escalas logarítmicas crecen muy lentamente, son útiles para modelar situaciones en las que tenemos un rango muy amplio de valores. Por ejemplo, las bacterias pueden crecer muy rápidamente.

Bajo condiciones ideales, las bacterias pueden dividirse en tan solo 30 minutos, y esas bacterias se dividen nuevamente en 30 minutos. Si es que este proceso empieza con una sola bacteria, el crecimiento exponencial de las bacterias produciría casi 17 millones de bacterias en tan solo 12 horas.

La siguiente gráfica ilustra este crecimiento:

grafica de funcion exponencial crece rapido

Esta es una buena gráfica, pero tiene un problema. Cada eje en la gráfica usa una escala lineal, por lo que a pesar de que la información está representada precisamente, es muy difícil saber lo que está sucediendo con el crecimiento de las bacterias hasta aproximadamente el punto de 8 horas.

Necesitamos una manera de reescalar uno de los ejes de modo que toda la información pueda ser usada. Esta es la razón por la que las escalas logarítmicas fueron desarrolladas.

Recordemos que un logaritmo es simplemente la potencia a la que la base tiene que ser elevada para obtener un número particular. La definición de una escala logarítmica es que es una escala en la que las unidades en los ejes son potencias o logaritmos y son típicamente usadas cuando el incremento o decremento en valor en ese eje es exponencial. En la mayoría de casos, la base usada es 10.

Si es que solo un eje usa una escala logarítmica, entonces, es denominada una gráfica semi-log. Si es que ambos ejes usan una escala logarítmica, entonces, es denominada una gráfica log-log.

Para poder obtener más información de la gráfica del crecimiento de bacterias, podemos cambiar uno de los ejes con escala lineal a escala logarítmica y formar una gráfica semi-log. Vamos a reformatear el eje y usando potencias de 10 para representar el crecimiento de bacterias:

crecimiento rapido en escala logaritmica

Ahora, en vez del eje y lineal, cada unidad es una potencia de 10. Por ejemplo, el primer número es 0 y $latex {{10}^0}$ representa a 1. Luego, tenemos a $latex {{10}^1}=10$. Luego a $latex {{10}^2}=100$ y así sucesivamente.

Al hacer esto, hemos creado una gráfica que es una línea recta y es más fácil obtener información así. Por ejemplo, el valor del logaritmo en 4 horas es alrededor de 2.4. 10 elevado a la potencia de 2.4 es 251 bacterias.


Escala de pH

Un ejemplo del uso común de las escalas logarítmicas es la escala de pH. La escala de pH es usada en química para medir la acidez de una sustancia o un compuesto químico. Esta escala es basada en la concentración de iones de hidrógeno en la sustancia, denotado por [$latex {{H}^{+}}$]. El valor pH es definido por la fórmula:

$latex pH=-\log_{10}[{{H}^{+}}]$

Los valores de pH van desde 0 hasta 14, en donde, 7 indica a una solución neutral. Entre más bajo es el nivel de pH, más ácida es la sustancia. Los siguientes son algunos sustancias comunes con sus valores pH:

escalas logarítmicas escala de pH

EJEMPLO 1

  • Calcula el pH de una solución que tiene una concentración de iones de hidrógeno de $latex 3.98\times {{10}^{-5}}$.

Solución: Podemos usar la calculadora y la fórmula para calcular el pH de una sustancia con $latex [{{H}^{+}}]=3.98\times {{10}^{-5}}$:

$latex pH=-\log_{10}(3.98\times {{10}^{-5}})=4.4$

EJEMPLO 2

  • El agua en un contenedor tiene un pH de 7.5. ¿Cuál es su concentración de iones de hidrógeno?

Solución: En este caso, tenemos que resolver la ecuación:

$latex 7.5=-\log_{10}[{{H}^{+}}]$

Podemos reescribir de la siguiente manera:

$latex -7.5=\log_{10}[{{H}^{+}}]$

Ahora, convertimos a la ecuación a su forma exponencial:

$latex [{{H}^{+}}]={{10}^{-7.5}}\approx 3.2\times {{10}^{-8}}$

La concentración de iones de hidrógeno del agua es $latex 3.2\times {{10}^{-8}}$.


Escala de decibeles

Otro ejemplo de una escala logarítmica es la escala de decibeles que es usada para medir la intensidad del sonido. El volumen del sonido es medido en decibelios, d, usando la siguiente fórmula:

$latex dB=10\log_{10}(\frac{I}{{{10}^{-12}}})$

en donde, $latex I$ es la intensidad de las ondas de sonido medida en watts por metro cuadrado. Por ejemplo, la intensidad de un susurro es igual a $latex {{10}^{-10}}\frac{watts}{{{m}^2}}$ y la intensidad de un trueno es igual a $latex {{10}^{-1}}\frac{watts}{{{m}^2}}$.

Si es que siempre usáramos estas unidades, tendríamos diferencias muy grandes entre las medidas. En este caso, tenemos:

$latex \frac{\text{intensidad trueno}}{\text{intensidad susurro}}=\frac{{{10}^{-1}}}{{{10}^{-10}}}={{10}^9}$

El trueno es $latex {{10}^9}$ o un millón de veces más intenso que un susurro. Sería muy difícil comparar sonidos tan diferentes. Sin embargo, en la escala de decibelios, un susurro equivale a 20 decibelios y un trueno equivale a 110 decibelios. Esto es mucho más simple.

EJEMPLO

  • Respirar normalmente genera alrededor de $latex {{10}^{-11}}$ watts por metro cuadrado a una distancia de 1 metro. ¿Cuál es la equivalencia en decibelios?

Solución: Usamos la fórmula de decibelios con $latex I={{10}^{-11}}$:

$latex dB=10\log_{10}(\frac{10^{-11}}{10^{-12}})=0\log_{10}(10^1)$

$latex =10(1)=10$ decibelios


Escala de Richter

La escala de Richter es un método para medir la magnitud de un terremoto. Esta escala compara la amplitud de su onda sismográfica con la amplitud de la onda producida por el terremoto más pequeño detectable, $latex A_{0}$.

El logaritmo del cociente de estas amplitudes es igual a la escala de Richter, M. Entonces, tenemos:

$latex M=\log_{10}(\frac{A}{A_{0}})$

EJEMPLO

  • ¿Cuál sería la magnitud de un terremoto 100 veces más fuerte que un terremoto de 6.9 en la escala de Richter?

Solución: Podemos representar con $latex A_{a}$ a la amplitud de las ondas del terremoto que tiene 6.9 en la escala de Richter y podemos representar con $latex A_{b}$ a la amplitud de las ondas del terremoto que es 100 veces más fuerte. De la fórmula de la escala Richter, tenemos:

$latex 6.9=\log_{10}(\frac{A_{a}}{A_{0}})$

Ahora, podemos escribir esto en forma exponencial:

$latex \frac{A_{a}}{A_{0}}={{10}^{6.9}}$

Sabemos que $latex A_{b}=100A_{a}$, entonces tenemos:

$latex \frac{A_{a}}{A_{0}}=\frac{100A_{b}}{A_{0}}$

$latex =100(\frac{A_{b}}{A_{0}})$

$latex ={{10}^2}({{10}^{6.9}})$

$latex ={{10}^{8.9}}$

Entonces, la magnitud del terremoto más fuerte es:

$latex \log_{10}(\frac{A_{a}}{A_{0}})=\log_{10}({{10}^{8.9}})$

$latex =8.9$


Véase también

¿Interesado en aprender más sobre logaritmos? Mira estas páginas:

Aprende matemáticas con nuestros recursos adicionales en varios temas diferentes

Conoce Más