¿Cómo Resolver Ecuaciones Logarítmicas?

EJEMPLO 1

• Resuelve la ecuación logarítmica: $$\log_{3}(x+2)+\log_{3}(2)=\log_{3}(14)$$.

Solución: Podemos usar la ley del producto para formar una sola expresión logarítmica en el lado izquierdo. Entonces, tenemos:

$latex \log_{3}(x+2)+\log_{3}(2)=\log_{3}(14)$

$latex \log_{3}[(x+2)2]=\log_{3}(14)$

Usando la propiedad distributiva de la multiplicación, tenemos:

$latex \log_{3}(2x+4)=\log_{3}(14)$

Tenemos a un logaritmo con la misma base en cada lado, por lo que podemos formar una ecuación con los argumentos:

$latex 2x+4=14$

Ahora tenemos una ecuación lineal, por lo que podemos resolver fácilmente:

$latex 2x+4=14$

$latex 2x=10$

$latex x=5$

EJEMPLO 2

• Resuelve la ecuación logarítmica: $$\log_{2}(x)+\log_{2}(x+2)=\log_{2}(x+12)$$.

Solución: Similar al ejemplo anterior, podemos usar la ley del producto para formar un solo logaritmo en la parte izquierda de la ecuación:

$$\log_{2}(x)+\log_{2}(x+2)=\log_{2}(x+12)$$

$latex \log_{2}[x(x+2)]=\log_{2}(x+12)$

Usando la propiedad distributiva para distribuir la x y obtener:

$latex \log_{2}({{x}^2}+2x)=\log_{2}(x+12)$

El logaritmo en ambos lados de la ecuación tiene la misma base, por lo que podemos eliminarlo y formar una ecuación con los argumentos:

$latex {{x}^2}+2x=x+12$

En este caso, tenemos una ecuación cuadrática. Podemos mover todos los términos a un solo lado de la ecuación y usar factorización para resolver:

$latex {{x}^2}+2x=x+12$

$latex {{x}^2}+2x-x-12=0$

$latex {{x}^2}+x-12=0$

$latex (x+4)(x-3)=0$

Hacemos que cada factor sea igual a cero y resolvemos:

⇒   $latex x=-4$

⇒   $latex x=3$

Entonces, tenemos dos respuestas, $latex x=-4$ y $latex x=3$.

EJEMPLO 3

• Resuelve la ecuación logarítmica: $$\log_{2}(x+4)-\log_{2}(3)=\log_{2}(x-2)-\log_{2}(5)$$.

Solución: Aquí, tenemos una resta de logaritmos en cada lado de la ecuación. Podemos usar la ley del cociente para obtener un solo logaritmo en cada lado:

$$\log_{2}(x+4)-\log_{2}(3)=\log_{2}(x-2)-\log_{2}(5)$$

$latex \log_{2}(\frac{x+4}{3})=\log_{2}(\frac{x-2}{5})$

No podemos reducir a las expresiones dentro de los logaritmos. Sin embargo, dado que ambos logaritmos tienen la misma base, podemos eliminarlos y formar una ecuación con los argumentos:

$latex \frac{x+4}{3}=\frac{x-2}{5}$

Podemos simplificar a esta expresión al multiplicar en cruz:

$latex 5(x+4)=3(x-2)$

Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación para simplificar:

$latex 5x+20=3x-6$

Tenemos una ecuación lineal, por lo que podemos resolver fácilmente:

$latex 5x+20=3x-6$

$latex 2x=-26$

$latex x=-13$

EJEMPLO 4

• Resuelve la ecuación logarítmica: $latex \ln({{x}^2})+\frac{1}{2}\ln(4)=\ln({{x}^2}+16)$.

Solución: Aquí, tenemos logaritmos naturales, es decir, logaritmos con base e. Estos logaritmos son denotados con ln. A pesar de que se escriben un poco diferente, todas las leyes de los logaritmos aplican normalmente para los logaritmos naturales.

Podemos usar la ley de la potencia para reescribir al logaritmo que tiene una fracción en frente:

$latex \ln({{x}^2})+\frac{1}{2}\ln(4)=\ln({{x}^2}+16)$

$latex \ln({{x}^2})+\ln({{4}^{\frac{1}{2}}})=\ln({{x}^2}+16)$

$latex \ln({{x}^2})+\ln(2)=\ln({{x}^2}+16)$

Ahora, podemos usar la ley del producto de logaritmos para simplificar la parte izquierda de la ecuación:

$latex \ln(2{{x}^2})=\ln({{x}^2}+16)$

Tenemos un logaritmo natural en cada lado, por lo que podemos eliminarlo y escribir una ecuación con los argumentos:

$latex 2{{x}^2}={{x}^2}+16$

Podemos resolver esta ecuación cuadrática fácilmente:

$latex 2{{x}^2}={{x}^2}+16$

$latex 2{{x}^2}-{{x}^2}=16$

$latex {{x}^2}=16$

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos

$latex x=\sqrt{16}$

$latex x=\pm 4$

Entonces, tenemos dos respuestas, $latex x=4$ y $latex x=-4$.

EJEMPLO 5

• Resuelve la ecuación logarítmica: $latex \log(5x+40)=2$.

Solución: Vemos que tenemos al logaritmo sin ninguna base escrita. Cuando tenemos esto, asumimos que el logaritmo tiene base 10. De hecho, el logaritmo con base 10 es denominado el logaritmo común.

En este caso, solo tenemos un logaritmo de un solo lado. Consideramos a esto como el segundo caso mencionado arriba:

Vamos a transformar a la ecuación de forma logarítmica a exponencial para resolver. Entonces, el argumento del logaritmo permanece en su lugar y eliminamos el logaritmo. El número de la derecha se vuelve el exponente de la base del logaritmo, la cual es 10:

$latex \log(5x+40)=2$

$latex 5x+40={{10}^2}$

Simplificamos el exponente y resolvemos la ecuación:

$latex 5x+40=100$

$latex 5x=60$

$latex x=12$

EJEMPLO 6

• Resuelve la ecuación logarítmica: $latex \log_{2}(5x)-2=\log_{2}(2x-2)$.

Solución: Podemos mover a todos los logaritmos a un lado de la ecuación y a los términos constantes al otro lado:

$latex \log_{2}(5x)-2=\log_{2}(2x-2)$

$latex \log_{2}(5x)-\log_{2}(2x-2)=2$

Ahora, podemos usar la ley del cociente para formar un solo logaritmo en la parte izquierda:

$latex  \log_{2}(\frac{5x}{2x-2})=2$

Ahora, vamos a escribir a la expresión en su forma exponencial. El argumento permanece en el mismo lugar y eliminamos el logaritmo. El 2 se vuelve el exponente de la base:

$latex \frac{5x}{2x-2}={{2}^2}$

$latex \frac{5x}{2x-2}=4$

Podemos multiplicar en cruz para simplificar:

$latex 5x=4(2x-2)$

Simplificamos con la propiedad distributiva de la multiplicación:

$latex 5x=8x-8$

Fácilmente podemos resolver la ecuación lineal:

$latex 5x-8x=-8$

$latex -3x=-8$

$latex x=\frac{8}{3}$