Para resolver ecuaciones logarítmicas, tenemos que usar las leyes de los logaritmos para reescribir a las expresiones en una forma más conveniente. Luego de simplificar y reducir a las expresiones logarítmicas, generalmente, obtendremos uno de dos tipos de ecuaciones logarítmicas. Dependiendo del tipo de ecuación obtenida, podremos obtener la respuesta simplemente al comparar los argumentos de los logaritmos o podremos reescribir al logaritmo en su forma exponencial para resolver.

A continuación, veremos un resumen de las leyes de los logaritmos. También, veremos los dos tipos de ecuaciones logarítmicas que podemos obtener. Además, aprenderemos cómo resolver ecuaciones logarítmicas con ejemplos resueltos.

ÁLGEBRA
leyes de los logaritmos naturales

Relevante para

Aprender a resolver ecuaciones logarítmicas con ejemplos.

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Tipos de ecuaciones logarítmicas

Generalmente, tenemos dos tipos de ecuaciones logarítmicas. Necesitamos reconocer estos dos casos para que la resolución de ecuaciones logarítmicas se facilite.

  • El primer tipo se ve de la siguiente manera:
tipos de ecuaciones logaritmicas 1

Si es que tenemos a un solo logaritmo en cada lado de la ecuación que tiene la misma base, podemos igualar los argumentos de los logaritmos y resolver. En este caso, los argumentos son las expresiones algebraicas representadas por P y Q.

  • El segundo tipo se ve de la siguiente manera:
tipos de ecuaciones logaritmicas 2

Si es que tenemos a un solo logaritmo en un solo lado de la ecuación, entonces, podemos expresarlo como una expresión exponencial y resolver de esa forma.


Resumen de las leyes de los logaritmos

Para resolver las ecuaciones logarítmicas, necesitamos estar familiarizados con las siguientes leyes de los logaritmos. Estas leyes nos permiten condensar, expandir y simplificar expresiones logarítmicas.

Ley del producto

Cuando tenemos un logaritmo de un producto, podemos escribirlo como la suma de los logaritmos individuales de los factores:

ley del producto de logaritmos

Ley del cociente

Cuando tenemos un logaritmo de un cociente, podemos escribirlo como el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador:

ley del cociente de logaritmos

Ley de la potencia

El logaritmo de un valor exponencial puede ser reescrito como el exponente multiplicado por el logaritmo de la base (sin el exponente):

ley de la potencia de logaritmos

Ley del cero

El logaritmo de 1 en donde la base es diferente de cero y mayor que cero,  es igual a cero:

ley del cero de logaritmos

Ley de la identidad

El logaritmo del de un valor igual a la base es igual a 1. La base, b debe ser mayor que cero, pero no puede ser igual a 1:

ley de la identidad de logaritmos

Ley del logaritmo del exponente

El logaritmo de un valor exponencial, en donde la base de la potencia es igual a la base del logaritmo, es igual al exponente:

ley del logaritmo del exponente

Ley del exponente de un logaritmo

Si es que tenemos a un número elevado al logaritmo con base igual al número, esto es equivalente al argumento del logaritmo:

ley del exponente de un logaritmo

Aprender a resolver ecuaciones logarítmicas con ejemplos resueltos

EJEMPLO 1

  • Resuelve la ecuación logarítmica:  \log_{3}(x+2)+\log_{3}(2)=\log_{3}(14).

Solución: Podemos usar la ley del producto para formar una sola expresión logarítmica en el lado izquierdo. Entonces, tenemos:

 \log_{3}(x+2)+\log_{3}(2)=\log_{3}(14)

 \log_{3}[(x+2)2]=\log_{3}(14)

Usando la propiedad distributiva de la multiplicación, tenemos:

 \log_{3}(2x+4)=\log_{3}(14)

Tenemos a un logaritmo con la misma base en cada lado, por lo que podemos formar una ecuación con los argumentos:

2x+4=14

Ahora tenemos una ecuación lineal, por lo que podemos resolver fácilmente:

2x+4=14

2x=10

x=5

EJEMPLO 2

  • Resuelve la ecuación logarítmica:  \log_{2}(x)+\log_{2}(x+2)=\log_{2}(x+12).

Solución: Similar al ejemplo anterior, podemos usar la ley del producto para formar un solo logaritmo en la parte izquierda de la ecuación:

 \log_{2}(x)+\log_{2}(x+2)=\log_{2}(x+12)

 \log_{2}[x(x+2)]=\log_{2}(x+12)

Usando la propiedad distributiva para distribuir la x y obtener:

 \log_{2}({{x}^2}+2x)=\log_{2}(x+12)

El logaritmo en ambos lados de la ecuación tiene la misma base, por lo que podemos eliminarlo y formar una ecuación con los argumentos:

{{x}^2}+2x=x+12

En este caso, tenemos una ecuación cuadrática. Podemos mover todos los términos a un solo lado de la ecuación y usar factorización para resolver:

{{x}^2}+2x=x+12

{{x}^2}+2x-x-12=0

{{x}^2}+x-12=0

(x+4)(x-3)=0

Hacemos que cada factor sea igual a cero y resolvemos:

⇒   x=-4

⇒   x=3

Entonces, tenemos dos respuestas, x=-4 y x=3.

EJEMPLO 3

  • Resuelve la ecuación logarítmica:  \log_{2}(x+4)-\log_{2}(3)=\log_{2}(x-2)-\log_{2}(5).

Solución: Aquí, tenemos una resta de logaritmos en cada lado de la ecuación. Podemos usar la ley del cociente para obtener un solo logaritmo en cada lado:

 \log_{2}(x+4)-\log_{2}(3)=\log_{2}(x-2)-\log_{2}(5)

 \log_{2}(\frac{x+4}{3})=\log_{2}(\frac{x-2}{5})

No podemos reducir a las expresiones dentro de los logaritmos. Sin embargo, dado que ambos logaritmos tienen la misma base, podemos eliminarlos y formar una ecuación con los argumentos:

\frac{x+4}{3}=\frac{x-2}{5}

Podemos simplificar a esta expresión al multiplicar en cruz:

5(x+4)=3(x-2)

Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación para simplificar:

5x+20=3x-6

Tenemos una ecuación lineal, por lo que podemos resolver fácilmente:

5x+20=3x-6

2x=-26

x=-13

EJEMPLO 4

  • Resuelve la ecuación logarítmica:  \ln({{x}^2})+\frac{1}{2}\ln(4)=\ln({{x}^2}+16).

Solución: Aquí, tenemos logaritmos naturales, es decir, logaritmos con base e. Estos logaritmos son denotados con ln. A pesar de que se escriben un poco diferente, todas las leyes de los logaritmos aplican normalmente para los logaritmos naturales.

Podemos usar la ley de la potencia para reescribir al logaritmo que tiene una fracción en frente:

 \ln({{x}^2})+\frac{1}{2}\ln(4)=\ln({{x}^2}+16)

 \ln({{x}^2})+\ln({{4}^{\frac{1}{2}}})=\ln({{x}^2}+16)

 \ln({{x}^2})+\ln(2)=\ln({{x}^2}+16)

Ahora, podemos usar la ley del producto de logaritmos para simplificar la parte izquierda de la ecuación:

 \ln(2{{x}^2})=\ln({{x}^2}+16)

Tenemos un logaritmo natural en cada lado, por lo que podemos eliminarlo y escribir una ecuación con los argumentos:

2{{x}^2}={{x}^2}+16

Podemos resolver esta ecuación cuadrática fácilmente:

2{{x}^2}={{x}^2}+16

2{{x}^2}-{{x}^2}=16

{{x}^2}=16

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos

x=\sqrt{16}

x=\pm 4

Entonces, tenemos dos respuestas, x=4 y x=-4.

EJEMPLO 5

  • Resuelve la ecuación logarítmica:  \log(5x+40)=2.

Solución: Vemos que tenemos al logaritmo sin ninguna base escrita. Cuando tenemos esto, asumimos que el logaritmo tiene base 10. De hecho, el logaritmo con base 10 es denominado el logaritmo común.

En este caso, solo tenemos un logaritmo de un solo lado. Consideramos a esto como el segundo caso mencionado arriba:

tipos de ecuaciones logaritmicas 2

Vamos a transformar a la ecuación de forma logarítmica a exponencial para resolver. Entonces, el argumento del logaritmo permanece en su lugar y eliminamos el logaritmo. El número de la derecha se vuelve el exponente de la base del logaritmo, la cual es 10:

 \log(5x+40)=2

 5x+40={{10}^2}

Simplificamos el exponente y resolvemos la ecuación:

 5x+40=100

5x=60

x=12

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EJEMPLO 6

  • Resuelve la ecuación logarítmica:  \log_{2}(5x)-2=\log_{2}(2x-2).

Solución: Podemos mover a todos los logaritmos a un lado de la ecuación y a los términos constantes al otro lado:

 \log_{2}(5x)-2=\log_{2}(2x-2)

 \log_{2}(5x)-\log_{2}(2x-2)=2

Ahora, podemos usar la ley del cociente para formar un solo logaritmo en la parte izquierda:

 \log_{2}(\frac{5x}{2x-2})=2

Ahora, vamos a escribir a la expresión en su forma exponencial. El argumento permanece en el mismo lugar y eliminamos el logaritmo. El 2 se vuelve el exponente de la base:

\frac{5x}{2x-2}={{2}^2}

\frac{5x}{2x-2}=4

Podemos multiplicar en cruz para simplificar:

5x=4(2x-2)

Simplificamos con la propiedad distributiva de la multiplicación:

5x=8x-8

Fácilmente podemos resolver la ecuación lineal:

5x-8x=-8

-3x=-8

x=\frac{8}{3}


Véase también

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