Los grados son una elección humana. El número 360 viene de la astronomía antigua y se divide bien, pero no tiene nada que ver con el círculo en sí. El radián sí. Mide un ángulo por el arco que abarca, usando el radio de la propia circunferencia como regla.
Esa sola idea explica por qué $latex \pi$ aparece en toda fórmula de trigonometría, por qué las fórmulas de longitud de arco y de área de un sector son tan cortas y por qué el cálculo exige radianes. Arrastra el punto de abajo y mira cómo el arco se extiende sobre la regla.
¿Qué es un radián?
Un radián es el ángulo en el centro de un círculo que abarca un arco exactamente tan largo como el radio. Toma el radio, débalo sobre la circunferencia y el ángulo que cubre mide 1 radián. En la herramienta de arriba, cada tramo de la regla mide un radio, así que el número de tramos que cubre el arco es el ángulo en radianes.
Para cualquier ángulo central $latex \theta$ que abarca un arco de longitud $latex s$ en una circunferencia de radio $latex r$:
$$\theta=\frac{s}{r}$$
Es una razón entre dos longitudes, así que el radián no tiene unidades. Escribir "rad" es opcional y solo sirve de recordatorio.
Por qué una vuelta completa son 2π radianes
La circunferencia mide $latex 2\pi r$, es decir, $latex 2\pi$ radios. Por eso una vuelta completa son $latex 2\pi$ radianes, media vuelta son $latex \pi$ y un cuarto de vuelta son $latex \frac{\pi}{2}$. Por eso la regla de la herramienta termina en $latex \pi$ en su primera fila y en $latex 2\pi$ en la segunda.
Como $latex \pi\text{ rad}=180^{\circ}$, un radián es un poco menos que 60 grados:
$$1\text{ rad}=\frac{180^{\circ}}{\pi}\approx 57.2958^{\circ}$$
Convertir entre grados y radianes
Multiplica por la fracción adecuada para que se cancele la unidad que no quieres:
$$\text{radianes}=\text{grados}\times\frac{\pi}{180}\qquad\qquad \text{grados}=\text{radianes}\times\frac{180}{\pi}$$
Para practicar muchas conversiones, consulta nuestros artículos de grados a radianes y de radianes a grados. Aquí el objetivo es entender qué significan los números.
Ángulos especiales en el círculo unitario
El círculo unitario es la circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Unos cuantos ángulos aparecen todo el tiempo, y su seno y su coseno son valores exactos que conviene conocer.
| Grados | Radianes | cos | sin |
|---|---|---|---|
| 0° | $latex 0$ | $latex 1$ | $latex 0$ |
| 30° | $latex \frac{\pi}{6}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $latex \frac{1}{2}$ |
| 45° | $latex \frac{\pi}{4}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 60° | $latex \frac{\pi}{3}$ | $latex \frac{1}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| 90° | $latex \frac{\pi}{2}$ | $latex 0$ | $latex 1$ |
| 120° | $latex \frac{2\pi}{3}$ | $latex -\frac{1}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| 135° | $latex \frac{3\pi}{4}$ | $latex -\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 150° | $latex \frac{5\pi}{6}$ | $latex -\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $latex \frac{1}{2}$ |
| 180° | $latex \pi$ | $latex -1$ | $latex 0$ |
| 270° | $latex \frac{3\pi}{2}$ | $latex 0$ | $latex -1$ |
| 360° | $latex 2\pi$ | $latex 1$ | $latex 0$ |
No necesitas memorizar la tabla. Para 0°, 30°, 45°, 60° y 90°, los valores del seno son $latex \frac{\sqrt{0}}{2},\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{4}}{2}$. Los del coseno son la misma lista al revés. Las demás filas son imágenes reflejadas de estas, con los signos que marca el cuadrante.
Seno y coseno como coordenadas
Esta es la imagen que hay detrás de las definiciones. Parte del punto $latex (1,0)$ y avanza en sentido contrario a las manecillas del reloj por el círculo unitario hasta que el arco mida $latex \theta$. Llegas al punto:
$$P(\theta)=(\cos\theta,\ \sin\theta)$$
El segmento azul horizontal de la herramienta es $latex \cos\theta$ y el rojo vertical es $latex \sin\theta$. Como el punto está sobre una circunferencia de radio 1, $latex x^2+y^2=1$, lo que da la identidad $latex \cos^2\theta+\sin^2\theta=1$.
- Cuadrante I (de 0 a $latex \frac{\pi}{2}$): coseno positivo, seno positivo.
- Cuadrante II (de $latex \frac{\pi}{2}$ a $latex \pi$): coseno negativo, seno positivo.
- Cuadrante III (de $latex \pi$ a $latex \frac{3\pi}{2}$): ambos negativos.
- Cuadrante IV (de $latex \frac{3\pi}{2}$ a $latex 2\pi$): coseno positivo, seno negativo.
En una circunferencia de radio $latex r$, el mismo punto es $latex (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$.
Por qué los radianes simplifican las fórmulas
Con el ángulo en radianes, la longitud de arco y el área del sector no necesitan ningún factor de conversión:
$$s=r\theta\qquad\qquad A=\frac{1}{2}r^2\theta$$
En grados, las mismas fórmulas llevan un $latex \frac{\pi}{180}$ extra, por ejemplo $latex s=\frac{\pi r\theta}{180}$. El cálculo va más lejos: la derivada de $latex \sin x$ es $latex \cos x$ solo cuando $latex x$ está en radianes. En grados aparece un factor molesto de $latex \frac{\pi}{180}$ cada vez. Nuestros artículos sobre el arco de una circunferencia y el área de un sector circular desarrollan estas fórmulas con detalle.
Ejercicios resueltos de radianes
Resuelve cada problema antes de abrir la solución.
EJERCICIO 1
Convierte $latex 150^{\circ}$ a radianes y $latex \frac{7\pi}{4}$ a grados.
Solución
$$150^{\circ}\times\frac{\pi}{180}=\frac{150\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}$$
$$\frac{7\pi}{4}\times\frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{7\cdot 180^{\circ}}{4}=315^{\circ}$$
Reduce la fracción de $latex \pi$ todo lo posible: $latex \frac{150\pi}{180}$ es $latex \frac{5\pi}{6}$.
EJERCICIO 2
Encuentra la longitud del arco en una circunferencia de radio 8 cm para un ángulo central de $latex \frac{3\pi}{4}$ radianes.
Solución
$$s=r\theta=8\cdot\frac{3\pi}{4}=6\pi\approx 18.85$$
El arco mide 6π cm, es decir, unos 18.85 cm.
EJERCICIO 3
Encuentra el área de un sector de radio 6 m y ángulo central $latex \frac{2\pi}{3}$.
Solución
$$A=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}\cdot 36\cdot\frac{2\pi}{3}=12\pi\approx 37.7$$
El sector tiene un área de 12π m², unos 37.7 m².
EJERCICIO 4
Encuentra las coordenadas del punto de una circunferencia de radio 10 con centro en el origen, en el ángulo $latex \frac{5\pi}{6}$.
Solución
El ángulo es $latex 150^{\circ}$, en el cuadrante II. Con la tabla, $latex \cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $latex \sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$.
$$(x,y)=\left(10\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\ 10\cdot\frac{1}{2}\right)=(-8.66,\ 5)$$
La coordenada x es negativa, como se espera en el segundo cuadrante.
EJERCICIO 5
La manecilla de los minutos de un reloj mide 12 cm. ¿Cuánto recorre su punta en 20 minutos?
Solución
En 20 minutos la manecilla gira un tercio de vuelta: $latex \theta=\frac{1}{3}\cdot 2\pi=\frac{2\pi}{3}$ radianes.
$$s=r\theta=12\cdot\frac{2\pi}{3}=8\pi\approx 25.13$$
La punta recorre unos 25.13 cm.
EJERCICIO 6
Una rueda de bicicleta de radio 0.35 m gira 5 radianes. ¿Cuánto avanza la bicicleta y cuántos grados son?
Solución
$$s=r\theta=0.35\cdot 5=1.75\text{ m}$$
$$5\text{ rad}\times\frac{180^{\circ}}{\pi}\approx 286.48^{\circ}$$
La bicicleta avanza 1.75 m, y 5 radianes son unos 286.48 grados, un poco menos de una vuelta completa.
Una idea del tamaño de un radián
Conviene tener en la cabeza algunos tamaños de referencia, para que una respuesta incorrecta se vea mal de un vistazo:
- 0.5 rad son unos 28.6° y 1 rad son unos 57.3°.
- 2 rad son unos 114.6° y 3 rad son unos 171.9°, un poco menos de media vuelta.
- 3.14 rad ($latex \pi$) es exactamente media vuelta, y 6.28 rad ($latex 2\pi$) es una vuelta completa.
Un uso rápido de esa idea: si tu calculadora está en modo radianes y escribes sin(30), obtienes -0.988 en lugar de 0.5, porque 30 radianes son más de cuatro vueltas completas. Un resultado tan lejos de 0.5 indica que el modo es incorrecto.
Dónde volverás a encontrar los radianes
Cuando piensas en radios, dos temas posteriores se vuelven más fáciles. En física, la velocidad angular se mide en radianes por segundo, y un punto a distancia $latex r$ del eje se mueve con rapidez $latex v=r\omega$. Un disco que gira a $latex 33\frac{1}{3}$ revoluciones por minuto tiene $latex \omega=33\frac{1}{3}\cdot\frac{2\pi}{60}\approx 3.49$ rad/s, así que un surco a 0.1 m del centro se mueve a unos 0.35 m/s.
En cálculo, el límite $latex \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ vale solo cuando $latex x$ está en radianes. Ese único hecho hace que la derivada del seno salga coseno sin constantes extra.
Errores comunes
- La calculadora en el modo equivocado. Si tu ángulo está en radianes, cambia a RAD antes de oprimir sin o cos.
- Escribir $latex \pi=180$. Lo correcto es $latex \pi\text{ radianes}=180^{\circ}$. El número $latex \pi$ vale aproximadamente 3.14.
- Usar grados en $latex s=r\theta$. La fórmula necesita $latex \theta$ en radianes, o debes convertir antes.
- Creer que 1 radián es un ángulo diminuto. Mide cerca de 57.3 grados.
- Perder el signo de las coordenadas. Decide primero el cuadrante y luego usa el ángulo de referencia.
- Dejar fracciones sin reducir, como $latex \frac{150\pi}{180}$ en vez de $latex \frac{5\pi}{6}$.
Ejercicios de radianes para resolver
Usa las fórmulas y la tabla de arriba. Abre cada respuesta para comprobar.
1. Convierte $latex 240^{\circ}$ a radianes.
Respuesta
$latex 240\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{4\pi}{3}$ radianes.
2. Convierte $latex \frac{11\pi}{6}$ radianes a grados.
Respuesta
$latex \frac{11\cdot 180^{\circ}}{6}=330^{\circ}$.
3. Un arco en una circunferencia de radio 5 cm abarca un ángulo de 1.4 radianes. ¿Cuánto mide el arco?
Respuesta
$latex s=5\cdot 1.4=7$ cm.
4. Encuentra el área de un sector de radio 10 cm y ángulo central $latex \frac{\pi}{5}$.
Respuesta
$latex A=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot\frac{\pi}{5}=10\pi\approx 31.42$ cm².
5. Da las coordenadas exactas del punto en el ángulo $latex \frac{5\pi}{4}$ del círculo unitario.
Respuesta
$latex \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, en el cuadrante III, donde ambas coordenadas son negativas.
6. Un punto del círculo unitario en el cuadrante II tiene coordenada x igual a $latex -0.6$. Encuentra su coordenada y y su ángulo en radianes.
Respuesta
$latex y=\sqrt{1-0.36}=0.8$. El ángulo es $latex \theta=\arccos(-0.6)\approx 2.2143$ radianes, unos 126.87°.
Preguntas frecuentes
¿Por qué un círculo completo tiene 2π radianes?
Porque la circunferencia mide $latex 2\pi r$ y cada radio de arco es un radián. Una vuelta completa contiene $latex 2\pi$ radios.
¿Cuántos grados es un radián?
Unos 57.2958 grados, que sale de $latex \frac{180}{\pi}$.
¿El radián tiene unidad?
Es una razón entre dos longitudes, así que es adimensional. Escribir "rad" solo indica al lector qué medida de ángulo usas.
¿Cuándo uso grados y cuándo radianes?
Los grados sirven para ángulos cotidianos y para construir. Usa radianes en longitud de arco, área de sectores, gráficas de funciones trigonométricas y todo lo de cálculo y física.
¿Cómo uso radianes en la calculadora?
La mayoría tiene un modo RAD. Escribir sin(π/6) en modo RAD da 0.5, igual que sin(30) en modo DEG.
Calculadoras relacionadas
Practica y comprueba con estas herramientas:
- Círculo unitario interactivo
- Calculadora de grados a radianes
- Calculadora de seno
- Calculadora de coseno
Véase también
Más sobre ángulos, circunferencias y el círculo unitario: