El área de un sector circular representa a la cantidad de espacio ocupada por el sector. Podemos calcular el área de un sector circular al encontrar el área total del círculo y multiplicarla por el ángulo del sector sobre 360°.
A continuación, aprenderemos a calcular el área de un sector circular dado tanto en grados como en radianes. Conoceremos las fórmulas que podemos usar y las aplicaremos para resolver algunos ejercicios de práctica.
¿Cómo calcular el área de un sector circular?
Recordemos que un sector circular es una porción del círculo que es formada por sus dos radios y por un arco que une a los radios. Un ejemplo común de un sector circular es un semi círculo, el cual representa la mitad de un círculo.
Podemos encontrar el área de un sector circular considerando que el área será igual al área total del círculo multiplicada por una fracción que representa al sector con respecto al círculo completo.
Por ejemplo, si supongamos que queremos encontrar el área del siguiente sector, el cual representa un cuarto del círculo.
Podemos empezar calculando el área del círculo. Entonces, vemos que el radio es igual a 2 unidades. Usando la fórmula $latex A=\pi r^2$, tenemos $latex A=50.265$.
Ahora, simplemente dividimos esa área por 4 para obtener el área del sector. Entonces, el área del sector es 12.566 unidades cuadradas.
Esta idea puede ser extendida para encontrar el área de cualquier sector usando las fórmulas que se indican a continuación.
Fórmulas del área de un sector circular
Tenemos dos fórmulas principales que podemos usar para encontrar el área de un sector circular dependiendo en cómo sea expresado el ángulo del sector circular.
Área de un sector circular usando grados
Sabemos que un círculo completo tiene un total de 360°. Además, sabemos que el área de un círculo puede ser encontrada usando la fórmula $latex A=\pi r^2$, en donde, r es el radio del círculo.
Entonces, si es que conocemos el ángulo del sector, podemos encontrar su área con la siguiente fórmula:
| $$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$ |
en donde, θ es el ángulo que representa al sector dado en grados y r es el radio del círculo.
Área de un sector circular usando radianes
Un círculo completo tiene un total de 2π radianes, lo cual equivale a 360°. Entonces, podemos modificar la fórmula anterior para usarla cuando tenemos al sector circular definido en radianes.
$$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{2\pi}\times \pi r^2$$
| $$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{2}\times r^2$$ |
en donde, θ es el ángulo que representa al sector dado en radianes y r es el radio del círculo.
Área de un sector circular – Ejercicios resueltos
Cada uno de los siguientes ejercicios tiene su respectiva respuesta. Estos ejercicios son resueltos aplicando las fórmulas del área de un sector circular.
EJERCICIO 1
Encuentra el área de un sector circular que tiene un ángulo central de 30° y un radio de 2 m.
Solución
En este ejercicio, tenemos un sector circular dado en grados, entonces, podemos usar la siguiente función con los valores dados:
$$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}}\times \pi (2)^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{1}{12}\times \pi (4)$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{\pi}{3}$$
El área del sector es $latex \frac{\pi}{3}~m^2$.
EJERCICIO 2
¿Cuál es el área de un sector circular que tiene un radio de 3 cm y un ángulo central de π/3?
Solución
Dado que tenemos un sector circular dado en radianes, podemos usar la segunda fórmula:
$$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{2}\times r^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\times (3)^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{\pi}{6}\times 9$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{3\pi}{2}$$
El área del sector circular es $latex \frac{3\pi}{2}~cm^2$
EJERCICIO 3
Si es que un sector circular tiene un radio de 4 cm y un ángulo de 40°, encuentra su área.
Solución
El sector circular está dado en grados, por lo que usamos la primera fórmula con los valores r=4 y θ=40°. Entonces, tenemos:
$$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{40^{\circ}}{360^{\circ}}\times \pi (4)^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{1}{9}\times \pi (16)$$
$$A_{\text{sector}}=5.585$$
El área del sector es $latex 5.585~cm^2$.
EJERCICIO 4
Determina el área de un sector que tiene un ángulo de π/4 y un radio de 5 cm.
Solución
Vamos a usar la segunda fórmula con los valores r=5 y θ=π/4. Entonces, tenemos:
$$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{2}\times r^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{\frac{\pi}{4}}{2}\times (5)^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{\pi}{8}\times 25$$
$$A_{\text{sector}}=9.817$$
El área del sector circular es $latex 9.817~cm^2$
EJERCICIO 5
Encuentra el área de un sector circular que tiene un ángulo de 140° y un radio de 2.5 cm.
Solución
Usando la primera fórmula con los valores r=2.5 y θ=140°, tenemos:
$$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{140^{\circ}}{360^{\circ}}\times \pi (2.5)^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{7}{18}\times \pi (6.25)$$
$$A_{\text{sector}}=7.636$$
El área del sector es $latex 7.636~cm^2$.
EJERCICIO 6
Encuentra el área de un sector circular que tiene un ángulo de 3π/4 y un radio de 3 cm.
Solución
Usando la segunda fórmula con los valores r=3 y θ=3π/4, tenemos:
$$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{2}\times r^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{\frac{3\pi}{4}}{2}\times (3)^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{3\pi}{8}\times 9$$
$$A_{\text{sector}}=10.603$$
El área del sector circular es $latex 10.603~cm^2$
EJERCICIO 7
Encuentra el área de un sector circular que tiene un ángulo de 110° y un radio de 10 cm.
Solución
Usamos la primera fórmula con los valores r=10 y θ=110° y tenemos:
$$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{360^{\circ}}\times \pi r^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{110^{\circ}}{360^{\circ}}\times \pi (10)^2$$
$$A_{\text{sector}}=\frac{11}{36}\times \pi (100)$$
$$A_{\text{sector}}=96$$
El área del sector es $latex 96~cm^2$.
Área de un sector circular – Ejercicios para resolver
Usa las fórmulas del área de un sector circular para resolver los siguientes ejercicios. Haz clic en «Verificar» para comprobar que tu respuesta es la correcta.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
