Área de un Círculo – Fórmulas y Ejercicios

El área de un círculo es la región ocupada por el círculo en el plano bidimensional. Podemos fácilmente determinar esta área usando la fórmula A=πr², en donde r es la longitud del radio del círculo y en donde π es una constante matemática con un valor aproximado de 3.14.

A continuación, exploraremos el área de un círculo más detalladamente. Conoceremos de dónde se deriva la fórmula del área de un círculo. Además, veremos otros métodos para calcular esta área.

GEOMETRÍA
fórmula del área de un círculo

Relevante para

Aprender sobre el área de un círculo con ejercicios.

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fórmula del área de un círculo

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Calcular el área de un círculo usando el radio

Recordemos que un círculo es una figura geométrica cerrada. Técnicamente, un círculo es un conjunto de puntos ubicados a una distancia fija desde un punto central. La distancia fija desde el punto es el radio del círculo.

El radio es la línea que une al centro del círculo hasta el límite exterior. El siguiente es un círculo con un radio r:

radio de un círculo

El área de un círculo puede ser calculada con la siguiente fórmula:

A=πr²

en donde, r es la longitud del radio y π es el valor de pi, $latex \pi=\frac{22}{7}$ o aproximadamente 3.14.

Demostración de la fórmula del área de círculos

Podemos derivar la fórmula del área de círculos al dividir al círculo en varios sectores y organizar a los sectores como se muestra en la siguiente figura:

derivación de la fórmula del área de un círculo

El área del círculo es igual al área del paralelogramo formado por los sectores cortados del círculo. Dado que todos los sectores tienen la misma área, cada sector tendrá la misma longitud de arco.

Si es que el número de sectores cortados del círculo es incrementado, el paralelogramo eventualmente se verá como un rectángulo con una base igual a πr y una altura igual a r.

Sabemos que el área de un rectángulo es igual a base por altura, por lo que tenemos:

$latex A=\pi r\times r$

$latex A=\pi {{r}^2}$


¿Cómo encontrar el área de un círculo usando el diámetro?

Para encontrar el área de un círculo cuando conocemos la longitud del diámetro, tenemos que encontrar la longitud del radio usando el diámetro para luego usarla en la fórmula del área de un círculo.

Recordemos que el diámetro es igual a $latex d=2r$. Es decir, la longitud del radio es igual a la longitud del diámetro dividida por 2.

Luego, podemos usar la fórmula del Área de un Círculo estándar con la longitud del radio encontrada:

$latex A=\pi r^2$

Alternativamente, podemos determinar una fórmula para el área de un círculo en términos del diámetro.

Entonces, recordando que la fórmula de un círculo es la siguiente:

$latex A=\pi r^2$

podemos sustituir la siguiente relación en la fórmula:

$latex d=2r$

$latex r=\frac{d}{2}$

Entonces, tenemos:

$latex A=\pi r^2$

$latex A=\pi (\frac{d}{2})^2$

$$A=\pi (\frac{d^2}{4})$$

en donde d es el diámetro del círculo y A es su área.


¿Cómo encontrar el área de un círculo usando la circunferencia?

Podemos encontrar el área de un círculo determinando la longitud del radio a partir de la circunferencia y luego usar esa longitud en la fórmula estándar del área de un círculo.

Entonces, recordamos que la circunferencia puede ser escrita de la siguiente forma:

$latex C=2\pi r$

Por lo tanto, para encontrar la longitud del radio, podemos dividir a la circunferencia por 2π. Después, usamos la fórmula del Área de un Círculo con el radio encontrado:

$latex A=\pi r^2$

Alternativamente, podemos derivar una fórmula para el área de un círculo en términos de la circunferencia. Entonces, empezamos con la fórmula estándar del área de un círculo:

$latex A=\pi r^2$

Ahora, podemos sustituir la siguiente ecuación:

$latex C=2\pi r$

$latex r=\frac{C}{2\pi}$

Entonces, tenemos:

$latex A=\pi r^2$

$latex A=\pi (\frac{C}{2\pi})^2$

$latex A=\pi (\frac{C^2}{4\pi^2})$

$$A= \frac{C^2}{4\pi}$$

en donde C es la circunferencia y A es el área del círculo.


Ejercicios de áreas de círculos resueltos

EJERCICIO 1

¿Cuál es el área de un círculo que tiene un radio de 5 m?

Podemos usar la primera fórmula del área con el valor $latex r=5$. Entonces, tenemos:

$latex A=\pi {{r}^2}$

$latex A=\pi {{(5)}^2}$

$latex A=\pi (25)$

$latex A=78.5$

El área del círculo es 78.5 m².

EJERCICIO 2

Un círculo tiene un radio de 12 m. ¿Cuál es su área?

Aquí, tenemos el radio $latex r=12$, por lo que usamos este valor en la primera fórmula del área:

$latex A=\pi {{r}^2}$

$latex A=\pi {{(12)}^2}$

$latex A=\pi (144)$

$latex A=452.4$

El área del círculo es 452.4 m².

EJERCICIO 3

¿Cuál es el área de un círculo que tiene un diámetro de 10 m?

En este caso, tenemos al diámetro en vez del radio, por lo que usamos la segunda fórmula con el valor $latex d=10$. Entonces, tenemos:

$latex A=\pi(\frac{{{d}^2}}{4})$

$latex A=\pi(\frac{{{(10)}^2}}{4})$

$latex A=\pi(\frac{100}{4})$

$latex A=\pi(25)$

$latex A=78.5$

El área del círculo es 78.5 m².

EJERCICIO 4

Si es que un círculo tiene un diámetro de 20 m. ¿Cuál es su área?

Nuevamente, usamos el diámetro en la segunda fórmula con el valor. Entonces, reemplazamos el valor $latex d=20$:

$latex A=\pi(\frac{{{d}^2}}{4})$

$latex A=\pi(\frac{{{(20)}^2}}{4})$

$latex A=\pi(\frac{400}{4})$

$latex A=\pi(100)$

$latex A=314.16$

El área del círculo es 314.16 m².

EJERCICIO 5

Un círculo tiene un área de 150 cm². ¿Cuál es la longitud de su radio?

En este caso, empezamos con el área y queremos encontrar la longitud del radio. Entonces, usamos el valor $latex A=150$ en la primera fórmula y resolvemos para r:

$latex A=\pi {{r}^2}$

$latex 150=\pi {{r}^2}$

$latex {{r}^2}=\frac{150}{\pi}$

$latex {{r}^2}=47.75$

$latex r=6.91$

El radio del círculo es 6.91 cm.

EJERCICIO 6

Determina la longitud del diámetro de un círculo que tiene un área de $latex 55~{{cm}^2}$.

Este ejercicio es similar al anterior, por lo que tenemos que usar el valor del área dado y resolver para d:

$$A=\pi (\frac{d^2}{4})$$

$$55=\pi (\frac{d^2}{4})$$

$latex 220=\pi~{{d}^2}$

$latex d^2=70.028$

$latex d=8.368$

El diámetro del círculo tiene una longitud de 8.368 cm.

EJERCICIO 7

¿Cuál es el área de un círculo que tiene una circunferencia de 25 cm?

Vamos a usar el primer método. Entonces, encontramos la longitud del radio de la siguiente manera:

$latex r=\frac{C}{2\pi}$

$latex r=\frac{25}{2\pi}$

$latex r=3.979$

Ahora, usamos la fórmula del área de un círculo en términos del radio:

$latex A=\pi~r^2$

$latex A=\pi~(3.979)^2$

$latex A\approx 49.739$

El área del círculo es 49.739 cm2.

EJERCICIO 8

Encuentra la circunferencia de un círculo que tiene un área de $latex 88~{{cm}^2}$.

Podemos resolver este ejercicio al usar la fórmula del área de un círculo en términos de la circunferencia y resolver para C:

$$A= \frac{C^2}{4\pi}$$

$$88= \frac{C^2}{4\pi}$$

$latex 352\pi={{C}^2}$

$latex C=33.254$

La circunferencia del círculo es igual a 33.254 cm.


Ejercicios de áreas de círculos para resolver

Práctica de áreas de círculos
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Si es que un círculo que tiene un área de $latex 60 ~{{m}^2}$, ¿cuál es su circunferencia?

Escribe la respuesta a dos lugares decimales.

$latex C=$ m

Véase también

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Imagen de perfil del autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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