El área de un círculo es la región ocupada por el círculo en el plano bidimensional. Podemos fácilmente determinar esta área usando la fórmula A=πr², en donde r es la longitud del radio del círculo y en donde π es una constante matemática con un valor aproximado de 3.14. Esta fórmula es útil para encontrar el espacio ocupado por un campo circular o una gráfica. Por ejemplo, supongamos que si queremos comprar un mantel para una mesa redonda, entonces, esta fórmula nos permite determinar la porción del mantel que es necesario para cubrirla completamente.

A continuación, exploraremos el área de un círculo más detalladamente. Conoceremos de dónde se deriva la fórmula del área de un círculo. Además, resolveremos algunos ejercicios en donde aplicaremos esta fórmula.

GEOMETRÍA
fórmula del área de un círculo

Relevante para

Aprender sobre el área de un círculo con ejercicios.

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fórmula del área de un círculo

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Fórmulas del área de un círculo

Recordemos que un círculo es una figura geométrica cerrada. Técnicamente, un círculo es un conjunto de puntos ubicados a una distancia fija desde un punto central. La distancia fija desde el punto es el radio del círculo.

El radio es la línea que une al centro del círculo hasta el límite exterior. El siguiente es un círculo con un radio r:

radio de un círculo

El área de un círculo puede ser calculada con la siguiente fórmula:

A=πr²

en donde, r es la longitud del radio y π es el valor de pi,  \pi=\frac{22}{7} o aproximadamente 3.14.

Derivación de la fórmula del área de círculos

Podemos derivar la fórmula del área de círculos al dividir al círculo en varios sectores y organizar a los sectores como se muestra en la siguiente figura:

derivación de la fórmula del área de un círculo

El área del círculo es igual al área del paralelogramo formado por los sectores cortados del círculo. Dado que todos los sectores tienen la misma área, cada sector tendrá la misma longitud de arco.

Si es que el número de sectores cortados del círculo es incrementado, el paralelogramo eventualmente se verá como un rectángulo con una base igual a πr y una altura igual a r.

Sabemos que el área de un rectángulo es igual a base por altura, por lo que tenemos:

A=\pi r\times r

A=\pi {{r}^2}

Área de un círculo con diámetro

Recordemos que el diámetro es igual a la distancia de la línea que cruza a través del centro del círculo y conecta ambos extremos. Esta distancia es igual al doble del radio, es decir, tenemos d=2r o equivalentemente r=\frac{d}{2}.

Para calcular el área de un círculo con diámetro, tenemos que reemplazar esta equivalencia en la fórmula del área:

A=\pi {{r}^2}

A=\pi {{(\frac{d}{2})}^2}

A=\pi (\frac{{{d}^2}}{4})

en donde, d es la longitud del diámetro


Ejercicios de áreas de círculos resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos usando las fórmulas del área de un círculo vistas arriba. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, en donde se detalla el proceso y razonamiento usados.

EJERCICIO 1

¿Cuál es el área de un círculo que tiene un radio de 5 m?

Podemos usar la primera fórmula del área con el valor r=5. Entonces, tenemos:

A=\pi {{r}^2}

A=\pi {{(5)}^2}

A=\pi (25)

A=78.5

El área del círculo es 78.5 m².

EJERCICIO 2

Un círculo tiene un radio de 12 m. ¿Cuál es su área?

Aquí, tenemos el radio r=12, por lo que usamos este valor en la primera fórmula del área:

A=\pi {{r}^2}

A=\pi {{(12)}^2}

A=\pi (144)

A=452.4

El área del círculo es 452.4 m².

EJERCICIO 3

¿Cuál es el área de un círculo que tiene un diámetro de 10 m?

En este caso, tenemos al diámetro en vez del radio, por lo que usamos la segunda fórmula con el valor d=10. Entonces, tenemos:

A=\pi(\frac{{{d}^2}}{4})

A=\pi(\frac{{{(10)}^2}}{4})

A=\pi(\frac{100}{4})

A=\pi(25)

A=78.5

El área del círculo es 78.5 m².

EJERCICIO 4

Si es que un círculo tiene un diámetro de 20 m. ¿Cuál es su área?

Nuevamente, usamos el diámetro en la segunda fórmula con el valor. Entonces, reemplazamos el valor d=20:

A=\pi(\frac{{{d}^2}}{4})

A=\pi(\frac{{{(20)}^2}}{4})

A=\pi(\frac{400}{4})

A=\pi(100)

A=314.16

El área del círculo es 314.16 m².

EJERCICIO 5

Un círculo tiene un área de 150 cm². ¿Cuál es la longitud de su radio?

En este caso, empezamos con el área y queremos encontrar la longitud del radio. Entonces, usamos el valor A=150 en la primera fórmula y resolvemos para r:

A=\pi {{r}^2}

150=\pi {{r}^2}

{{r}^2}=\frac{150}{\pi}

{{r}^2}=47.75

r=6.91

El radio del círculo es 6.91 cm.

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Ejercicios de áreas de círculos para resolver

Usa los siguientes ejercicios para practicar la aplicación de las fórmulas del área de círculos. Selecciona una respuesta y comprueba que es la correcta al hacer clic en “Verificar”. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.

Si es que tenemos un círculo con un radio de 8m, ¿cuál es su área?

Escoge una respuesta






Si es que tenemos un círculo con un radio de 15m, ¿cuál es su área?

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¿Cuál es el área de un círculo que tiene un diámetro de 16m?

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¿Cuál es el radio de un círculo que tiene un área de 254.5{{m}^2}?

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