Círculo Unitario Interactivo
°
Ángulos especiales:
cos θ sin θ tan θ
Arrastra sobre el círculo para mover el ángulo. Se pega a los ángulos especiales cuando pasas cerca.
Ángulo:
Seno, sin θ:
Coseno, cos θ:
Tangente, tan θ:
Punto del círculo (cos θ, sin θ):
Ubicación del ángulo:
Ángulo de referencia:
Recíprocas:
Cálculo:
Mueve un ángulo por el círculo unitario y mira cómo cambian el seno, el coseno y la tangente. El coseno es el segmento horizontal, el seno es el segmento vertical y la tangente es el segmento verde que sale del punto (1, 0). Para los ángulos especiales, la calculadora te da el valor exacto, como √3/2, además del decimal, y te dice el cuadrante y el ángulo de referencia.
Más abajo tienes el método paso a paso, ejemplos resueltos, la tabla de ángulos especiales y las preguntas más comunes.
¿Cómo usar el círculo unitario interactivo?
Paso 1: Arrastra sobre el círculo, mueve el deslizador, toca un ángulo especial o escribe el ángulo. Elige Grados o Radianes. En radianes puedes escribir pi/6 o 2pi/3.
Paso 2: Presiona Calcular o la tecla Enter si escribiste el valor. El círculo se actualiza al instante.
Paso 3: Observa los segmentos: azul para cos θ, naranja para sin θ y verde para tan θ. El punto del círculo tiene coordenadas (cos θ, sin θ).
Paso 4: Lee los valores, el cuadrante y el ángulo de referencia en los resultados. En el recuadro Cálculo verás cómo se obtienen con tu ángulo.
Qué es el círculo unitario
El círculo unitario tiene radio 1 y su centro en el origen. Si un ángulo θ se mide desde el eje x positivo, el punto del círculo en esa dirección tiene coordenadas (cos θ, sin θ). Por eso el coseno es la coordenada x y el seno es la coordenada y. Como el radio es 1, cumplen siempre:
| sin² θ + cos² θ = 1 |
| tan θ = sin θ ÷ cos θ |
La tangente es el segmento verde porque, al prolongar el radio hasta la recta vertical x = 1, la altura a la que llega es tan θ. Cuando cos θ = 0 (90° y 270°) el radio es paralelo a esa recta y la tangente no existe.
Cuadrante y ángulo de referencia
El ángulo de referencia es el ángulo agudo que forma el radio con el eje x. Con él, los valores de cualquier ángulo se reducen a los de 0°, 30°, 45°, 60° o 90°, y el cuadrante decide los signos.
| Cuadrante | Ángulos | Ángulo de referencia | Signos |
|---|---|---|---|
| I | 0° a 90° | θ | sin +, cos +, tan + |
| II | 90° a 180° | 180° - θ | sin +, cos -, tan - |
| III | 180° a 270° | θ - 180° | sin -, cos -, tan + |
| IV | 270° a 360° | 360° - θ | sin -, cos +, tan - |
Ejemplos del círculo unitario
Ejemplo 1: 30°
30° = π/6 rad, cuadrante I, ángulo de referencia 30°
sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = √3/3
El punto del círculo es (√3/2, 1/2) ≈ (0.866, 0.5).
Ejemplo 2: 135°
135° = 3π/4 rad, cuadrante II, ángulo de referencia 180° - 135° = 45°
sin 135° = √2/2, cos 135° = -√2/2, tan 135° = -1
En el cuadrante II el seno es positivo y el coseno es negativo, por eso la tangente sale negativa.
Ejemplo 3: 210°
210° = 7π/6 rad, cuadrante III, ángulo de referencia 210° - 180° = 30°
sin 210° = -1/2, cos 210° = -√3/2, tan 210° = √3/3
En el cuadrante III el seno y el coseno son negativos, y su cociente, la tangente, es positivo.
Ejemplo 4: 5π/3 radianes
5π/3 × 180° ÷ π = 300°, cuadrante IV, ángulo de referencia 360° - 300° = 60°
sin = -√3/2, cos = 1/2, tan = -√3
Un ángulo de -60° tiene los mismos valores, porque es coterminal con 300°: apunta al mismo lugar del círculo.
Tabla de valores exactos de los ángulos especiales
| Grados | Radianes | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | no definida |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 |
| 135° | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 |
| 180° | π | 0 | -1 | 0 |
| 210° | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | -√2/2 | -√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 | no definida |
| 300° | 5π/3 | -√3/2 | 1/2 | -√3 |
| 315° | 7π/4 | -√2/2 | √2/2 | -1 |
| 330° | 11π/6 | -1/2 | √3/2 | -√3/3 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Preguntas frecuentes
¿Por qué el seno es la coordenada y y el coseno la coordenada x?
Porque en el círculo unitario la hipotenusa del triángulo rectángulo mide 1. Entonces el cateto horizontal es cos θ (hipotenusa por cos θ) y el cateto vertical es sin θ. Son las coordenadas del punto.
¿Cómo encuentro el seno de 150° sin calculadora?
Busca el ángulo de referencia: 180° - 150° = 30°. El seno de 30° es 1/2 y en el cuadrante II el seno es positivo, así que sin 150° = 1/2. El coseno sale con signo negativo: cos 150° = -√3/2.
¿Cuántos grados son π radianes?
π radianes son 180°, y 2π radianes son una vuelta completa de 360°. Para pasar de grados a radianes se multiplica por π y se divide entre 180. Puedes comprobarlo con la calculadora de grados a radianes.
¿Por qué la tangente de 90° no existe?
Porque tan θ = sin θ ÷ cos θ y cos 90° = 0. No se puede dividir entre 0. En el círculo, el radio a 90° es vertical y nunca corta la recta x = 1, así que el segmento verde no se puede dibujar.
¿Qué pasa con ángulos mayores que 360° o negativos?
Cada vuelta completa de 360° regresa al mismo punto. 450° apunta igual que 90°, y -30° apunta igual que 330°. La calculadora te muestra el ángulo equivalente dentro de una vuelta.
Para aprender más
- El círculo unitario
- Razones trigonométricas de ángulos notables
- Convertir grados a radianes
- Ángulos coterminales
- Identidades pitagóricas
Calculadoras relacionadas
- Calculadora de Grados a Radianes
- Calculadora de Seno (Grados y Radianes)
- Calculadora de Coseno (Grados y Radianes)
- Calculadora de Tangente (Grados y Radianes)
- Calculadora Graficadora de Funciones
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