Los ángulos coterminales son los ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal. Los ángulos coterminales son equivalentes el uno con el otro ya que representan la misma dirección. Es posible tener tanto ángulos coterminales positivos como negativos.
A continuación, exploraremos estos conceptos más a detalle usando diagramas y conoceremos la fórmula que podemos usar para calcular ángulos coterminales tanto en grados como en radianes. Luego, aplicaremos esta fórmula para resolver algunos ejercicios de práctica.
¿Qué son los ángulos coterminales?
Los ángulos coterminales son definidos como los ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal. Estos ángulos son considerados como equivalentes ya que indican la misma dirección. Es posible tener ángulos terminales positivos y negativos.
¿Cuál es la fórmula de los ángulos coterminales?
La fórmula para encontrar los ángulos terminales de un ángulo dado depende en si el ángulo dado está en radianes o en grados. Entonces, tenemos las siguientes dos fórmulas:
| Grados: $latex \theta\pm 360^{\circ} n$ Radianes: $latex \theta\pm 2\pi n$ |
en donde, n es cualquier número entero.
En el ejemplo de arriba, tenemos que 45° y -315° son coterminales. Podemos verificar esto al restarlos y observar que su diferencia es 360°:
$latex 45^{\circ}-(-315^{\circ})=360^{\circ}$
También podemos encontrar otro ángulo coterminal al ángulo de 45°:
En este caso, observamos que la diferencia entre ambos ángulos es -360°, el cual es un múltiplo de 360°:
$latex 45^{\circ}-405^{\circ}=-360^{\circ}$
Podemos concluir que dos ángulos son considerados coterminales si es que su diferencia es igual a un múltiplo de 360° o un múltiplo de 2π si es que el ángulo está en radianes.
De igual forma, podemos encontrar ángulos coterminales de un ángulo dado al sumar un múltiplo de 360° o un múltiplo de 2π al ángulo original.
Ángulos coterminales positivos o negativos
En el ejemplo de arriba, encontramos que 405° y -315° son los ángulos coterminales de 45°. Entonces, tenemos:
- 405° es el ángulo coterminal positivo de 45°
- -315° es el ángulo coterminal negativo de 45°
Entonces, podemos decidir si es que queremos sumar o restar múltiplos de 360° o de 2π dependiendo en si queremos obtener un ángulo coterminal positivo o negativo.
Ejercicios de ángulos coterminales resueltos
Las fórmulas de los ángulos coterminales son aplicadas para resolver los siguientes ejercicios. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, en donde puedes mirar el proceso y razonamiento usados.
EJERCICIO 1
Encuentra dos ángulos coterminales de 30°.
Solución
El ángulo dado es $latex \theta=30^{\circ}$. La fórmula para encontrar los ángulos coterminales es:
$latex \theta \pm 360n$
n puede ser cualquier número entero. Podemos usar $latex n=1$ y $latex n=-1$ para encontrar dos ángulos coterminales diferentes. Entonces, tenemos:
$latex \theta \pm 360n$
$latex =30^{\circ} + 360(1)$
$latex =390^{\circ}$
Ahora, usando $latex n=-1$, tenemos:
$latex \theta \pm 360n$
$latex =30^{\circ} + 360(-1)$
$latex =-330^{\circ}$
EJERCICIO 2
Encuentra dos ángulos coterminales de $latex \frac{\pi}{4}$.
Solución
Tenemos el ángulo $latex \theta=\frac{\pi}{4}$. Este ángulo está en radianes, por lo que usamos la siguiente fórmula para encontrar los ángulos coterminales:
$latex \theta \pm 2\pi n$
n puede ser cualquier número entero. En este caso, vamos a usar $latex n=2$ y $latex n=-1$. Entonces, tenemos:
$latex \theta \pm 2\pi n$
$latex =\frac{\pi}{4} + 2\pi(2)$
$latex =\frac{17\pi}{4}$
Ahora, usando $latex n=-1$, tenemos:
$latex \theta \pm 2\pi n$
$latex =\frac{\pi}{4} + 2\pi(-1)$
$latex =-\frac{7\pi}{4}$
EJERCICIO 3
Encuentra un ángulo coterminal positivo para el ángulo -1500°.
Solución
Podemos realizar la siguiente división:
$latex \frac{1500}{360}=4.17$
Esto significa que tenemos 4 ángulos completos de 360° en el ángulo de -1500°. Entonces, tenemos que sumar 5 veces 360° para obtener un ángulo positivo. Usando la fórmula de ángulos coterminales con $latex n=5$:
$latex \theta \pm 360n$
$latex -1500^{\circ} + 360(5)$
$latex =300^{\circ}$
EJERCICIO 4
¿Cuál es un ángulo coterminal positivo para el ángulo $latex -\frac{10\pi}{3}$?
Solución
Similar al ejercicio anterior, realizamos la siguiente división:
$latex \frac{\frac{10\pi}{3}}{2\pi}=1.67$
Vemos que tenemos 1 ángulos completos de 2π, por lo qe tenemos que sumar por lo menos 2 veces 2π para obtener un ángulo positivo. Usando la fórmula de ángulos coterminales en radianes con $latex n=2$, tenemos:
$latex \theta \pm 2\pi$
$latex -\frac{10\pi}{3} + 2\pi(2)$
$latex =\frac{2\pi}{3}$
Ejercicios de ángulos coterminales para resolver
Aplica las fórmulas de los ángulos coterminales para resolver los siguientes ejercicios. Selecciona una respuesta y verifícala para comprobar que obtuviste la respuesta correcta.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
