Las identidades trigonométricas son ecuaciones que son verdaderas para cualquier ángulo usado. Estas identidades son usadas para reescribir y simplificar a expresiones trigonométricas complejas. Además, también podemos usar identidades trigonométricas para resolver expresiones trigonométricas al reescribirlas como expresiones más manejables o como sumas y restas de ángulos conocidos.
A continuación, aprenderemos a resolver ejercicios de identidades trigonométricas. Usaremos varias técnicas para obtener la respuesta.
TRIGONOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a resolver ejercicios de identidades trigonométricas.
TRIGONOMETRÍA
Relevante para…
Aprender a resolver ejercicios de identidades trigonométricas.
¿Cómo resolver ejercicios de identidades trigonométricas?
Para resolver ejercicios de identidades trigonométricas, debemos empezar observando cuidadosamente el tipo de ejercicio que tenemos. Algunos ejercicios nos pedirán directamente que apliquemos un tipo de identidad para calcular los valores de ángulos.
Por ejemplo, las identidades de sumas y restas de ángulos, las identidades de ángulos medios o ángulos dobles son usadas para calcular los valores de un ángulo que puede ser escrito como la suma, resta, ángulo doble o ángulo medio de ángulos «fáciles» como 30°, 45°, 60° o 90°.
Sin embargo, muchos de los ejercicios requerirán que verifiquemos si es que otras identidades trigonométricas más complejas son verdaderas.
No existe un método estándar para verificar identidades, pero hay algunas reglas generales que podemos seguir para facilitar el proceso:
1. Intenta simplificar el lado más complicado de la identidad hasta que sea idéntico al otro lado de la identidad.
2. Intenta transformar ambos lados de la identidad a una expresión idéntica.
3. Intenta expresar a ambos lados de la identidad solo en términos de seno y coseno. Luego, intenta lograr que ambos lados sean iguales.
4. Aplica las identidades Pitagóricas siempre que sea posible.
5. Intenta usar factorización y combinación de términos, multiplicación a un lado de la identidad por una expresión que es igual a 1, elevar al cuadrado a ambos lados de la identidad y otras técnicas algebraicas para manipular ecuaciones.
Si es que necesitas reforzar tu conocimiento de las identidades trigonométricas, mira nuestro resumen con las fórmulas de las identidades más importantes.
Ejercicios de identidades trigonométricas resueltos
Las identidades trigonométricas son aplicadas para resolver los siguientes ejercicios. Observa la solución de los ejercicios y analiza el proceso y razonamiento usados. Intenta resolver los ejercicios tú mismo de ser posible.
EJERCICIO 1
Encuentra el valor de $latex \cot(\theta)$ si es que tenemos $latex \cos(\theta)=\frac{5}{7}$ y $latex \sin(\theta)=\frac{2}{7}$.
Solución
Podemos usar la identidad del cociente de la cotangente. Entonces, sabemos que tenemos que dividir el valor del coseno por el valor del seno para encontrar el valor de la tangente:
$latex \cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$
$latex \cot(\theta)=\frac{\frac{5}{7}}{\frac{2}{7}}$
$latex \cot(\theta)=\frac{5}{2}$
EJERCICIO 2
Determina el valor de $latex \tan(\theta)$ si es que tenemos $latex \cot(\theta)=\frac{9}{4}$.
Solución
En este caso, podemos usar la identidad recíproca de la tangente. Esto significa que encontramos el valor de la tangente al «darle la vuelta» a la fracción del valor de la cotangente. Entonces, tenemos:
$latex \cot(\theta)=\frac{9}{4}$
⇒ $latex \tan(\theta)=\frac{4}{9}$
EJERCICIO 3
Aplica las identidades trigonométricas para simplificar la expresión $latex \sin(x){{\cos}^2}(x)-\sin(x)$.
Solución
Podemos aplicar a la identidad pitagórica $latex {{\sin}^2}(x)+{{\cos}^2}(x)=1$. Para esto, tenemos que factorizar a la expresión dada:
$$\sin(x){{\cos}^2}(x)-\sin(x)=\sin(x)({{\cos}^2}(x)-1)$$
Si es que reorganizamos a la identidad $latex {{\sin}^2}(x)+{{\cos}^2}(x)=1$, tenemos $latex {{\cos}^2}(x)-1=-{{\sin}^2}(x)$. Usando esta variación, tenemos:
$$\sin(x)({{\cos}^2}(x)-1)=\sin(x)(-{{\sin}^2}(x))$$
$latex ={{\sin}^3}(x)$
EJERCICIO 4
Aplica la identidad de la suma de ángulos para determinar el valor exacto del coseno de 75°.
Solución
Para usar la identidad de la suma de ángulos, observamos que 75° es igual a la suma de 30° y 45°. Entonces, tenemos:
$$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)$$
$$\cos(30+45)=\cos(30)\cos(45)-\sin(30)\sin(45)$$
$latex =\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$latex =\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$
$latex =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
El valor del coseno de 75° es $latex \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
EJERCICIO 5
Si es que tenemos $latex \sin(A)=\frac{2}{9}$, determina el valor de $latex \cos(2A)$.
Solución
Podemos aplicar la identidad de ángulo doble para el coseno. Usamos una variación de la fórmula del ángulo doble del coseno, la cual es obtenida usando la identidad pitagórica. Entonces, tenemos:
$latex \cos(2A)=1-2{{\sin}^2}(A)$
$latex \cos(2A)=1-2{{(\frac{2}{9})}^2}$
$latex \cos(2A)=1-2(\frac{4}{81})$
$latex \cos(2A)=1-\frac{8}{81}$
$latex \cos(2A)=\frac{73}{81}$
EJERCICIO 6
Comprueba que la identidad $latex \cos(A)+\sin(A)\tan(A)=\sec(A)$ es verdadera.
Solución
Podemos verificar esta identidad al reescribirla hasta obtener la misma expresión en ambos lados. Podemos empezar usando la identidad del cociente de la tangente:
$latex \cos(A)+\sin(A)\tan(A)=\sec(A)$
$latex \cos(A)+\sin(A)(\frac{\sin(A)}{\cos(A)})=\sec(A)$
Ahora, podemos sumar las expresiones del lado izquierdo para obtener una sola expresión:
$latex \cos(A)+\sin(A)(\frac{\sin(A)}{\cos(A)})=\sec(A)$
$latex (\frac{{{\cos}^2}(A)+{{\sin}^2}(A)}{\cos(A)})=\sec(A)$
Ahora, usamos la identidad Pitagórica para simplificar el numerador:
$latex (\frac{{{\cos}^2}(A)+{{\sin}^2}(A)}{\cos(A)})=\sec(A)$
$latex (\frac{1}{\cos(A)})=\sec(A)$
Sabemos que la secante es la identidad recíproca del coseno, por lo que tenemos:
$latex (\frac{1}{\cos(A)})=\sec(A)$
$latex \sec(A)=\sec(A)$
Hemos comprobado que la identidad es verdadera.
EJERCICIO 7
Determina los valores de coseno y tangente si es que tenemos que $latex \sin(A)=\frac{7}{8}$ y si es que $latex \cos(A)<0$.
Solución
Podemos encontrar el valor del coseno usando la identidad Pitagórica:
$latex {{\cos}^2}(A)+{{\sin}^2}(A)=1$
$latex {{\cos}^2}(A)+{{(\frac{7}{8})}^2}=1$
$latex {{\cos}^2}(A)+\frac{49}{64}=1$
$latex {{\cos}^2}(A)=1-\frac{49}{64}$
$latex {{\cos}^2}(A)=\frac{15}{64}$
$latex \cos(A)=\pm \sqrt{\frac{15}{64}}$
$latex \cos(A)=- \frac{\sqrt{15}}{8}$
Tomamos el valor negativo, ya que tenemos que $latex \cos(A)<0$. Ahora, podemos usar la identidad del cociente de la tangente para encontrar su valor usando los valores del seno y del coseno:
$latex \tan(A)= \frac{\sin(A)}{\cos(A)}$
$latex \tan(A)= \frac{\frac{7}{8}}{-\frac{\sqrt{15}}{8}}$
$latex \tan(A)= -\frac{7}{\sqrt{15}}$
$latex \tan(A)= -\frac{7\sqrt{15}}{15}$
Ejercicios de identidades trigonométricas para resolver
Aplica las diferentes identidades trigonométricas para resolver los siguientes ejercicios. Selecciona una respuesta y verifícala para comprobar que obtuviste la respuesta correcta.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre identidades trigonométricas? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
