Razones trigonométricas de ángulos notables

Razones trigonométricas de 45°

Para encontrar las razones trigonométricas de un ángulo de 45°, podemos considerar al siguiente triángulo rectángulo isósceles:

Este triángulo tiene dos ángulos con las mismas medidas, por lo que sus dos catetos tienen la misma longitud de 1 unidad.

Podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa:

$latex {{AB}^2}={{BC}^2}+{{AC}^2}$

$latex {{AB}^2}={{1}^2}+{{1}^2}$

$latex {{AB}^2}=2$

$latex AB=\sqrt{2}$

Ahora, podemos usar el mismo triángulo para obtener los valores de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente:

Usando la definición del seno (lado opuesto sobre hipotenusa), tenemos:

$$\sin(45^{\circ})=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Usando la definición del coseno (lado adyacente sobre hipotenusa), tenemos:

$$\cos(45^{\circ})=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Usando la definición de la tangente (lado opuesto sobre lado adyacente), tenemos:

$$\tan(45^{\circ})=\frac{AC}{BC}=1$$

En resumen, tenemos lo siguiente:

$$\sin(45^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\cos(45^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\tan(45^{\circ})=1$$

Razones trigonométricas de 30°

Para encontrar las razones trigonométricas del ángulo de 30°, vamos a usar un triángulo equilátero que tiene lados con una longitud de 2 unidades.

D es el punto en donde el segmento perpendicular desde A se encuentra con la base. El segmento AD divide al triángulo equilátero en dos triángulos iguales que tienen los ángulos 30°, 60° y 90°.

Podemos encontrar la longitud del segmento AD usando el teorema de Pitágoras:

$latex {{AD}^2}+{{BD}^2}={{AB}^2}$

$latex {{AD}^2}+{{1}^2}={{2}^2}$

$latex {{AD}^2}+1=4$

$latex {{AD}^2}=3$

$latex AD=\sqrt{3}$

Usando la definición del seno (lado opuesto sobre hipotenusa), tenemos:

$$\sin(30^{\circ})=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$$

Usando la definición del coseno (lado adyacente sobre hipotenusa), tenemos:

$$\cos(30^{\circ})=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Usando la definición de la tangente (lado opuesto sobre lado adyacente), tenemos:

$$\tan(30^{\circ})=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

En resumen, tenemos lo siguiente:

$$\sin(30^{\circ})=\frac{1}{2}$$ $$\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Razones trigonométricas de 60°

Podemos encontrar las razones trigonométricas del ángulo de 60° usando el mismo triángulo que usamos para encontrar las razones trigonométricas de 30°.

Entonces, usamos las longitudes $latex AB=2$, $latex BD=1$ y $latex AD=\sqrt{3}$ con las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Usando la definición del seno (lado opuesto sobre hipotenusa), tenemos:

$$\sin(60^{\circ})=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Usando la definición del coseno (lado adyacente sobre hipotenusa), tenemos:

$$\cos(60^{\circ})=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}$$

Usando la definición de la tangente (lado opuesto sobre lado adyacente), tenemos:

$$\tan(60^{\circ})=\frac{AD}{BD}=\sqrt{3}$$

En resumen, tenemos lo siguiente:

$$\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$$ $$\tan(60^{\circ})=\sqrt{3}$$

Tabla de las razones trigonométricas de ángulos notables

Las razones trigonométricas de los ángulos 30°, 45° y 60° están resumidos en la siguiente tabla:

Razón	θ = 30°	θ = 30°	θ = 30°
sin θ	$latex \frac{1}{2}$	$latex \frac{1}{\sqrt{2}}$	$latex \frac{\sqrt{3}}{2}$
cos θ	$latex \frac{\sqrt{3}}{2}$	$latex \frac{1}{\sqrt{2}}$	$latex \frac{1}{2}$
tan θ	$latex \frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$latex \sqrt{3}$

Es recomendable memorizarse estas razones trigonométricas, ya que varios problemas encontrados en trigonometría usan los ángulos 30°, 45° y 60°.

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre ángulos y triángulos especiales? Mira estas páginas:

• Triángulos Especiales – Fórmulas y Ejercicios
• Ángulo entre dos rectas – Fórmulas y ejercicios
• Desigualdad triangular – Definición, prueba y ejemplos
• Triángulos Semejantes y Congruentes con Ejercicios