Los triángulos especiales son triángulos rectángulos que tienen proporciones especiales de sus lados. El triángulo 30°-60°-90° tiene las proporciones 1:√3:2. El triángulo 45°-45°-90° tiene las proporciones 1:1:√2. Todas las longitudes de estos lados pueden ser encontradas fácilmente si tan solo conocemos la longitud de uno de los lados.

A continuación, conoceremos más detalles sobre estos triángulos especiales. Aprenderemos a derivar sus proporciones y resolveremos algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
triángulos especiales proporciones de lados

Relevante para

Aprender sobre los triángulos especiales con ejercicios.

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Triángulo especial 45°-45°-90°

Un triángulo 45°-45°-90° es un triángulo rectángulo que tiene dos ángulos agudos con una medida de 45°. Esto significa que estos triángulos también son isósceles y tienen lados con proporciones especiales.

triángulo 45°-45°-90° con proporciones de lados

Las proporciones de estos triángulos pueden ser obtenidas usando el teorema de Pitágoras. Dado que estos triángulos tienen dos ángulos con las mismas medidas, sus lados opuestos deben tener la misma longitud.

Entonces, usando el teorema de Pitágoras, podemos suponer que los dos lados iguales tienen una longitud de 1 unidad, por lo que la hipotenusa es:

{{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}

{{c}^2}={{1}^2}+{{1}^2}

{{c}^2}=2

c=\sqrt{2}

Podemos escalar al triángulo por un factor de k. Dado que solo estamos escalando al triángulo sin cambiar ninguno de sus ángulos, obtenemos las proporciones de las longitudes de los lados del triángulo 45°-45°-90°.

triángulo 45°-45°-90° con proporciones de lados general

Triángulo especial 30°-60°-90°

Un triángulo 30°-60°-90° es un triángulo rectángulo que contiene a los ángulos agudos 30° y 60°. Los lados de estos triángulos tienen longitudes con proporciones especiales.

triángulo 30°-60°-90° con proporciones de lados

Podemos obtener estas proporciones usando el teorema de Pitágoras. Para esto, podemos considerar que el triángulo 30°-60°-90° es la mitad de un triángulo equilátero como se muestra en el siguiente diagrama.

triángulo equilátero dividido en dos triángulos 30°-60°-90°

Podemos suponer que uno de los lados cortos del triángulo 30°-60°-90° tiene una longitud de 1 unidad. Entonces, la base del triángulo equilátero medirá 2 unidades y la hipotenusa del triángulo 30°-60°-90° también medirá 2 unidades, ya que un triángulo equilátero tiene todos sus lados con la misma longitud.

Con esto, podemos calcular la longitud del segundo cateto del triángulo 30°-60°-90°:

{{a}^2}+{{b}^2}={{c}^2}

{{1}^2}+{{b}^2}={{2}^2}

1+{{b}^2}=4

{{b}^2}=3

b=\sqrt{3}

Ahora, podemos escalar al triángulo por un factor de k. Al escalar, solo estamos cambiando las longitudes de los lados, pero mantenemos los ángulos y las proporciones. Entonces, obtenemos las proporciones generales del triángulo 30°-60°-90°.

triángulo 30°-60°-90° con proporciones de lados general

Ejercicios resueltos de triángulos especiales

EJERCICIO 1

Determina la medida del lado x en el siguiente triángulo.

ejercicio 1 de triángulos especiales 30°-60°-90°

Solución: Este es un triángulo 30°-60°-90° y sabemos que estos triángulos tienen las proporciones 1:2:√3. El lado que mide 5 unidades corresponde al ángulo de 30° y el lado que buscamos corresponde al ángulo de 90°. Entonces, su proporción es 2 y tenemos:

x=5\times 2

x=10

El lado x mide 10 unidades.

EJERCICIO 2

¿Cuál es la medida del lado x en el siguiente triángulo?

ejercicio 2 de triángulos especiales 45°-45°-90°

Solución: Este es un triángulo 45°-45°-90° y sabemos que estos triángulos tienen las proporciones 1:1:√2. El lado con la medida de 8 unidades corresponde a uno de los catetos opuestos al ángulo de 45° y el lado que buscamos corresponde al lado opuesto al ángulo de 90°.

Entonces, la proporción del lado x es √2. Por lo tanto, tenemos:

x=8\sqrt{2}

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EJERCICIO 3

Determina la medida de x en el siguiente triángulo.

ejercicio 3 de triángulos especiales 30°-60°-90°

Solución: Este es un triángulo 30°-60°-90°. Entonces, sabemos que sus proporciones son 1:√3:2. Conocemos la longitud del lado opuesto al ángulo de 90°, es decir, el lado que tiene proporción 2.

Queremos encontrar la medida del lado que es opuesto al ángulo de 30°, es decir, el lado que tiene proporción 1. Entonces, dividimos para 2 para encontrar su medida:

x=\frac{6\sqrt{3}}{2}

x=3\sqrt{3}


Véase también

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