La desigualdad triangular es uno de los teoremas más conocidos en la geometría. Este teorema nos dice que la suma de dos de los lados del triángulo es mayor que el tercer lado del triángulo. Si es que tenemos un segmento que es mayor que la suma de los otros dos segmentos, no podemos formar un triángulo.

A continuación, conoceremos más detalles sobre la desigualdad triangular junto con algunos ejemplos.

GEOMETRÍA
desigualdad triangular en vectores

Relevante para

Aprender sobre la desigualdad triangular con ejemplos.

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GEOMETRÍA
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¿Qué es la desigualdad triangular?

La  desigualdad triangular es un teorema que indica que en cualquier triángulo, la suma de dos de los tres lados del triángulo debe ser mayor que el tercer lado. Por ejemplo, en el siguiente diagrama, tenemos al triángulo ABC:

triangulo para desigualdad triangular

La desigualdad triangular nos dice que:

  • La suma AB+BC debe ser mayor que AC. Entonces, tenemos AB+BC>AC.
  • La suma AB+AC debe ser mayor que BC. Entonces, tenemos AB+AC>BC.
  • La suma BC+AC debe ser mayor que AB. Entonces, tenemos BC+AC>AB.

Podemos entender la desigualdad triangular al imaginarnos que caminamos a lo largo de los lados del triángulo ABC. Si es que tenemos que ir desde el punto A hasta el punto B, el camino más corto es la línea recta AB. Si es que primero vamos a C y luego a B, la distancia que recorrimos, AC+CB, definitivamente será más grande que AB.

Si es que la suma de los dos lados no fuera mayor que el tercer lado, no podríamos formar un triángulo, ya que uno de los segmentos sería muy corto para conectar los otros dos.


Prueba de la desigualdad triangular

Podemos obtener una prueba de la desigualdad triangular considerando al siguiente triángulo ABC:

triangulo para desigualdad triangular

Vamos a probar que AB+AC>BC. Entonces, extendemos el segmento BA hasta el punto D, de tal forma que tengamos los segmentos AD=AC. Luego, conectamos los puntos C y D como se muestra en el diagrama:

triangulo para desigualdad triangular 2

Podemos observar que los ángulos ∠ACD y ∠D son iguales. Esto significa que en el triángulo BCD, tenemos ∠BCD > ∠D. Además, sabemos que los lados opuestos a ángulos grandes también son grandes, por lo que tenemos BD>BC.

El segmento BD es igual a AB+AD. Entonces, tenemos AB+AD>BC. Finalmente, sabemos que AD=AC, por lo que tenemos:

AB+AC>BC


Desigualdad triangular con vectores

En el siguiente diagrama, tenemos a un triángulo formado por lo vectores \vec{a},\vec{b} y \vec{a}+\vec{b}.

desigualdad triangular en vectores

Sabemos que en un triángulo, la suma de dos lados siempre es mayor que el tercer lado. En el triángulo de arriba, tenemos PQ=|\vec{a}|,QR=|\vec{b}| y PR=|\vec{a}+\vec{b}|. Entonces, tenemos:

|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+\vec{b}|

Además, también sabemos que la diferencia de dos lados es menor que el tercer lado. Entonces, tenemos:

|\vec{a}|-|\vec{b}|<|\vec{a}+\vec{b}|

Cuando combinamos estas dos desigualdades, tenemos:

|\vec{a}|-|\vec{b}|<|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+\vec{b}|


Ejercicios resueltos de desigualdad triangular

EJERCICIO 1

Determina si es que es posible formar un triángulo con tres segmentos que tienen las longitudes 8 unidades, 6 unidades y 5 unidades.

Solución: Podemos empezar asignando los valores a=8, b=6 y c=5. Entonces, tenemos:

a+b>c

⇒  8+6>5

⇒  14>5 (es verdadero)

a+c>b

⇒  8+5>6

⇒  13>6 (es verdadero)

b+c>a

⇒  6+5>8

⇒  11>8 (es verdadero)

Dado que todos las condiciones son verdaderas, sí es posible formar un triángulo con las medidas dadas.

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EJERCICIO 2

¿Es posible formar un triángulo con los segmentos que tienen longitudes de 12 unidades, 6 unidades y 5 unidades?

Solución: Nuevamente, asignamos los valores a=12, b=6 y c=5. Entonces, tenemos:

a+b>c

⇒  12+6>5

⇒  18>5 (es verdadero)

a+c>b

⇒  12+5>6

⇒  17>6 (es verdadero)

b+c>a

⇒  6+5>12

⇒  11>12 (no es verdadero)

Una de las condiciones no es verdadera, por lo que no podemos formar un triángulo con estas medidas.


Véase también

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