Ángulo entre dos rectas – Fórmulas y ejercicios

El ángulo entre dos rectas nos permite determinar la inclinación que existe entre las rectas. Podemos calcular el ángulo entre dos líneas rectas usando una fórmula general que usa las pendientes de ambas líneas. Esta fórmula puede ser derivada usando trigonometría.

A continuación, aprenderemos cómo usar las pendientes de dos rectas para encontrar el ángulo que se ubica entre ellas. Usaremos la fórmula general para resolver algunos ejercicios de práctica.

GEOMETRÍA
Fórmula para el ángulo entre dos rectas

Relevante para

Aprender a encontrar el ángulo entre dos rectas con ejercicios.

Ver ejercicios

GEOMETRÍA
Fórmula para el ángulo entre dos rectas

Relevante para

Aprender a encontrar el ángulo entre dos rectas con ejercicios.

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Fórmula del ángulo entre dos rectas

Si es que tenemos las dos rectas $latex y=m_{1}x+c_{1}$ y $latex y=m_{2}x+c_{2}$, el ángulo entre las rectas está dado por la siguiente fórmula:

$$\tan(\theta)=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{2}m_{1}}$$

en donde, θ es el ángulo entre las rectas, $latex m_{1}$ es la pendiente de la primera recta y $latex m_{2}$ es la pendiente de la segunda recta como se muestra en el siguiente diagrama:

Ángulo entre dos rectas

Puedes escoger a las pendientes en el orden que sea. Entonces, $latex m_{2}$ puede ser mayor que o menor que $latex m_{1}$.


Demostración de la fórmula del ángulo entre dos rectas

Para demostrar la fórmula del ángulo entre dos rectas, vamos a usar trigonometría junto con el siguiente diagrama:

Diagrama para encontrar el ángulo entre dos rectas

Aquí, tenemos las rectas $latex y=m_{1}x+c_{1}$ y $latex y=m_{2}x+c_{2}$, las cuales forman los ángulos α y β con el eje x respectivamente.

Usando teoremas de ángulos, podemos determinar que $latex \theta = \beta – \alpha$. Entonces, tenemos lo siguiente:

$latex \tan(\theta)=\tan(\beta -\alpha)$

Usando la fórmula de Identidades de Suma y Resta de Ángulos para la tangente, tenemos:

$$\tan(\theta)=\frac{\tan(\beta)-\tan(\alpha)}{1+\tan(\beta)\tan(\alpha)}$$

Ahora, podemos escribir $latex \tan(\beta)=m_{2}$ y $latex \tan(\alpha)=m_{1}$, ya que estas son las pendientes de las rectas. Entonces, tenemos:

$$\tan(\theta)=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{2}m_{1}}$$


Ángulo entre dos rectas – Ejercicios resueltos

Los siguientes ejercicios son resueltos usando la fórmula del ángulo entre dos rectas. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero intenta resolver los ejercicios antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Encuentra el ángulo entre las rectas $latex y=x$ y $latex y=3x-4$.

Solución

EJERCICIO 2

¿Cuál es el ángulo entre las rectas $latex y=2x-5$ y $latex y=5x+6$?

Solución

EJERCICIO 3

Encuentra el ángulo entre las rectas $latex y=3+x$ y $latex y=6+2x$.

Solución

EJERCICIO 4

Determina el ángulo entre las rectas $latex y=6x-7$ y $latex y=2-x$.

Solución

EJERCICIO 5

¿Cuál es el ángulo que se encuentra entre las rectas $latex y=2x+3$ y $latex y=5-2x$.

Solución

EJERCICIO 6

Encuentra el ángulo entre las rectas $latex y=4-2x$ y $latex y=9-3x$

Solución

EJERCICIO 7

Encuentra el ángulo entre las rectas $latex y=4$ y $latex 3y+2x-6=0$.

Solución

Ángulo entre dos rectas – Ejercicios para resolver

Aplica la fórmula del ángulo entre dos rectas para resolver los siguientes ejercicios. Si tienes problemas con esto, puedes usar los ejercicios resueltos de arriba como guía.

Encuentra el ángulo entre las rectas $latex y=2x-4$ y $latex y=x-1$.

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Determina el ángulo entre las rectas $latex y=5-6x$ y $latex y=2+3x$.

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¿Cuál es el ángulo entre las rectas $latex y=4$ y $latex x=3$?

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Encuentra el ángulo entre las rectas $latex 3y+2x=4$ y $latex 5y+3x=7$.

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Determina el ángulo entre las rectas $latex 4y-3x=6$ y $latex 2y+x=3$.

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Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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