El seno de un ángulo es una función que relaciona a los lados de un triángulo rectángulo. Específicamente, el seno es encontrado al tomar al lado que está opuesto al ángulo y dividirlo por la hipotenusa del triángulo. Fuera del triángulo, la función seno puede ser usada para encontrar el componente en y de un vector que tiene cualquier ángulo. El seno también es equivalente al coseno del ángulo complementario.
A continuación, conoceremos más detalles sobre el seno de ángulos. Conoceremos los valores del seno de ángulos importantes y resolveremos algunos ejercicios de práctica.
Definición del seno de un ángulo
El seno de un ángulo es definido usando a un triángulo rectángulo. Cuando tenemos un triángulo rectángulo, el seno es igual a la longitud del lado opuesto al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa del triángulo.
Por otra parte, el seno también puede ser definido como el coseno del ángulo complementario. A su vez, el ángulo complementario es definido como 90° (un ángulo recto) menos el ángulo dado. Por ejemplo, el complemento del ángulo 30° es igual a 90°-30°=60°. Entonces, para un ángulo θ, tenemos la siguiente relación:
$latex \sin (\theta)=\cos (90^{\circ}-\theta)$
En términos de radianes, tenemos:
$latex \sin (\theta)=\cos (\frac{\pi}{2}-\theta)$
Senos en triángulos rectángulos
Podemos definir al seno usando al siguiente triángulo rectángulo que tiene un ángulo recto en C.
Generalmente, usamos letras minúsculas para denotar a los lados de triángulos y letras mayúsculas para denotar a los respectivos ángulos. Por ejemplo, el lado a es el lado opuesto al ángulo A, el lado b es el lado opuesto al ángulo B y el lado c es el lado opuesto al ángulo C.
Todos los triángulos tienen ángulos internos que suman 180°. Sabemos que el ángulo C mide 90°, por lo que sabemos que los ángulos A y B deben sumar 90° (ángulos complementarios).
Entonces, podemos deducir que el seno del ángulo A es igual al coseno del ángulo B. El seno de un ángulo en un triángulo rectángulo es igual al lado opuesto dividido por la hipotenusa:
| $latex \sin=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}$ |
Usando esto, tenemos las relaciones $latex \sin(A)=\frac{a}{c}$ y $latex \sin(B)=\frac{b}{c}$ en el triángulo de arriba.
Senos para ángulos especiales comunes
Los valores de los senos de los ángulos más importantes pueden ser encontrados usando las proporciones de los triángulos especiales. Para encontrar el valor del seno de 45° usamos un triángulo isósceles rectángulo, el cual tiene los ángulos 45°-45°-90°.
En un triángulo rectángulo, podemos usar el teorema de Pitágoras: $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}$. Sin embargo, en el caso del triángulo 45°-45°-90°, tenemos $latex a=b$, por lo que el teorema de Pitágoras se vuelve $latex {{c}^2}=2{{a}^2}$.
Al resolver, tenemos $latex c=a\sqrt{2}$. Usando esto, determinamos que tanto el seno como el coseno de 45° son iguales a $latex \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
También podemos usar al triángulo 30°-60°-90° para encontrar los valores del seno de 30° y de 60°. Las proporciones de los lados de este triángulo son 1:$\latex \sqrt{3}$:2. Usando estas proporciones, tenemos $latex \sin(30^{\circ})=\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}$ y también tenemos $latex \sin(60^{\circ})=\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
| Grados | Radianes | Seno |
| 90° | $latex \frac{\pi}{2}$ | 1 |
| 60° | $latex \frac{\pi}{3}$ | $latex \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| 45° | $latex \frac{\pi}{4}$ | $latex \frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 30° | $latex \frac{\pi}{6}$ | $latex \frac{1}{2}$ |
| 0° | 0 | 0 |
Ejercicios de seno de un ángulo resueltos
Los siguientes ejercicios son resueltos usando lo aprendido sobre el seno de un ángulo. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Si es que tenemos que $latex \cos(A)=0.25$ y $latex a=5$, ¿cuál es el valor de c?
Solución
Usamos el triángulo rectángulo de arriba para obtener las relaciones correctas. Entonces, podemos usar la ecuación $latex \sin(A)=\frac{a}{c}$. Usando esta ecuación con los valores dados y resolviendo para c, tenemos:
$latex \cos(A)=\frac{a}{c}$
$latex 0.25=\frac{5}{c}$
$latex c=\frac{5}{0.25}$
$latex c=20$
El valor de la hipotenusa es 20.
EJERCICIO 2
Tenemos $latex b=8$ y $latex \sin(B)=\frac{1}{4}$. ¿Cuál es el valor de c?
Solución
Si es que usamos el triángulo rectángulo de arriba, tenemos la ecuación $latex \cos(B)=\frac{b}{c}$. Entonces, usamos esta ecuación junto con los valores dados y resolvemos para c:
$latex \cos(B)=\frac{b}{c}$
$latex \frac{1}{4}=\frac{8}{c}$
$latex c=4(8)$
$latex c=32$
El valor de la hipotenusa es 32.
EJERCICIO 3
¿Cuál es el valor de B si es que tenemos $latex b=5$ y $latex c=9$?
Solución
Usamos esta relación: $latex \sin(B)=\frac{b}{c}$. Reemplazando los valores dados, tenemos:
$latex \sin(B)=\frac{b}{c}$
$latex \sin(B)=\frac{5}{9}$
$latex \sin(A)=0.556$
Usamos la función $latex {{\sin}^{-1}}$ en una calculadora para obtener el resultado:
$latex {{\sin(0.556)}^{-1}}=33.8$°
El ángulo B mide 33.8°.
→ Calculadora de Seno (Grados y Radianes)
Ejercicios de seno de un ángulo para resolver
Usa lo aprendido sobre senos de ángulos para resolver los siguientes ejercicios de práctica. Selecciona una respuesta y verifícala para comprobar que obtuviste la respuesta correcta.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
