La gráfica del seno se caracteriza por ser una función que tiene un periodo de 2π. Esto significa que la función se repite cada 2π y se extiende indefinidamente tanto en la dirección positiva como negativa. Entonces, el dominio de la función es igual a todos los números reales, ya que los valores de x pueden tomar cualquier valor.

Sin embargo, el rango de una función seno básica es desde -1 hasta 1, por lo que los valores de y va desde el -1 hasta el 1. Podemos obtener más variaciones de la gráfica del seno si es que cambiamos sus diferentes parámetros, como la amplitud, la fase, el periodo y su desplazamiento vertical.

TRIGONOMETRÍA
funciones seno con cambio en fase

Relevante para

Aprender a graficar a la función seno con ejercicios.

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TRIGONOMETRÍA
funciones seno con cambio en fase

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Gráfica de la función seno básica

En la gráfica de la función seno, ubicamos a los ángulos en el eje x y ubicamos al resultado del seno de cada ángulo en el eje y. La gráfica del seno es una curva que varía desde -1 a 1 y se repite cada 2π. Este tipo de curvas son llamadas sinusoidales.

grafica del seno

Claramente, podemos ver que la función se repite en intervalos regulares de 2π. Además, también observamos que la gráfica es simétrica con respecto al origen, es decir, simétrica en 180°. Esto significa que la función seno es una función impar.

Dominio de la función seno

La función seno se extiende indefinidamente tanto hacia el lado x positivo como hacia el lado x negativo. Esta función se repite indefinidamente con un periodo de 2π o 360°, por lo que podemos usar cualquier ángulo como entrada.

Por lo tanto, el dominio de la función seno es igual a todos los números reales.

Rango de la función seno

La gráfica de la función seno básica nos muestra que los valores de y van desde -1 hasta 1. La función siempre resulta en valores dentro de este rango y nunca se sale. Esto significa que el rango de la función seno es todos los números reales que se encuentran entre 1 y -1.


Gráficas de variaciones de la función seno

Podemos obtener variaciones de la función seno básica al modificar varios parámetros en la forma general del seno. La forma general de la función seno es:

y=A~\sin(Bx-C)+D

Modificando los parámetros de esta función, podemos obtener diferentes variaciones de la gráfica del seno. Cada parámetro afecta a diferentes características de la gráfica.

Variar a la amplitud de la función seno

La amplitud de la función seno representa a la distancia de la línea media de la gráfica hasta el punto más alto o más bajo. La amplitud es medida en valor absoluto.

También podemos considerar a la amplitud como una medida de la altura de la gráfica. La función seno básica tiene una amplitud de 1 y su línea media está ubicada en el eje x.

Usando la forma general del seno, su amplitud es encontrada usando |A|. Por ejemplo, la amplitud de y=4\sin(x) es 4.

funciones seno con varias amplitudes

Variar al periodo de la función seno

El periodo de la función seno es el intervalo después del cual la función se repite a sí misma. El periodo de la función seno básica es 2π.

El periodo es afectado por el parámetro B en la forma general. Para encontrar al periodo en esta forma usamos la ecuación P=\frac{2\pi}{|B|}. Cuando tenemos B>1 , la función se «mueve» más rápido y el periodo es menor que 2π.

Esto resulta en que la función sea comprimida horizontalmente. Cuando tenemos B<1, la función se «mueve» más lentamente y el periodo es mayor que 2π. Esto resulta en que la función sea estirada horizontalmente.

funciones seno con diferentes periodos

Variar a la fase de la función seno

La fase de la función seno es el desplazamiento horizontal de la función con respecto a la función seno básica.

Podemos encontrar a la fase al reescribir a la forma general de la función de la siguiente forma: y=A~\sin(B(x-\frac{C}{B})+D. Usando esta forma, la fase es igual a \frac{C}{B}.

Cuando tenemos C>0, la gráfica tiene un desplazamiento hacia la derecha. Cuando tenemos C<0, la gráfica tiene un desplazamiento hacia la izquierda.

funciones seno con cambio en fase

Variar a la traslación vertical de la función seno

La traslación o desplazamiento vertical corresponde al valor de D en la forma general de la función seno. El valor de D es el desplazamiento vertical de la línea media de la gráfica.

Cuando D es positivo, la gráfica es desplazada hacia arriba. Cuando D es negativo, la gráfica es desplazada hacia abajo. Por ejemplo, la función y=\sin(x)+D tiene a su línea media en y=D.

funciones seno con traslacion vertical

Ejercicios de gráficas de seno resueltos

Lo aprendido sobre las gráficas de seno es aplicado para resolver los siguientes ejercicios de práctica. Intenta resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.

EJERCICIO 1

Si es que tenemos a la función y=3\sin(2x)+2, ¿cuál es su gráfica?

Tenemos que encontrar las características que tendrá la función usando sus diferentes parámetros. Al comparar a esta función con la forma general del seno, vemos que tenemos:

  • Amplitud: |A|=3. La gráfica será tres veces de alta.
  • Periodo: P=\frac{2\pi}{|B|}=\frac{2\pi}{2}=\pi. El periodo se reduce a la mitad, por lo que la gráfica estará comprimida horizontalmente.
  • Fase: \frac{C}{B}=0. La función no tiene ninguna fase.
  • Traslación vertical: D=2. Tenemos a la línea media en y=2.

Entonces, determinamos que la gráfica de la función es:

grafica de seno 1

EJERCICIO 2

¿Cuál es la gráfica de la función y=2\sin(\frac{1}{2}x-1)-1?

Comparamos a la función en su forma general con la función dada para extraer la siguiente información:

  • Amplitud: |A|=2. La gráfica será el doble de alta.
  • Periodo: P=\frac{2\pi}{|B|}=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi. El periodo es el doble de la función básica, por lo que la gráfica estará estirada horizontalmente.
  • Fase: \frac{C}{B}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2. La gráfica es desplazada 2 unidades hacia la derecha.
  • Traslación vertical: D=-1. Su línea media está en y=-1.

Aplicando estas transformaciones a la función seno básica, tenemos:

grafica de seno 2

EJERCICIO 3

¿Cuál es la ecuación de la siguiente función seno?

grafica de seno 3

Al observar a la gráfica, podemos obtener la siguiente información:

  • La distancia desde la línea media al punto más alto es 0.5. Esto significa que A=\frac{1}{2}.
  • La gráfica tiene un periodo de \frac{2\pi}{3}. Entonces, tenemos que el parámetro B debe ser 3.
  • La gráfica no tiene ningún desplazamiento horizontal, por lo que C debe ser 0.
  • La línea media está ubicada en y=1, por lo que D es igual a 1.

Con esta información, concluimos que la ecuación de esta función es:

y=\frac{1}{2}\sin(3x)+1

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EJERCICIO 4

¿Cuál es la ecuación de la siguiente función seno?

grafica de seno 4

Extraemos la siguiente información de la gráfica de la función:

  • La altura es el doble de la función seno básica, por lo que A=2.
  • El periodo de la función es 4π, por lo que tenemos B=\frac{1}{2}.
  • No tenemos ningún desplazamiento horizontal, por lo que C debe ser 0.
  • La línea media está ubicada en y=2, por lo que D es igual a 2.

Al usar esta información, concluimos que la ecuación de la gráfica es:

y=2\sin(\frac{1}{2}x)+2


Véase también

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