Calculadora de Vectores
Suma A + B:
Magnitud |A + B|:
Dirección de A + B:
:
:
Cálculo:
Con esta calculadora haces las operaciones básicas con vectores en el plano y las ves dibujadas. Suma y resta vectores con el método del paralelogramo o de punta a cola, calcula la magnitud, la dirección y el vector unitario, multiplica por un escalar, halla el producto punto y el ángulo entre dos vectores, o saca las componentes a partir de la magnitud y el ángulo.
Arrastra la punta de una flecha en la gráfica para cambiar el vector, o escribe los valores. Debajo de la herramienta tienes las fórmulas, ejemplos resueltos y las preguntas más comunes.
¿Cómo usar la calculadora de vectores?
Paso 1: Elige en la lista qué quieres calcular: sumar, restar, magnitud y dirección, producto punto y ángulo, multiplicar por un escalar, o componentes desde magnitud y ángulo.
Paso 2: Escribe las componentes de los vectores. Puedes usar coma o punto decimal, por ejemplo 2,5 o 2.5, y los números negativos valen. También puedes arrastrar la punta de las flechas.
Paso 3: Presiona Calcular o la tecla Enter. Los resultados se actualizan mientras escribes.
Paso 4: Lee los resultados y mira el dibujo. El recuadro Cálculo muestra cada operación con tus números.
Fórmulas de vectores en el plano
Un vector A = (Ax, Ay) tiene una magnitud, que es su longitud, y una dirección, que es el ángulo θ que forma con el eje x positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj:
| |A| = √(Ax² + Ay²) |
| θ = arctan(Ay ÷ Ax), ajustado al cuadrante (+180° si Ax es negativa) |
El vector unitario tiene la misma dirección que A y magnitud 1. Se obtiene dividiendo cada componente entre la magnitud:
| û = A ÷ |A| = (Ax ÷ |A|, Ay ÷ |A|) |
La suma y la resta se hacen componente a componente. En el dibujo, la suma es la diagonal del paralelogramo que forman A y B, o el camino de A seguido de B puestos de punta a cola. La resta A - B es la flecha que va de la punta de B a la punta de A.
| A ± B = (Ax ± Bx, Ay ± By) |
Multiplicar por un escalar k estira el vector (|k| mayor que 1), lo encoge (|k| menor que 1) y lo invierte si k es negativo. El producto punto da un número, y con él se obtiene el ángulo entre los vectores:
| k·A = (k·Ax, k·Ay) |
| A · B = Ax·Bx + Ay·By = |A| |B| cos θ |
Si el producto punto es 0, los vectores son perpendiculares. Si es positivo, el ángulo es agudo, y si es negativo, es obtuso. Para pasar de magnitud y ángulo a componentes:
| Ax = r cos θ, Ay = r sin θ |
Ejemplos de operaciones con vectores
Ejemplo 1: Sumar A = (3, 2) y B = (1, 4)
A + B = (3 + 1, 2 + 4) = (4, 6)
|A + B| = √(4² + 6²) = √52 ≈ 7.211
θ = arctan(6 ÷ 4) ≈ 56.31°
En el dibujo, A y B puestos de punta a cola llegan al mismo punto que la diagonal del paralelogramo.
Ejemplo 2: Magnitud, dirección y vector unitario de A = (3, 4)
|A| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = arctan(4 ÷ 3) ≈ 53.13°
û = (3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0.6, 0.8)
Ejemplo 3: Producto punto y ángulo entre A = (2, 3) y B = (4, 1)
A · B = 2 × 4 + 3 × 1 = 11
cos θ = 11 ÷ (3.606 × 4.123) ≈ 0.7399
θ = arccos(0.73994) ≈ 42.27°
El producto punto es positivo, así que el ángulo es agudo.
Ejemplo 4: Componentes desde magnitud y ángulo
Una fuerza de 10 N forma un ángulo de 30° con el eje x.
Fx = 10 × cos(30°) ≈ 8.66
Fy = 10 × sin(30°) = 5
Tabla de componentes de un vector unitario
Para un vector de magnitud 1, las componentes son (cos θ, sin θ). Multiplica por la magnitud para otros tamaños.
| Ángulo θ | cos θ (x) | sin θ (y) |
|---|---|---|
| 0° | 1 | 0 |
| 30° | 0.866 | 0.5 |
| 45° | 0.7071 | 0.7071 |
| 60° | 0.5 | 0.866 |
| 90° | 0 | 1 |
| 120° | -0.5 | 0.866 |
| 135° | -0.7071 | 0.7071 |
| 150° | -0.866 | 0.5 |
| 180° | -1 | 0 |
| 270° | 0 | -1 |
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la magnitud de un vector?
Se eleva cada componente al cuadrado, se suman y se saca la raíz. Para (1, 1): |A| = √(1² + 1²) = √2 ≈ 1.414.
¿Cómo se suman y se restan vectores?
Componente a componente. Para (3, 2) y (1, 4) la suma es (4, 6) y la resta A - B es (2, -2). Gráficamente, la suma une los vectores de punta a cola.
¿Qué significa el producto punto?
Mide cuánto apuntan dos vectores en la misma dirección. Si es 0, son perpendiculares: (3, 2) · (-2, 3) = 0. Si es positivo, el ángulo entre ellos es agudo, y si es negativo, obtuso.
¿Cómo se encuentra el ángulo entre dos vectores?
Divide el producto punto entre el producto de las magnitudes para obtener el coseno, y aplica arccos. También puedes usar el producto cruz con atan2 para más precisión, como hace esta calculadora.
¿Qué pasa al multiplicar un vector por un número negativo?
El vector cambia de sentido y su longitud se multiplica por el valor absoluto del número. Con k = -2 y A = (3, 2) se obtiene (-6, -4).
Para aprender más
- Magnitud de un vector 2D y 3D: fórmulas y ejercicios
- Dirección de un vector 2D: fórmulas y ejercicios
- Métodos para sumar vectores: fórmulas y ejemplos
- Producto escalar de dos vectores: ejercicios resueltos
- Vectores unitarios: ejercicios resueltos
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