Producto escalar de dos vectores – Ejercicios resueltos

Existen dos métodos principales que podemos usar para calcular el producto escalar o producto punto de dos vectores. Podemos usar sus magnitudes y el ángulo entre los vectores o podemos usar sus componentes.

A continuación, veremos algunos ejercicios resueltos de producto escalar de dos vectores en donde aplicaremos los métodos mencionados.

FÍSICA
Fórmulas del producto escalar de dos vectores

Relevante para

Resolver ejercicios del producto escalar de vectores.

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10 Ejercicios resueltos de producto escalar de vectores

EJERCICIO 1

Los vectores A y B tienen magnitudes de 5 y 3, respectivamente. El ángulo entre ellos es de 45°. Encuentra el producto escalar de estos vectores.

Tenemos la siguiente información:

  • $latex |A|=5$
  • $latex |B|=3$
  • $latex \theta=45^{\circ}$

Para encontrar el producto escalar utilizando magnitudes y el ángulo, podemos utilizar la siguiente fórmula:

$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = |A| ~|B| \cos(\theta)$

$latex = 5 \times 3 \cos(45^{\circ}) $

$$= 15 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

$$\approx 10.61$$

EJERCICIO 2

Los vectores C y D tienen magnitudes de 4 y 6, respectivamente, y el ángulo entre ellos es de 120°. Encuentra el producto escalar de estos vectores.

Podemos observar lo siguiente:

  • $latex |C|=4$
  • $latex |D|=6$
  • $latex \theta=120^{\circ}$

Usamos la misma fórmula del anterior ejercicio para encontrar el producto escalar:

$latex \vec{C} \cdot \vec{D} = |C| ~|D| \cos(\theta)$

$latex = 4 \times 6 \cos(120^{\circ}) $

$$= 24 \left(-\frac{1}{2}\right) $$

$$= -12$$

EJERCICIO 3

El vector E tiene una magnitud de 7 y F tiene una magnitud 2. Si es que el ángulo entre ellos es de 90°, encuentra el producto escalar de estos vectores.

Podemos observar lo siguiente:

  • $latex |E|=7$
  • $latex |F|=2$
  • $latex \theta=90^{\circ}$

Como el ángulo entre los vectores E y F es 90°, cos(90°) = 0, por lo que el producto escalar será cero:

$latex \vec{E} \cdot \vec{F} = |E| ~|F| \cos(\theta)$

$latex = 7 \times 2 \cos(90^{\circ}) $

$$= 14 \left(0\right) $$

$$= 0$$

EJERCICIO 4

Calcula el producto escalar (punto) de los vectores $latex \vec{A} = \langle 2, 3, 1\rangle$ y $latex \vec{B} = \langle -1, 4, 2\rangle$.

El producto escalar (producto punto) de dos vectores A y B puede ser encontrado con la siguiente fórmula:

$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = A_{x} \times B_{x} + A_{y} \times B_{y} + A_z \times B_{z}$

donde $latex A_{x},~ A_{y},~ A_{z}$ son las componentes del vector $latex \vec{A}$, y $latex B_{x},~ B_{y},~ B_{z}$ son las componentes del vector $latex \vec{B}$.

Entonces, el producto punto de $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ es:

$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times -1) + (3 \times 4) + (1 \times 2)$

$latex = -2 + 12 + 2 = 12$

EJERCICIO 5

Calcula el producto escalar (punto) de los vectores $latex \vec{A} = \langle 5, ~4, ~2\rangle$ y $latex \vec{B} = \langle -3,~ 0,~ 3\rangle$.

Aplicamos la misma fórmula que el ejercicio anterior. Entonces, tenemos:

$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = A_{x} \times B_{x} + A_{y} \times B_{y} + A_z \times B_{z}$

$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = (5 \times -3) + (4 \times 0) + (2 \times 3)$

$latex = -15 + 0 + 6$

$latex = -9$

EJERCICIO 6

Tenemos los vectores $latex \vec{C} = \langle 4,~ -5,~ 6\rangle$ y $latex \vec{D} = \langle 1,~ 2, ~3\rangle$.

Aplicamos la fórmula del producto escalar de dos vectores usando los componentes dados:

$latex \vec{C} \cdot \vec{D} = C_{x} \times D_{x} + C_{y} \times D_{y} + C_z \times D_{z}$

$latex C \cdot D = (4 \times 1) + (-5 \times 2) + (6 \times 3)$

$latex = 4 – 10 + 18 $

$latex = 12$

EJERCICIO 7

Encuentra el producto escalar de los vectores $latex \vec{E} = \langle -3,~ 7,~ 1\rangle$ y $latex \vec{F} = \langle 5, ~2,~ 4\rangle$.

Para hallar el producto escalar de dos vectores $latex \vec{E}$ y $latex \vec{F}$ usando sus componentes, podemos utilizar la siguiente fórmula:

$latex \vec{E} \cdot \vec{F} = E_{x} \times F_{x} + E_{y} \times F_{y} + E_z \times F_{z}$

$latex \vec{E} \cdot \vec{F} = (-3 \times 5) + (7 \times 2) + (1 \times 4)$

$latex = -15 + 14 + 4 $

$latex = 3$

EJERCICIO 8

Si tenemos los vectores $latex \vec{G} = \langle 3,~ -2,~ 4\rangle$ y $latex \vec{H} = \langle 1,~ 2,~ -2\rangle$, encuentra su producto escalar.

Podemos encontrar el producto escalar de los vectores de la siguiente forma:

$latex \vec{G} \cdot \vec{H} = G_{x} \times H_{x} + G_{y} \times H_{y} + G_z \times H_{z}$

$latex \vec{G} \cdot \vec{H} = (3 \times 1) + (-2 \times 2) + (4 \times -2)$

$latex = 3 – 4 – 8$

$latex = -9$

EJERCICIO 9

Encuentra el producto escalar de los vectores $latex \vec{I} = \langle 7, ~1,~ -3\rangle$ y $latex \vec{J} =\langle -2,~ 6,~ 5\rangle$.

Aplicamos la fórmula del producto escalar de dos vectores usando los componentes:

$latex \vec{I} \cdot \vec{J} = I_{x} \times J_{x} + I_{y} \times J_{y} + I_z \times J_{z}$

$latex \vec{I} \cdot \vec{J} = (7 \times -2) + (1 \times 6) + (-3 \times 5)$

$latex = -14 + 6 – 15$

$latex = -23$

EJERCICIO 10

Determina el ángulo entre los vectores $latex \vec{C} = \langle1,~ 1,~ 0\rangle$ y $latex \vec{D} = \langle 0, ~-1,~ 1\rangle$.

Para hallar el ángulo θ entre dos vectores C y D, podemos usar la siguiente fórmula:

$$\cos(\theta) = \frac{\vec{C} \cdot \vec{D}}{ |C|~|D|}$$

donde $latex \vec{C} \cdot \vec{D}$ es el producto punto de $latex \vec{C}$ y $latex \vec{D}$, y |C| y |D| son las magnitudes de los vectores.

Primero, calculamos el producto punto:

$latex \vec{C} \cdot \vec{D} = (1 \times 0) + (1 \times -1) + (0 \times 1) = -1$

Ahora, calculamos las magnitudes:

$latex |C| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$

$latex |D| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Luego, calculamos cos(θ):

$$\cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$$

$$ = -\frac{1}{2}$$

Por último, encontramos el ángulo θ:

$latex \theta = \text{arccos}(-\frac{1}{2}) \approx 120^{\circ}$


Producto escalar de vectores – Ejercicios para resolver

Práctica de producto escalar de vectores
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Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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