Existen dos métodos principales que podemos usar para calcular el producto escalar o producto punto de dos vectores. Podemos usar sus magnitudes y el ángulo entre los vectores o podemos usar sus componentes.
A continuación, veremos algunos ejercicios resueltos de producto escalar de dos vectores en donde aplicaremos los métodos mencionados.
10 Ejercicios resueltos de producto escalar de vectores
EJERCICIO 1
Los vectores A y B tienen magnitudes de 5 y 3, respectivamente. El ángulo entre ellos es de 45°. Encuentra el producto escalar de estos vectores.
Solución
Tenemos la siguiente información:
- $latex |A|=5$
- $latex |B|=3$
- $latex \theta=45^{\circ}$
Para encontrar el producto escalar utilizando magnitudes y el ángulo, podemos utilizar la siguiente fórmula:
$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = |A| ~|B| \cos(\theta)$
$latex = 5 \times 3 \cos(45^{\circ}) $
$$= 15 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$
$$\approx 10.61$$
EJERCICIO 2
Los vectores C y D tienen magnitudes de 4 y 6, respectivamente, y el ángulo entre ellos es de 120°. Encuentra el producto escalar de estos vectores.
Solución
Podemos observar lo siguiente:
- $latex |C|=4$
- $latex |D|=6$
- $latex \theta=120^{\circ}$
Usamos la misma fórmula del anterior ejercicio para encontrar el producto escalar:
$latex \vec{C} \cdot \vec{D} = |C| ~|D| \cos(\theta)$
$latex = 4 \times 6 \cos(120^{\circ}) $
$$= 24 \left(-\frac{1}{2}\right) $$
$$= -12$$
EJERCICIO 3
El vector E tiene una magnitud de 7 y F tiene una magnitud 2. Si es que el ángulo entre ellos es de 90°, encuentra el producto escalar de estos vectores.
Solución
Podemos observar lo siguiente:
- $latex |E|=7$
- $latex |F|=2$
- $latex \theta=90^{\circ}$
Como el ángulo entre los vectores E y F es 90°, cos(90°) = 0, por lo que el producto escalar será cero:
$latex \vec{E} \cdot \vec{F} = |E| ~|F| \cos(\theta)$
$latex = 7 \times 2 \cos(90^{\circ}) $
$$= 14 \left(0\right) $$
$$= 0$$
EJERCICIO 4
Calcula el producto escalar (punto) de los vectores $latex \vec{A} = \langle 2, 3, 1\rangle$ y $latex \vec{B} = \langle -1, 4, 2\rangle$.
Solución
El producto escalar (producto punto) de dos vectores A y B puede ser encontrado con la siguiente fórmula:
$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = A_{x} \times B_{x} + A_{y} \times B_{y} + A_z \times B_{z}$
donde $latex A_{x},~ A_{y},~ A_{z}$ son las componentes del vector $latex \vec{A}$, y $latex B_{x},~ B_{y},~ B_{z}$ son las componentes del vector $latex \vec{B}$.
Entonces, el producto punto de $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ es:
$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times -1) + (3 \times 4) + (1 \times 2)$
$latex = -2 + 12 + 2 = 12$
EJERCICIO 5
Calcula el producto escalar (punto) de los vectores $latex \vec{A} = \langle 5, ~4, ~2\rangle$ y $latex \vec{B} = \langle -3,~ 0,~ 3\rangle$.
Solución
Aplicamos la misma fórmula que el ejercicio anterior. Entonces, tenemos:
$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = A_{x} \times B_{x} + A_{y} \times B_{y} + A_z \times B_{z}$
$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = (5 \times -3) + (4 \times 0) + (2 \times 3)$
$latex = -15 + 0 + 6$
$latex = -9$
EJERCICIO 6
Tenemos los vectores $latex \vec{C} = \langle 4,~ -5,~ 6\rangle$ y $latex \vec{D} = \langle 1,~ 2, ~3\rangle$.
Solución
Aplicamos la fórmula del producto escalar de dos vectores usando los componentes dados:
$latex \vec{C} \cdot \vec{D} = C_{x} \times D_{x} + C_{y} \times D_{y} + C_z \times D_{z}$
$latex C \cdot D = (4 \times 1) + (-5 \times 2) + (6 \times 3)$
$latex = 4 – 10 + 18 $
$latex = 12$
EJERCICIO 7
Encuentra el producto escalar de los vectores $latex \vec{E} = \langle -3,~ 7,~ 1\rangle$ y $latex \vec{F} = \langle 5, ~2,~ 4\rangle$.
Solución
Para hallar el producto escalar de dos vectores $latex \vec{E}$ y $latex \vec{F}$ usando sus componentes, podemos utilizar la siguiente fórmula:
$latex \vec{E} \cdot \vec{F} = E_{x} \times F_{x} + E_{y} \times F_{y} + E_z \times F_{z}$
$latex \vec{E} \cdot \vec{F} = (-3 \times 5) + (7 \times 2) + (1 \times 4)$
$latex = -15 + 14 + 4 $
$latex = 3$
EJERCICIO 8
Si tenemos los vectores $latex \vec{G} = \langle 3,~ -2,~ 4\rangle$ y $latex \vec{H} = \langle 1,~ 2,~ -2\rangle$, encuentra su producto escalar.
Solución
Podemos encontrar el producto escalar de los vectores de la siguiente forma:
$latex \vec{G} \cdot \vec{H} = G_{x} \times H_{x} + G_{y} \times H_{y} + G_z \times H_{z}$
$latex \vec{G} \cdot \vec{H} = (3 \times 1) + (-2 \times 2) + (4 \times -2)$
$latex = 3 – 4 – 8$
$latex = -9$
EJERCICIO 9
Encuentra el producto escalar de los vectores $latex \vec{I} = \langle 7, ~1,~ -3\rangle$ y $latex \vec{J} =\langle -2,~ 6,~ 5\rangle$.
Solución
Aplicamos la fórmula del producto escalar de dos vectores usando los componentes:
$latex \vec{I} \cdot \vec{J} = I_{x} \times J_{x} + I_{y} \times J_{y} + I_z \times J_{z}$
$latex \vec{I} \cdot \vec{J} = (7 \times -2) + (1 \times 6) + (-3 \times 5)$
$latex = -14 + 6 – 15$
$latex = -23$
EJERCICIO 10
Determina el ángulo entre los vectores $latex \vec{C} = \langle1,~ 1,~ 0\rangle$ y $latex \vec{D} = \langle 0, ~-1,~ 1\rangle$.
Solución
Para hallar el ángulo θ entre dos vectores C y D, podemos usar la siguiente fórmula:
$$\cos(\theta) = \frac{\vec{C} \cdot \vec{D}}{ |C|~|D|}$$
donde $latex \vec{C} \cdot \vec{D}$ es el producto punto de $latex \vec{C}$ y $latex \vec{D}$, y |C| y |D| son las magnitudes de los vectores.
Primero, calculamos el producto punto:
$latex \vec{C} \cdot \vec{D} = (1 \times 0) + (1 \times -1) + (0 \times 1) = -1$
Ahora, calculamos las magnitudes:
$latex |C| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$latex |D| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
Luego, calculamos cos(θ):
$$\cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$$
$$ = -\frac{1}{2}$$
Por último, encontramos el ángulo θ:
$latex \theta = \text{arccos}(-\frac{1}{2}) \approx 120^{\circ}$
Producto escalar de vectores – Ejercicios para resolver


Véase también
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