Fórmulas y propiedades de producto escalar de vectores

Producto escalar usando magnitudes y ángulo entre vectores

El producto escalar de dos vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ es denotado por $latex \vec{A} \cdot \vec{B}$. El resultado del producto punto es una cantidad escalar.

Si es que conocemos las magnitudes de los vectores y el ángulo entre sus direcciones, podemos aplicar la siguiente fórmula para encontrar su producto escalar:

$$\vec{A}\cdot \vec{B}=AB\cos(\theta)$$

en donde, $latex A$ y $latex B$ son las magnitudes de $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ respectivamente, y $latex \theta$ es el ángulo entre los vectores.

Para comprender esta fórmula, podemos dibujar a los vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ con sus puntos iniciales en el mismo lugar:

El ángulo $latex \theta$ representa el ángulo entre sus direcciones y puede ir de 0° a 180°. La siguiente figura muestra la proyección del vector $latex \vec{B}$ en la dirección de $latex \vec{A}$:

La proyección mostrada es el componente de $latex \vec{B}$ en la dirección de $latex \vec{A}$ y es igual a $latex B \cos(\theta)$.

Esto significa que el producto escalar $latex \vec{A}\cdot \vec{B}$ es igual a la magnitud de $latex \vec{A}$ multiplicado al componente de $latex \vec{B}$ en la dirección de $latex \vec{A}$.

Alternativamente, también podemos definir a $latex \vec{A}\cdot \vec{B}$ como la magnitud de $latex \vec{B}$ multiplicado por el componente de $latex \vec{A}$ en la dirección de $latex \vec{B}$.

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Producto escalar de vectores usando sus componentes

El producto escalar de dos vectores $latex \vec{A} \cdot \vec{B}$ puede ser calculado con la siguiente fórmula si es que conocemos los componentes $latex x,~y,~z$ de los vectores:

$$\vec{A}\cdot \vec{B}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$$

Para demostrar esta fórmula, podemos considerar el producto escalar de los vectores unitarios $latex \hat{i},~\hat{j},~\hat{k}$.

Como todos los vectores unitarios tienen una magnitud de 1 y son perpendiculares los unos con los otros, tenemos:

$latex \hat{i}\cdot \hat{i}=\hat{j}\cdot \hat{j}=\hat{k}\cdot \hat{k}=(1)(1)\cos 0^{\circ}=1$

$latex \hat{i}\cdot \hat{j}=\hat{i}\cdot \hat{k}=\hat{j}\cdot \hat{k}=(1)(1)\cos 90^{\circ}=0$

Ahora, escribimos a los vectores en términos de sus componentes, expandimos el producto y aplicamos los resultados de las multiplicaciones de los vectores unitarios para simplificar:

$$\vec{A}\cdot \vec{B}=(A_{x}\hat{i}+A_{y}\hat{j}+A_{z}\hat{k})\cdot (B_{x}\hat{i}+B_{y}\hat{j}+B_{z}\hat{k})$$

$$=A_{x}\hat{i}\cdot B_{x}\hat{i}+A_{x}\hat{i}\cdot B_{y}\hat{j}+A_{x}\hat{i}\cdot B_{z}\hat{k})$$

$$+A_{y}\hat{j}\cdot B_{x}\hat{i}+A_{y}\hat{j}\cdot B_{y}\hat{j}+A_{y}\hat{j}\cdot B_{z}\hat{k})$$

$$+A_{z}\hat{k}\cdot B_{x}\hat{i}+A_{z}\hat{k}\cdot B_{y}\hat{j}+A_{z}\hat{k}\cdot B_{z}\hat{k})$$

$$=A_{x}B_{x}\hat{i}\cdot\hat{i} +A_{x}B_{y}\hat{i}\cdot\hat{j}+A_{x}B_{z}\hat{i}\cdot\hat{k})$$

$$+A_{y}B_{x}\hat{j}\cdot\hat{i}+A_{y}B_{y}\hat{j}\cdot\hat{j}+A_{y}B_{z}\hat{j}\cdot\hat{k})$$

$$+A_{z}B_{x}\hat{k}\cdot\hat{i}+A_{z}B_{y}\hat{k}\cdot\hat{j}+A_{z}B_{z}\hat{k}\cdot\hat{k})$$

Usando los resultados de los productos escalares de los vectores unitarios vistos arriba, seis de estos nueve términos son cero y tenemos:

$$\vec{A}\cdot \vec{B}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$$

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Propiedades del producto escalar de vectores

El producto escalar de vectores tiene varias propiedades importantes. Las siguientes son algunas de ellas:

Propiedad conmutativa

El producto escalar es conmutativo, lo que significa que el orden de los vectores no afecta al resultado. Entonces, tenemos:

$$\vec{A}\cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$$

Propiedad distributiva

El producto escalar es distributivo sobre la suma vectorial, lo que significa que el producto punto puede distribuirse entre los términos de la suma vectorial:

$$\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$$

Multiplicación escalar

Es posible multiplicar un vector por un escalar antes o después de realizar el producto escalar, y el resultado será el mismo.

$$(k\vec{A}) \cdot \vec{B} = k(\vec{A} \cdot \vec{B}) = \vec{A} \cdot (k\vec{B})$$

Vectores ortogonales

Si dos vectores son ortogonales (perpendiculares) entre sí, su producto escalar es cero. Alternativamente, si su producto escalar es cero, los vectores son ortogonales o uno de ellos es un vector nulo.

$latex \vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ si $latex \vec{A}$ es ortogonal a $latex \vec{B}$

Vectores paralelos

Si es que los vectores $latex \vec{A}$ y $latex \vec{B}$ son paralelos, el ángulo $latex \theta $ es igual a 0 y tenemos $latex \cos(\theta)=1$. Entonces:

$latex \vec{A} \vec{B}=|\vec{A}||\vec{B}|$

Producto escalar por sí mismo

El producto escalar de un vector consigo mismo es igual al cuadrado de su magnitud. Esto sigue de la anterior propiedad:

$latex \vec{A} \cdot \vec{A} =|\vec{A}|^2$

Producto escalar de vectores unitarios

El producto escalar de un vector unitario por sí mismo es igual a 1 (la magnitud de estos vectores es 1):

$latex \hat{i}\cdot \hat{i}=\hat{j}\cdot \hat{j}=\hat{k}\cdot \hat{k}=1$

El producto escalar de vectores unitarios ortogonales es igual a 0:

$latex \hat{i}\cdot \hat{j}=\hat{i}\cdot \hat{k}=\hat{j}\cdot \hat{k}=0$

Relación con el ángulo entre los vectores

El producto escalar puede ser usado para encontrar el coseno del ángulo entre dos vectores, lo que resulta útil para determinar el propio ángulo:

$$\cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}$$

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Véase también

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