Calculadora de Distancia y Punto Medio
Distancia (d):
Punto medio (M):
Distancia al cuadrado (d²):
Distancia exacta:
Diferencias (Δx, Δy):
Cálculo:
Con esta calculadora encuentras la distancia entre dos puntos y su punto medio, en el plano o en el espacio. Escribe las coordenadas, o arrastra los puntos sobre la gráfica, y verás el segmento, el triángulo rectángulo que forman las diferencias de coordenadas y el punto medio marcado. Debajo tienes cada paso con tus números.
Más abajo están las fórmulas, ejemplos resueltos, una tabla de distancias exactas y las preguntas más frecuentes.
¿Cómo usar la calculadora de distancia y punto medio?
Paso 1: Elige En el plano (2D) si tus puntos tienen dos coordenadas, o En el espacio (3D) si tienen tres.
Paso 2: Escribe las coordenadas de A y de B. Puedes usar coma o punto decimal, por ejemplo 2,5 o 2.5, y los negativos valen. En 2D también puedes arrastrar A y B en la gráfica.
Paso 3: Presiona Calcular o la tecla Enter. Los resultados también se actualizan mientras escribes.
Paso 4: Lee la distancia, el punto medio y las diferencias. Si las coordenadas son enteras, verás también la distancia exacta con raíz, como 2√13. El recuadro Cálculo muestra cada operación.
Fórmula de la distancia entre dos puntos
La distancia es la longitud del segmento que une A (x1, y1) con B (x2, y2). Sale del teorema de Pitágoras: las diferencias de coordenadas son los catetos de un triángulo rectángulo y el segmento es la hipotenusa.
| d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²] |
En el espacio se suma una tercera diferencia:
| d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²] |
Como las diferencias se elevan al cuadrado, el orden de los puntos no importa: la distancia de A a B es la misma que de B a A, y nunca es negativa.
Fórmula del punto medio
El punto medio M está justo en la mitad del segmento. Sus coordenadas son el promedio de las coordenadas de los dos extremos:
| M = ((x1 + x2) ÷ 2, (y1 + y2) ÷ 2) |
Si conoces el punto medio M y un extremo A, el otro extremo es B = (2xM - xA, 2yM - yA).
Ejemplos de distancia y punto medio
Ejemplo 1: Puntos (1, 2) y (7, 10)
d = √[(7 - 1)² + (10 - 2)²] = √[6² + 8²] = √[36 + 64]
d = √100 = 10
M = ((1 + 7) ÷ 2, (2 + 10) ÷ 2) = (4, 6)
La distancia es un número entero: 10. Las diferencias 6 y 8 son un múltiplo de la terna 3, 4, 5.
Ejemplo 2: Puntos (-2, 1) y (4, 5), con raíz
d = √[(4 - (-2))² + (5 - 1)²] = √[6² + 4²] = √[36 + 16]
d = √52 = 2√13 ≈ 7.211
M = (((-2) + 4) ÷ 2, (1 + 5) ÷ 2) = (1, 3)
Como 52 = 4 × 13, la raíz se simplifica a 2√13. Esa es la distancia exacta, y 7.211 es su valor aproximado.
Ejemplo 3: Puntos con decimales
Los puntos (-3.5, 2) y (6, -1.5) tienen coordenadas decimales, así que no hay forma exacta con raíz entera:
d = √[(6 - (-3.5))² + ((-1.5) - 2)²] = √[9.5² + (-3.5)²] = √[90.25 + 12.25]
d = √102.5 ≈ 10.12
M = (((-3.5) + 6) ÷ 2, (2 + (-1.5)) ÷ 2) = (1.25, 0.25)
Ejemplo 4: Distancia en 3D
Entre A(1, 2, 3) y B(4, 6, 15) las diferencias son 3, 4 y 12:
d = √[(4 - 1)² + (6 - 2)² + (15 - 3)²] = √[3² + 4² + 12²] = √[9 + 16 + 144]
d = √169 = 13
M = ((1 + 4) ÷ 2, (2 + 6) ÷ 2, (3 + 15) ÷ 2) = (2.5, 4, 9)
La distancia es exactamente 13, porque 3, 4 y 12 forman una terna que da raíz exacta en el espacio.
Tabla de distancias exactas en 2D y 3D
Estas diferencias dan una distancia entera. Sirven para armar ejercicios cuyo resultado no necesita raíz.
| Δx | Δy | Distancia |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
| 9 | 40 | 41 |
| Δx | Δy | Δz | Distancia |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 6 | 7 |
| 4 | 4 | 7 | 9 |
| 1 | 4 | 8 | 9 |
| 2 | 6 | 9 | 11 |
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos?
Resta las coordenadas, eleva cada diferencia al cuadrado, suma los cuadrados y saca la raíz. Para (0, 0) y (3, 4): d = √(3² + 4²) = √25 = 5.
¿Cómo se encuentra el punto medio de un segmento?
Promedia las coordenadas por separado. Para (0, 0) y (6, 8) el punto medio es ((0 + 6) ÷ 2, (0 + 8) ÷ 2) = (3, 4), y la distancia total es 10.
¿Cómo se calcula la distancia en 3D?
Es la misma fórmula con una tercera diferencia, la de las coordenadas z. Entre (0, 0, 0) y (1, 1, 1) es √(1 + 1 + 1) = √3 ≈ 1.732, la diagonal de un cubo de lado 1.
¿Importa el orden de los puntos?
No. Las diferencias se elevan al cuadrado, así que el signo desaparece. La distancia de A a B es igual a la de B a A, y el punto medio también es el mismo.
¿Cómo encuentro un extremo si conozco el punto medio?
Duplica el punto medio y resta el extremo que ya tienes. Si M = (1, 3) y A = (-2, 1), entonces B = (2 × 1 - (-2), 2 × 3 - 1) = (4, 5).
Para aprender más
- Distancia entre dos puntos: fórmula y ejemplos
- Punto medio entre dos puntos: fórmula y ejercicios
- Ejercicios de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano
- Punto medio de un segmento: fórmula y ejemplos
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