Calculadora de Determinantes
Escribe los números de la matriz.
Determinante:
¿Tiene inversa?:
Área del paralelogramo:
Orientación de las columnas:
Cálculo:
Esta calculadora halla el determinante de una matriz 2x2 o 3x3 y muestra el procedimiento paso a paso. Para matrices 3x3 puedes elegir la regla de Sarrus o el desarrollo por cofactores a lo largo de cualquier fila o columna, y la calculadora comprueba el resultado con el otro método. En 2x2 dibuja el paralelogramo que forman las columnas, cuya área con signo es el determinante.
Más abajo tienes las fórmulas, ejemplos resueltos, una tabla de casos especiales y las preguntas más frecuentes.
¿Cómo usar la calculadora de determinantes?
Paso 1: Elige el tamaño de la matriz: 2x2 o 3x3. Si es 3x3, elige también el método.
Paso 2: Escribe los números de la matriz. Puedes usar coma o punto decimal, por ejemplo 2,5 o 2.5, y los negativos valen. En 2x2 también puedes arrastrar la punta de las flechas.
Paso 3: Presiona Calcular o la tecla Enter. El resultado se actualiza mientras escribes.
Paso 4: Lee el determinante, si la matriz tiene inversa y el área o volumen. El recuadro Cálculo muestra cada operación.
Fórmula del determinante 2x2
Para una matriz con filas (a, b) y (c, d), el determinante es el producto de la diagonal principal menos el producto de la otra diagonal:
| det = a·d - b·c |
Si pones las columnas (a, c) y (b, d) como flechas desde el origen, el determinante es el área del paralelogramo que forman, con signo: positivo si la segunda flecha está a la izquierda de la primera (sentido antihorario) y negativo si está a la derecha. Si el determinante es 0, el paralelogramo se aplasta en una línea.
Determinante 3x3: regla de Sarrus
La regla de Sarrus solo funciona en matrices 3x3. Se copian las dos primeras columnas a la derecha, se suman los productos de las tres diagonales que bajan y se restan los de las tres que suben:
| det = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi |
Determinante 3x3: cofactores
El desarrollo por cofactores sirve para cualquier tamaño. Se elige una fila o columna y se suma cada elemento por su signo y por el determinante de la matriz 2x2 que queda al quitar su fila y su columna (el menor). El signo es (-1)i+j, un tablero de + y -. Conviene elegir la fila o columna con más ceros:
| det = a11M11 - a12M12 + a13M13 (por la fila 1) |
En 3x3 el valor absoluto del determinante es el volumen del paralelepípedo que forman las tres columnas.
Ejemplos de determinantes
Ejemplo 1: Matriz 2x2 [[4, 3], [2, 5]]
det = 4 × 5 - 3 × 2 = 20 - 6 = 14
El determinante es positivo, así que las columnas giran en sentido antihorario y el área del paralelogramo es 14.
Ejemplo 2: Determinante negativo
det = 1 × 3 - 4 × 2 = 3 - 8 = -5
El signo negativo indica sentido horario. El área sigue siendo 5, porque el área no tiene signo.
Ejemplo 3: Matriz 3x3 con la regla de Sarrus
Calcula el determinante de [[2, 1, 3], [0, 4, 1], [5, 2, 1]].
(+) 2 × 4 × 1 + 1 × 1 × 5 + 3 × 0 × 2 = 8 + 5 + 0 = 13
(-) 3 × 4 × 5 + 2 × 1 × 2 + 1 × 0 × 1 = 60 + 4 + 0 = 64
det = 13 - 64 = -51
Con cofactores por la fila 1 se obtiene el mismo valor: -51.
Ejemplo 4: Matriz 3x3 con cofactores
Calcula el determinante de [[3, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 4]] por la fila 1. Como a13 = 0, ese término desaparece.
a11: 3 × (+1) × (2 × 4 - 1 × 1) = 3 × (+1) × 7 = 21
a12: 1 × (-1) × (1 × 4 - 1 × 0) = 1 × (-1) × 4 = -4
a13: 0 × (+1) × (1 × 1 - 2 × 0) = 0 × (+1) × 1 = 0
det = 21 + (-4) + 0 = 17
Tabla de casos especiales
| Matriz | Determinante | Por qué |
|---|---|---|
| [[1, 0], [0, 1]] | 1 | Matriz identidad |
| [[2, 5], [0, 3]] | 6 | Triangular: producto de la diagonal |
| [[1, 2], [2, 4]] | 0 | Filas proporcionales |
| [[1, 2], [3, 4]] | -2 | Original |
| [[3, 4], [1, 2]] | 2 | Con las filas cambiadas, el signo se invierte |
| [[1, 2], [0, 0]] | 0 | Una fila de ceros |
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 2x2?
Se multiplica la diagonal principal y se resta el producto de la otra diagonal. Para [[1, 2], [3, 4]]: 1 × 4 - 2 × 3 = -2.
¿Cuál es la diferencia entre Sarrus y cofactores?
Sarrus es un atajo visual que solo sirve en 3x3. Los cofactores funcionan en cualquier tamaño y son más cómodos si una fila o columna tiene ceros. Los dos dan el mismo resultado.
¿Qué significa que el determinante sea 0?
La matriz es singular: no tiene inversa, y sus filas o columnas dependen unas de otras. Por ejemplo, [[2, 4], [1, 2]] tiene determinante 0 porque la primera fila es el doble de la segunda. En el dibujo, el paralelogramo se aplasta.
¿Qué relación hay entre el determinante y el área?
En una matriz 2x2, el valor absoluto del determinante es el área del paralelogramo que forman las columnas. Para [[3, 0], [0, 5]] es un rectángulo de 3 por 5 y el área es 15.
¿Qué fila o columna conviene elegir en cofactores?
La que tenga más ceros, porque cada cero elimina un término. Si no hay ceros, cualquiera sirve y el resultado es igual.
Para aprender más
- Determinante de una matriz 2x2: ejercicios resueltos
- Determinante de una matriz 3x3: ejercicios resueltos
- Matriz inversa de una matriz 2x2: ejercicios resueltos
- Área de un paralelogramo
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