Encontrar la inversa de una matriz de 2×2 es un proceso sencillo que comienza determinando si la matriz es realmente invertible. Si la matriz es invertible, intercambiamos las posiciones de los elementos en la diagonal principal, cambiamos los signos de los elementos fuera de la diagonal y luego dividimos cada elemento por el determinante de la matriz original. Estos pasos se realizan sistemáticamente para transformar la matriz original en su inversa, siempre que exista.
A continuación, exploraremos esto a través de algunos ejemplos tangibles con soluciones detalladas. También hemos incluido problemas de práctica para que pruebes a encontrar la inversa de una matriz de 2×2.
¿Cómo encontrar la matriz inversa de una matriz 2×2?
La matriz inversa de una matriz 2×2 es encontrada al dividir a cada elemento de la matriz adjunta por el determinante de la matriz original.
Supongamos que tenemos la siguiente matriz 2×2:
$$ A = \begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}$$
Para encontrar su matriz inversa, seguimos los siguientes pasos:
Paso 1: Calcula el determinante de la matriz (denotado como det(A) o |A|):
$latex \det(A) = ad – bc $
Paso 2: Comprueba si el determinante es distinto de cero (es decir, det(A) ≠ 0). Si el determinante es cero, la matriz A es singular y no tiene inversa.
Si el determinante es distinto de cero, procedemos al paso siguiente.
Paso 3: Creamos la matriz adjunta intercambiando los elementos $latex a$ y $latex d$, y cambiando los signos de los elementos $latex b$ y $latex c$:
$$ \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}d & -b \\-c & a\end{pmatrix}$$
Paso 4: Divide cada elemento de la matriz adjunta por el determinante:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{d}{\det(A)} & -\frac{b}{\det(A)} \\-\frac{c}{\det(A)} & \frac{a}{\det(A)}\end{pmatrix}$$
El resultado de la matriz inversa de la matriz A, denotada como $latex A^{-1}$.
10 Ejercicios resueltos de matriz inversa de matrices 2×2
EJERCICIO 1
Encuentra la matriz inversa de la matriz 2×2 dada:
$$ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} $$
Solución
Paso 1: Calcular el determinante de la matriz (det(A) o |A|):
$latex \det(A) = ad – bc $
$latex = (3)(5) – (4)(2) $
$latex = 15 – 8 = 7$
Paso 2: Comprobar si el determinante es distinto de cero (es decir, $latex \det(A) \neq 0$).
$latex \det(A) = 7 \neq 0$
Como el determinante es distinto de cero, pasamos al siguiente paso.
Paso 3: Crear la matriz adjunta:
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}5 & -4 \\-2 & 3\end{pmatrix}$$
Paso 4: Dividir cada elemento de la matriz adjunta por el determinante:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix}5 & -4 \\-2 & 3\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{5}{7} & -\frac{4}{7} \\-\frac{2}{7} & \frac{3}{7}\end{pmatrix}$$
EJERCICIO 2
Encuentra la matriz inversa de la siguiente matriz:
$$A = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Solución
Empezamos calculando el determinante:
$latex \det(A) = (7)(4) – (2)(3)$
$latex = 28 – 6 = 22$
Dado que el determinante es distinto de cero, procedemos a encontrar la matriz adjunta:
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}4 & -2 \\-3 & 7\end{pmatrix}$$
Dividimos a cada elemento de la matriz adjunta por el determinante:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \frac{1}{22} \begin{pmatrix}4 & -2 \\-3 & 7\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{4}{22} & -\frac{2}{22} \\ -\frac{3}{22} & \frac{7}{22}\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{2}{11} & -\frac{1}{11} \\ -\frac{3}{22} & \frac{7}{22}\end{pmatrix}$$
EJERCICIO 3
¿Cuál es la matriz inversa de la matriz A?
$$A = \begin{pmatrix}6 & -3 \\4 & -2\end{pmatrix}$$
Solución
Calculando el determinante, tenemos:
$latex \det(A) = (6)(-2) – (-3)(4)$
$latex = -12 + 12 = 0$
Como el determinante es 0, la matriz A no tiene inversa.
EJERCICIO 4
Si es que tenemos la siguiente matriz M, encuentra su matriz inversa:
$$M = \begin{pmatrix}5 & 1 \\2 & 3\end{pmatrix}$$
Solución
Empezamos calculando el determinante de la matriz:
$latex \det(M) = (5)(3) – (1)(2)$
$latex = 15 – 2 = 13$
Ahora, encontramos la matriz adjunta:
$$\operatorname{adj}(M) = \begin{pmatrix}3 & -1 \\-2 & 5\end{pmatrix}$$
Dividiendo a cada elemento de la matriz adjunta por el determinante, tenemos:
$$M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \cdot \operatorname{adj}(M)$$
$$M^{-1} = \frac{1}{13} \begin{pmatrix}3 & -1 \\-2 & 5\end{pmatrix}$$
$$M^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{3}{13} & -\frac{1}{13} \\-\frac{2}{13} & \frac{5}{13}\end{pmatrix}$$
EJERCICIO 5
Determina la matriz inversa de la matriz B:
$$B = \begin{pmatrix}8 & 5 \\-6 & -3\end{pmatrix}$$
Solución
El determinante de la matriz B es:
$latex \det(B) = (8)(-3) – (5)(-6)$
$latex = -24 + 30 = 6$
La matriz adjunta de B es:
$$\operatorname{adj}(B) = \begin{pmatrix}-3 & -5 \\6 & 8\end{pmatrix}$$
Al dividir a cada elemento de la matriz adjunta de B por el determinante, tenemos:
$$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \operatorname{adj}(B)$$
$$B^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix}-3 & -5 \\6 & 8\end{pmatrix}$$
$$B^{-1} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{5}{6} \\1 & \frac{4}{3}\end{pmatrix}$$
EJERCICIO 6
¿Cuál es la inversa de la matriz dada?
$$A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\4 & 2\end{pmatrix}$$
Solución
Empezamos calculando el determinante de la matriz A:
$latex \det(A) = (1)(2) – (3)(4)$
$latex = 2 – 12 = -10$
La matriz adjunta de A es:
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}2 & -3 \\-4 & 1\end{pmatrix}$$
Al dividir a cada elemento de la matriz adjunta por el determinante, tenemos:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix}2 & -3 \\-4 & 1\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{10}\end{pmatrix}$$
EJERCICIO 7
Encuentra la matriz inversa de la matriz C:
$$C = \begin{pmatrix}3 & -7 \\-1 & 2\end{pmatrix}$$
Solución
Calculamos el determinante de la matriz C:
$latex \det(C) = (3)(2) – (-7)(-1) $
$latex = 6 – 7 = -1$
La matriz adjunta de C es:
$$\operatorname{adj}(C) = \begin{pmatrix}2 & 7 \\1 & 3\end{pmatrix}$$
Cuando dividimos a cada elemento de la matriz adjunta de C por el determinante, tenemos:
$$C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \cdot \operatorname{adj}(C)$$
$$C^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix}2 & 7 \\1 & 3\end{pmatrix}$$
$$C^{-1} = \begin{pmatrix}-2 & -7 \\-1 & -3\end{pmatrix}$$
EJERCICIO 8
Si tenemos la siguiente matriz, ¿cuál es su matriz inversa?
$$A = \begin{pmatrix}-1 & 4 \\5 & -2\end{pmatrix}$$
Solución
Encontramos el determinante de la matriz:
$latex \det(A) = (-1)(-2) – (4)(5)$
$latex = 2 – 20 = -18$
Ahora, encontramos la matriz adjunta de A:
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}-2 & -4 \\-5 & -1\end{pmatrix}$$
Por último, dividimos a cada elemento de la matriz adjunta por el determinante:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \frac{1}{-18} \begin{pmatrix}-2 & -4 \\-5 & -1\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{9} & \frac{2}{9} \\ \frac{5}{18} & \frac{1}{18}\end{pmatrix}$$
EJERCICIO 9
Encuentra la matriz inversa de la siguiente matriz:
$$ A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{5}{4} \\ \frac{7}{4} & -\frac{3}{2} \end{pmatrix} $$
Solución
Empezamos encontrando el determinante de la matriz:
$$\det(A) = \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right) – \left(\frac{5}{4}\right)\left(\frac{7}{4}\right)$$
$$ = -\frac{3}{4} – \frac{35}{16} = -\frac{47}{16}$$
Ahora, encontramos la matriz adjunta:
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -\frac{5}{4} \\ -\frac{7}{4} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$$
Dividimos cada elemento de la matriz adjunta por el determinante:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \frac{1}{-\frac{47}{16}} \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -\frac{5}{4} \\-\frac{7}{4} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$$
$$ A^{-1} = -\frac{16}{47} \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & -\frac{5}{4} \\ -\frac{7}{4} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$
$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{48}{94} & \frac{80}{94} \\ \frac{112}{94} & \frac{16}{94} \end{pmatrix} $$
$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{24}{47} & \frac{40}{47} \\ \frac{56}{47} & \frac{8}{47} \end{pmatrix} $$
EJERCICIO 10
Dada la siguiente matriz, encuentra su matriz inversa:
$$M = \begin{pmatrix}\sqrt{2} & -\sqrt{3} \\2\sqrt{3} & -\sqrt{6}\end{pmatrix}$$
Solución
Calculamos el determinante:
$$\det(A) = (\sqrt{2})(-\sqrt{6}) – (-\sqrt{3})(2\sqrt{3})$$
$$ = -2\sqrt{3} + 6 = 6 – 2\sqrt{3}$$
Encontramos la matriz adjunta:
$$\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix}-\sqrt{6} & \sqrt{3} \\ -2\sqrt{3} & \sqrt{2}\end{pmatrix}$$
Dividimos a cada elemento de la matriz adjunta por el determinante:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \operatorname{adj}(A)$$
$$A^{-1} = \frac{1}{6 – 2\sqrt{3}} \begin{pmatrix}-\sqrt{6} & \sqrt{3} \\-2\sqrt{3} & \sqrt{2}\end{pmatrix}$$
Racionalizamos el denominador:
$$A^{-1} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{(6 – 2\sqrt{3})(6 + 2\sqrt{3})} \begin{pmatrix}-\sqrt{6} & \sqrt{3} \\-2\sqrt{3} & \sqrt{2}\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{24} \begin{pmatrix}-\sqrt{6} & \sqrt{3} \\-2\sqrt{3} & \sqrt{2}\end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{6 + 2\sqrt{3}}{24} (-\sqrt{6}) & \frac{6 + 2\sqrt{3}}{24} (\sqrt{3}) \\ \frac{6 + 2\sqrt{3}}{24} (-2\sqrt{3}) & \frac{6 + 2\sqrt{3}}{24} (\sqrt{2}) \end{pmatrix} $$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-6\sqrt{6} – 2\sqrt{18}}{24} & \frac{6\sqrt{3} + 2\sqrt{9}}{24} \\ \frac{-12\sqrt{3} – 4\sqrt{9}}{24} & \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{24} \end{pmatrix}$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-6\sqrt{6} – 6\sqrt{2}}{24} & \frac{6\sqrt{3} + 6}{24} \\ \frac{-12\sqrt{3} – 12}{24} & \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{24} \end{pmatrix} $$
$$A^{-1}= \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}& \frac{\sqrt{3}+1}{4} \\ \frac{-\sqrt{3}-1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{12} \end{pmatrix} $$
Ejercicios de matriz inversa de matrices 2×2 para resolver
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre matrices? Puedes mirar estas páginas:
–
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
