Los determinantes proporcionan información valiosa sobre las propiedades de las matrices y los sistemas que representan. El determinante de una matriz 2×2 $latex A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ es igual a $latex ∣A∣=(a\times d)−(b\times c)$.
En este artículo, exploraremos el significado del determinante, profundizaremos en el proceso paso a paso del cálculo del determinante para una matriz de 2×2 y resolveremos algunos ejercicios.
ÁLGEBRA
Relevante para…
Aprender sobre el determinante de matrices 2×2 con ejercicios.
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¿Cómo encontrar el determinante de una matriz 2×2?
Para encontrar el determinante de una matriz de 2×2, tenemos que multiplicar al elemento $latex b$ por $latex c$ y restar del producto de $latex a$ y $latex d$.
Dada una matriz de 2×2
$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$
El determinante de A, denotado como $latex |A|$ o $latex \det(A)$, se calcula de la siguiente forma:
Paso 1: Multiplica los elementos de la diagonal principal (de arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha):
$latex a \cdot d $
Paso 2: Multiplica los elementos de la segunda diagonal (de arriba a abajo):
$latex b \cdot c $
Paso 3: Restar el producto del paso 2 (segunda diagonal) del producto del paso 1 (diagonal principal):
$$ |A| = (a \cdot d) – (b \cdot c) $$
El resultado de este cálculo es el determinante de la matriz A de 2×2.
10 Ejercicios resueltos de determinante de matrices 2×2
EJERCICIO 1
Encuentra el determinante de la siguiente matriz:
$$ A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} $$
Solución
Paso 1: Identificar los elementos de la matriz. En este caso, $latex a=3$, $latex b=4$, $latex c=5$ y $latex d=6$.
Paso 2: Multiplica los elementos de la diagonal principal (de arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha):
$$ a \cdot d = 3 \cdot 6 = 18 $$
Paso 3: Multiplicar los elementos de la segunda diagonal (de arriba a abajo):
$$ b \cdot c = 4 \cdot 5 = 20 $$
Paso 4: Restar el producto del paso 3 del producto del paso 2:
$$ |A| = (a \cdot d) – (b \cdot c)$$
$$ = 18 – 20 = -2 $$
EJERCICIO 2
Encuentra el determinante de la siguiente matriz:
$$A=\begin{bmatrix}4 & 7\\-3 & 5\end{bmatrix}$$
Solución
Como ya vimos cómo encontrar el determinante de una matriz 2×2 paso a paso en el anterior ejercicio, vamos a resolver simplemente aplicando la fórmula.
Usando la fórmula $latex \det(A) = ad – bc$, en donde $latex a=4, b=7, c=-3$, y $latex d=5$, tenemos:
$$\det(A) = (4)(5) – (7)(-3) $$
$$= 20 + 21 = 41$$
EJERCICIO 3
Calcula el determinante de la siguiente matriz:
$$B=\begin{bmatrix}-2 & 9\\4 & -6\end{bmatrix}$$
Solución
Nuevamente, solo vamos a aplicar la fórmula del determinante directamente.
Aplicamos la fórmula $latex \det(B) = ad – bc$, con los valores $latex a=-2, b=9, c=4$, y $latex d=-6$:
$latex \det(B) = (-2)(-6) – (9)(4)$
$latex = 12 – 36 = -24$
EJERCICIO 4
Encuentra el determinante de la siguiente matriz:
$$C=\begin{bmatrix}3 & -5\\-1 & 2\end{bmatrix}$$
Solución
Podemos reconocer los valores $latex a=3, b=-5, c=-1$, y $latex d=2$. Entonces, usamos la fórmula $latex \det(C) = ad – bc$ con estos valores:
$$\det(C) = (3)(2) – (-5)(-1)$$
$$ = 6 – 5 = 1$$
EJERCICIO 5
¿Cuál es el determinante de la siguiente matriz?
$$A=\begin{bmatrix}5 & 8\\ 2 & 3\end{bmatrix}$$
Solución
Sustituimos los valores $latex a=5, b=8, c=2$, y $latex d=3$ en la fórmula $latex \det(A) = ad – bc$:
$$\det(A) = (5)(3) – (8)(2) $$
$$= 15 – 16 = -1$$
EJERCICIO 6
Calcula el determinante de la matriz B:
$$B=\begin{bmatrix}6 & -2\\ -4 & 3\end{bmatrix}$$
Solución
Usando la fórmula $latex \det(B) = ad – bc$, con los valores $latex a=6, b=-2, c=-4$, y $latex d=3$, tenemos:
$$ \det(B) = (6)(3) – (-2)(-4)$$
$$ = 18 – 8 = 10$$
EJERCICIO 7
¿Cuál es el determinante de la matriz C?
$$C=\begin{bmatrix}9 & 4\\ 7 & 3\end{bmatrix}$$
Solución
Aplicamos la fórmula $latex \det(C) = ad – bc$, en donde $latex a=9, b=4, c=7$, y $latex d=3$:
$$ \det(C) = (9)(3) – (4)(7)$$
$$ = 27 – 28 = -1$$
EJERCICIO 8
Encuentra el determinante de la siguiente matriz:
$$A=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{3}{4}\\ -\frac{1}{3} & \frac{5}{6}\end{bmatrix}$$
Solución
Este es un problema más complicado porque tenemos valores fraccionarios. Sin embargo, procedemos de la misma forma:
Aplicamos la fórmula $latex \det(A) = ad – bc$, con $latex a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{4}, c=-\frac{1}{3}$, y $latex d=\frac{5}{6}$:
$$\det(A) = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{5}{6} \right) – \left(-\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)$$
$$ = \frac{5}{12} – \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$$
EJERCICIO 9
Calcula el determinante de la siguiente matriz:
$$B=\begin{bmatrix}\sqrt{2} & \frac{3}{\sqrt{2}}\\ \sqrt{3} & \sqrt{6}\end{bmatrix}$$
Solución
En este caso, tenemos raíces cuadradas en los elementos, pero usamos el mismo proceso.
Aplicamos la fórmula $latex \det(B) = ad – bc$, con $latex a=\sqrt{2}, b=\frac{3}{\sqrt{2}}, c=\sqrt{3}$, y $latex d=\sqrt{6}$:
$$\det(B) = (\sqrt{2})(\sqrt{6}) – \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)(\sqrt{3}) $$
$$= 2\sqrt{3} – \frac{3\sqrt{6}}{2} $$
$$= 2\sqrt{3} – 3\sqrt{\frac{3}{2}}$$
EJERCICIO 10
Encuentra el determinante de la matriz:
$$C=\begin{bmatrix}2x & 3y\\ 4y & -5x\end{bmatrix}$$
Solución
En este caso, tenemos variables en los elementos, por lo que el determinante será una expresión algebraica.
Usamos $latex a=2x, b=3y, c=4y$, y $latex d=-5x$ en la fórmula $latex \det(C) = ad – bc$:
$$\det(C) = (2x)(-5x) – (3y)(4y)$$
$$ = -10x^2 – 12y^2$$
Ejercicios de determinante de matrices 2×2 para resolver
¿Cuál es el determinante de $latex A=\begin{bmatrix}12 & -13\\-6 & 8\end{bmatrix}$.
Escribe la respuesta en la casilla.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
