Determinante de una matriz 2×2 – Ejercicios resueltos

Los determinantes proporcionan información valiosa sobre las propiedades de las matrices y los sistemas que representan. El determinante de una matriz 2×2 $latex A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ es igual a $latex ∣A∣=(a\times d)−(b\times c)$.

En este artículo, exploraremos el significado del determinante, profundizaremos en el proceso paso a paso del cálculo del determinante para una matriz de 2×2 y resolveremos algunos ejercicios.

ÁLGEBRA
Fórmula de determinante de matriz 2x2

Relevante para

Aprender sobre el determinante de matrices 2×2 con ejercicios.

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¿Cómo encontrar el determinante de una matriz 2×2?

Para encontrar el determinante de una matriz de 2×2, tenemos que multiplicar al elemento $latex b$ por $latex c$ y restar del producto de $latex a$ y $latex d$.

Dada una matriz de 2×2

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

El determinante de A, denotado como $latex |A|$ o $latex \det(A)$, se calcula de la siguiente forma:

Paso 1: Multiplica los elementos de la diagonal principal (de arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha):

$latex a \cdot d $

Paso 2: Multiplica los elementos de la segunda diagonal (de arriba a abajo):

$latex b \cdot c $

Paso 3: Restar el producto del paso 2 (segunda diagonal) del producto del paso 1 (diagonal principal):

$$ |A| = (a \cdot d) – (b \cdot c) $$

El resultado de este cálculo es el determinante de la matriz A de 2×2.

Fórmula de determinante de matriz 2x2
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10 Ejercicios resueltos de determinante de matrices 2×2

EJERCICIO 1

Encuentra el determinante de la siguiente matriz:

$$ A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} $$

Paso 1: Identificar los elementos de la matriz. En este caso, $latex a=3$, $latex b=4$, $latex c=5$ y $latex d=6$.

Paso 2: Multiplica los elementos de la diagonal principal (de arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha):

$$ a \cdot d = 3 \cdot 6 = 18 $$

Paso 3: Multiplicar los elementos de la segunda diagonal (de arriba a abajo):

$$ b \cdot c = 4 \cdot 5 = 20 $$

Paso 4: Restar el producto del paso 3 del producto del paso 2:

$$ |A| = (a \cdot d) – (b \cdot c)$$

$$ = 18 – 20 = -2 $$

EJERCICIO 2

Encuentra el determinante de la siguiente matriz:

$$A=\begin{bmatrix}4 & 7\\-3 & 5\end{bmatrix}$$

Como ya vimos cómo encontrar el determinante de una matriz 2×2 paso a paso en el anterior ejercicio, vamos a resolver simplemente aplicando la fórmula.

Usando la fórmula $latex \det(A) = ad – bc$, en donde $latex a=4, b=7, c=-3$, y $latex d=5$, tenemos:

$$\det(A) = (4)(5) – (7)(-3) $$

$$= 20 + 21 = 41$$

EJERCICIO 3

Calcula el determinante de la siguiente matriz:

$$B=\begin{bmatrix}-2 & 9\\4 & -6\end{bmatrix}$$

Nuevamente, solo vamos a aplicar la fórmula del determinante directamente.

Aplicamos la fórmula $latex \det(B) = ad – bc$, con los valores $latex a=-2, b=9, c=4$, y $latex d=-6$:

$latex \det(B) = (-2)(-6) – (9)(4)$

$latex = 12 – 36 = -24$

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EJERCICIO 4

Encuentra el determinante de la siguiente matriz:

$$C=\begin{bmatrix}3 & -5\\-1 & 2\end{bmatrix}$$

Podemos reconocer los valores $latex a=3, b=-5, c=-1$, y $latex d=2$. Entonces, usamos la fórmula $latex \det(C) = ad – bc$ con estos valores:

$$\det(C) = (3)(2) – (-5)(-1)$$

$$ = 6 – 5 = 1$$

EJERCICIO 5

¿Cuál es el determinante de la siguiente matriz?

$$A=\begin{bmatrix}5 & 8\\ 2 & 3\end{bmatrix}$$

Sustituimos los valores $latex a=5, b=8, c=2$, y $latex d=3$ en la fórmula $latex \det(A) = ad – bc$:

$$\det(A) = (5)(3) – (8)(2) $$

$$= 15 – 16 = -1$$

EJERCICIO 6

Calcula el determinante de la matriz B:

$$B=\begin{bmatrix}6 & -2\\ -4 & 3\end{bmatrix}$$

Usando la fórmula $latex \det(B) = ad – bc$, con los valores $latex a=6, b=-2, c=-4$, y $latex d=3$, tenemos:

$$ \det(B) = (6)(3) – (-2)(-4)$$

$$ = 18 – 8 = 10$$

EJERCICIO 7

¿Cuál es el determinante de la matriz C?

$$C=\begin{bmatrix}9 & 4\\ 7 & 3\end{bmatrix}$$

Aplicamos la fórmula $latex \det(C) = ad – bc$, en donde $latex a=9, b=4, c=7$, y $latex d=3$:

$$ \det(C) = (9)(3) – (4)(7)$$

$$ = 27 – 28 = -1$$

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EJERCICIO 8

Encuentra el determinante de la siguiente matriz:

$$A=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{3}{4}\\ -\frac{1}{3} & \frac{5}{6}\end{bmatrix}$$

Este es un problema más complicado porque tenemos valores fraccionarios. Sin embargo, procedemos de la misma forma:

Aplicamos la fórmula $latex \det(A) = ad – bc$, con $latex a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{4}, c=-\frac{1}{3}$, y $latex d=\frac{5}{6}$:

$$\det(A) = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{5}{6} \right) – \left(-\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)$$

$$ = \frac{5}{12} – \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$$

EJERCICIO 9

Calcula el determinante de la siguiente matriz:

$$B=\begin{bmatrix}\sqrt{2} & \frac{3}{\sqrt{2}}\\ \sqrt{3} & \sqrt{6}\end{bmatrix}$$

En este caso, tenemos raíces cuadradas en los elementos, pero usamos el mismo proceso.

Aplicamos la fórmula $latex \det(B) = ad – bc$, con $latex a=\sqrt{2}, b=\frac{3}{\sqrt{2}}, c=\sqrt{3}$, y $latex d=\sqrt{6}$:

$$\det(B) = (\sqrt{2})(\sqrt{6}) – \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)(\sqrt{3}) $$

$$= 2\sqrt{3} – \frac{3\sqrt{6}}{2} $$

$$= 2\sqrt{3} – 3\sqrt{\frac{3}{2}}$$

EJERCICIO 10

Encuentra el determinante de la matriz:

$$C=\begin{bmatrix}2x & 3y\\ 4y & -5x\end{bmatrix}$$

En este caso, tenemos variables en los elementos, por lo que el determinante será una expresión algebraica.

Usamos $latex a=2x, b=3y, c=4y$, y $latex d=-5x$ en la fórmula $latex \det(C) = ad – bc$:

$$\det(C) = (2x)(-5x) – (3y)(4y)$$

$$ = -10x^2 – 12y^2$$


Ejercicios de determinante de matrices 2×2 para resolver

Práctica de determinante de matrices 2×2
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¿Cuál es el determinante de $latex A=\begin{bmatrix}12 & -13\\-6 & 8\end{bmatrix}$.

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex |A|=$
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Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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