Un triángulo tiene seis medidas: tres lados y tres ángulos. Casi siempre conoces tres, y el trabajo es hallar las demás. Lo difícil no es el álgebra, sino decidir qué ley usar primero y darse cuenta de cuándo los datos permiten dos triángulos distintos.
Esta guía es un mapa para esa decisión. El resolutor de abajo maneja los cinco casos de datos conocidos, dibuja el triángulo a escala y muestra cada paso. Si quieres la demostración de cada ley por separado, consulta nuestros artículos sobre la ley de senos y la ley de cosenos; aquí nos centramos en elegir y en el caso ambiguo.
Las dos leyes en un solo lugar
Nombra el triángulo de modo que el lado $latex a$ sea opuesto al ángulo $latex A$, el lado $latex b$ al $latex B$ y el lado $latex c$ al $latex C$. La ley de senos dice:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$
La ley de cosenos dice que, para cualquiera de los tres lados:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$
Despejando el ángulo queda $latex \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Las otras dos versiones salen cambiando las letras. Cuando $latex A=90^{\circ}$, el coseno vale 0 y recuperas el teorema de Pitágoras.
¿Qué ley uso primero?
Mira qué datos tienes y busca la fila que coincide. Las letras indican el orden de los datos: L es un lado y A es un ángulo.
| Datos | Caso | Empieza con | Motivo |
|---|---|---|---|
| Tres lados | LLL | Ley de cosenos | Todavía no hay ningún ángulo, así que no hay un par lado-ángulo opuesto para la ley de senos. |
| Dos lados y el ángulo entre ellos | LAL | Ley de cosenos | Da directamente el tercer lado. |
| Dos ángulos y el lado entre ellos | ALA | Suma de ángulos y luego ley de senos | El tercer ángulo es $latex 180^{\circ}-A-B$ y ahora cada lado tiene su ángulo opuesto. |
| Dos ángulos y un lado que no está entre ellos | AAL | Suma de ángulos y luego ley de senos | Misma idea: primero el tercer ángulo. |
| Dos lados y un ángulo que no está entre ellos | LLA | Ley de senos, con cuidado | Es el caso ambiguo: cero, uno o dos triángulos. |
Después del primer paso casi siempre puedes terminar con cualquiera de las dos leyes. Un hábito seguro: cuando ya conoces un lado, busca con la ley de senos el ángulo opuesto al menor de los dos lados restantes. Ese ángulo siempre es agudo, así que la respuesta de la calculadora es la correcta.
El caso ambiguo (LLA)
Supongamos que conoces el ángulo $latex A$, el lado $latex a$ opuesto a él y el lado $latex b$ que está a su lado. Imagina el lado $latex a$ como una varilla articulada en el extremo del lado $latex b$, que gira hacia la línea base. Puede no llegar, apenas tocarla o cortarla en dos puntos. Eso es justo lo que muestra el resolutor en el modo LLA: la circunferencia punteada es el camino de la varilla.
La ley de senos da $latex \sin B=\frac{b\sin A}{a}$. La calculadora devuelve solo el ángulo agudo de ese seno, pero el ángulo $latex 180^{\circ}-B$ tiene el mismo seno. Por eso puede existir un segundo triángulo, y existe siempre que $latex A+(180^{\circ}-B)<180^{\circ}$.
Para decidirlo de antemano, compara $latex a$ con la altura $latex h=b\sin A$ cuando $latex A$ es agudo:
| Condición sobre el lado a | Número de triángulos |
|---|---|
| $latex a<b\sin A$ | Ninguno: la varilla es muy corta para llegar a la base |
| $latex a=b\sin A$ | Uno, y es un triángulo rectángulo |
| $latex b\sin A<a<b$ | Dos: un $latex B$ agudo y un $latex B$ obtuso |
| $latex a\ge b$ | Uno: la opción obtusa haría que los ángulos sumaran más de $latex 180^{\circ}$ |
Si $latex A$ es recto u obtuso, hay un triángulo cuando $latex a>b$ y ninguno en otro caso. Como comprobación, la ley de cosenos convierte la pregunta en una ecuación cuadrática en $latex c$, $latex c^2-2b\,c\cos A+b^2-a^2=0$, y el número de raíces positivas es el número de triángulos.
Ejercicios resueltos para resolver triángulos
Resuelve cada uno en papel primero. Conserva al menos cuatro decimales en los pasos intermedios y redondea solo las respuestas finales.
EJERCICIO 1
Resuelve el triángulo de lados 7, 8 y 9 (LLL): $latex a=7$, $latex b=8$, $latex c=9$.
Solución
Tres lados: usa la ley de cosenos para dos ángulos.
$$\cos A=\frac{8^2+9^2-7^2}{2\cdot 8\cdot 9}=\frac{96}{144}=0.6667\ \Rightarrow\ A=48.19^{\circ}$$
$$\cos B=\frac{7^2+9^2-8^2}{2\cdot 7\cdot 9}=\frac{66}{126}=0.5238\ \Rightarrow\ B=58.41^{\circ}$$
$$C=180^{\circ}-48.19^{\circ}-58.41^{\circ}=73.4^{\circ}$$
Ya conoces los tres ángulos. El ángulo mayor está frente al lado mayor, como debe ser.
EJERCICIO 2
Resuelve el triángulo con $latex b=10$, $latex c=14$ y el ángulo entre ellos $latex A=60^{\circ}$ (LAL).
Solución
Dos lados y el ángulo entre ellos: la ley de cosenos da el tercer lado.
$$a^2=10^2+14^2-2\cdot 10\cdot 14\cos 60^{\circ}=296-140=156\ \Rightarrow\ a=12.49$$
Ahora busca el ángulo opuesto al menor de los lados restantes, que es $latex b$, con la ley de senos:
$$\sin B=\frac{10\sin 60^{\circ}}{12.49}=0.6934\ \Rightarrow\ B=43.9^{\circ}$$
$$C=180^{\circ}-60^{\circ}-43.9^{\circ}=76.1^{\circ}$$
EJERCICIO 3
Dos vigilantes están a 1000 m uno del otro en un camino recto. Ven el mismo incendio con ángulos de 52° y 71° respecto al camino, medidos en cada vigilante entre el camino y el incendio. ¿A qué distancia de cada vigilante está el incendio?
Solución
Los ángulos están en los vigilantes $latex A$ y $latex B$, y el lado entre ellos es $latex c=1000$ (ALA).
$$C=180^{\circ}-52^{\circ}-71^{\circ}=57^{\circ}$$
$$b=\frac{1000\sin 71^{\circ}}{\sin 57^{\circ}}=1127.4\ \text{m},\qquad a=\frac{1000\sin 52^{\circ}}{\sin 57^{\circ}}=939.6\ \text{m}$$
El incendio está a 1127.4 m del vigilante A y a 939.6 m del vigilante B.
EJERCICIO 4
Un triángulo tiene $latex A=30^{\circ}$, $latex a=7$ y $latex b=10$. Encuentra todos los triángulos posibles.
Solución
El ángulo no está entre los lados (LLA), así que revisa el caso ambiguo. La altura es $latex h=10\sin 30^{\circ}=5$. Como $latex 5<7<10$, hay dos triángulos.
$$\sin B=\frac{10\sin 30^{\circ}}{7}=0.7143\ \Rightarrow\ B_1=45.58^{\circ}\ \text{o}\ B_2=180^{\circ}-45.58^{\circ}=134.42^{\circ}$$
Triángulo 1: $latex C_1=180^{\circ}-30^{\circ}-45.58^{\circ}=104.42^{\circ}$ y $latex c_1=\frac{7\sin 104.42^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=13.56$.
Triángulo 2: $latex C_2=180^{\circ}-30^{\circ}-134.42^{\circ}=15.58^{\circ}$ y $latex c_2=\frac{7\sin 15.58^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=3.76$.
Los dos triángulos tienen el ángulo y los lados dados. Pon el resolutor en LLA con sus valores iniciales para verlos juntos.
EJERCICIO 5
Un triángulo tiene $latex A=40^{\circ}$, $latex a=5$ y $latex b=10$. ¿Cuántos triángulos cumplen los datos?
Solución
La altura es $latex h=10\sin 40^{\circ}=6.43$, mayor que $latex a=5$. La varilla es muy corta para llegar a la base.
$$\sin B=\frac{10\sin 40^{\circ}}{5}=1.2856>1$$
Ningún ángulo tiene un seno mayor que 1, así que no existe el triángulo.
EJERCICIO 6
Un triángulo tiene $latex A=50^{\circ}$, $latex a=12$ y $latex b=9$. Resuélvelo.
Solución
Aquí $latex a>b$, así que esperamos exactamente un triángulo.
$$\sin B=\frac{9\sin 50^{\circ}}{12}=0.5745\ \Rightarrow\ B=35.07^{\circ}$$
La opción obtusa $latex 180^{\circ}-35.07^{\circ}=144.93^{\circ}$ no sirve, porque con $latex A=50^{\circ}$ los ángulos sumarían más de $latex 180^{\circ}$.
$$C=94.93^{\circ},\qquad c=\frac{12\sin 94.93^{\circ}}{\sin 50^{\circ}}=15.61$$
Errores comunes
- La calculadora en el modo equivocado. Los ángulos en grados piden el modo de grados; un descuido cambia todas las respuestas.
- Olvidar el segundo triángulo en LLA. Siempre que los datos sean dos lados y un ángulo no comprendido, prueba la opción obtusa $latex 180^{\circ}-B$.
- Usar la ley de senos cuando no hay un lado con su ángulo opuesto, como en LLL y LAL. Ahí empieza con la ley de cosenos.
- En LAL, hallar primero el ángulo mayor con la ley de senos. Busca primero el ángulo opuesto al lado menor, que siempre es agudo.
- Perder el signo en la ley de cosenos. Con un ángulo obtuso, $latex \cos A$ es negativo y $latex -2bc\cos A$ se suma.
- Redondear demasiado pronto, de modo que los tres ángulos ya no suman $latex 180^{\circ}$.
Ejercicios para resolver triángulos
Decide primero el caso y después la ley. Abre cada respuesta para comparar.
1. Resuelve el triángulo de lados 5, 6 y 7. Da cada ángulo.
Respuesta
LLL, así que usa cosenos: $latex A=44.42^{\circ}$, $latex B=57.12^{\circ}$ y $latex C=78.46^{\circ}$.
2. Resuelve el triángulo con $latex b=8$, $latex c=5$ y $latex A=120^{\circ}$.
Respuesta
LAL: $latex a=11.36$, luego $latex B=37.59^{\circ}$ y $latex C=22.41^{\circ}$. Primero se halla el ángulo opuesto al lado menor $latex c$.
3. Resuelve el triángulo con $latex A=48^{\circ}$, $latex B=71^{\circ}$ y $latex a=15$.
Respuesta
AAL: $latex C=61^{\circ}$, $latex b=19.08$ y $latex c=17.65$.
4. Un triángulo tiene $latex A=35^{\circ}$, $latex a=8$ y $latex b=12$. Encuentra todas las soluciones.
Respuesta
Dos triángulos, pues $latex h=6.88<8<12$. Primero: $latex B=59.36^{\circ}$, $latex C=85.64^{\circ}$, $latex c=13.91$. Segundo: $latex B=120.64^{\circ}$, $latex C=24.36^{\circ}$, $latex c=5.75$.
5. Un triángulo tiene $latex A=42^{\circ}$, $latex a=9$ y $latex b=5$. Resuélvelo.
Respuesta
Un triángulo, porque $latex a>b$: $latex B=21.82^{\circ}$, $latex C=116.18^{\circ}$ y $latex c=12.07$.
6. ¿Existe un triángulo con $latex A=65^{\circ}$, $latex a=8$ y $latex b=10$?
Respuesta
No. La altura es $latex h=10\sin 65^{\circ}=9.06$, mayor que 8, así que el lado a no llega a la base.
Preguntas frecuentes
¿Puedo usar la ley de cosenos para todo?
Sí, con más álgebra. Resuelve LLL y LAL directamente, y en LLA se convierte en una ecuación cuadrática para el lado que falta. La ley de senos es más corta cuando ya tienes un lado con su ángulo opuesto.
¿Cómo sé si un triángulo dado por LLL es obtusángulo?
Mira el lado mayor. Si su cuadrado es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos, el ángulo opuesto es obtuso y su coseno sale negativo.
¿Estas leyes sirven para triángulos rectángulos?
Sí. Con $latex C=90^{\circ}$ la ley de cosenos se convierte en $latex c^2=a^2+b^2$ y la ley de senos da las razones de seno de siempre.
¿Por qué LLL, LAL, ALA y AAL dan un solo triángulo y LLA puede no hacerlo?
Porque en LLA el ángulo dado no está entre los dos lados dados, y el lado libre puede girar y tocar la base en dos puntos.
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