Las leyes del seno y del coseno son relaciones que nos permiten encontrar la longitud de un lado de un triángulo o la medida de uno de sus ángulos. Dependiendo en la información que tengamos disponible, podemos usar la ley de los senos o la ley de los cosenos. La ley de los senos relaciona a la longitud de un lado con el seno de su ángulo y la ley de los cosenos relaciona a la longitud de dos lados del triángulo con su ángulo intermedio.
A continuación, conoceremos las fórmulas de la ley de senos y la ley de cosenos. Aprenderemos a diferenciar las situaciones en las que podemos usar la ley de los senos de las situaciones en las que podemos usar la ley de cosenos. Además, veremos algunos ejercicios de práctica.
¿Cuál es la fórmula de la ley de senos?
La fórmula de la ley de senos es una ecuación que relaciona a los lados de un triángulo con los senos de sus respectivos ángulos. La siguiente es la fórmula de la ley de senos:
| $latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}$ |
en donde, a, b, c representan a las longitudes de los lados del triángulo y A, B, C representan a los ángulos del triángulo. Los ángulos denotan a sus lados opuestos.
Esto significa que a es el lado opuesto al ángulo A, b es el lado opuesto al ángulo B y c es el lado opuesto al ángulo C como podemos mirar en el siguiente triángulo.
¿Cuál es la fórmula de la ley de cosenos?
La fórmula de la ley de los cosenos es una ecuación que relaciona a las longitudes de dos lados de un triángulo con el ángulo que se encuentra entre los dos lados. La fórmula de la ley de cosenos es:
| $latex {{a}^2}={{b}^2}+{{c}^2}-2bc\cos(\alpha)$ $latex {{b}^2}={{a}^2}+{{c}^2}-2ac\cos(\beta)$ $latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}-2ab\cos(\gamma)$ |
en donde, a, b, c representan a las longitudes de los lados del triángulo y α, β, γ representan a los ángulos del triángulo como se muestra en la siguiente imagen.
¿Cuándo usar la ley de senos y cuándo usar la ley de cosenos?
La ley de los senos puede ser usada cuando tenemos las siguientes situaciones:
- Queremos calcular la longitud de un lado y conocemos la medida de dos ángulos y la longitud de un lado.
- Queremos calcular un ángulo y conocemos la medida de dos lados y un ángulo.
Para usar la ley de los senos, tenemos que relacionar a los ángulos con sus lados opuestos. Por ejemplo, podemos aplicar la ley de los senos en el siguiente triángulo si es queremos encontrar la longitud del lado b y conocemos la medida de los ángulos A, B y la longitud del lado a.
Alternativamente, también podemos aplicar la ley de los senos si es que queremos encontrar la medida del ángulo A y conocemos las longitudes de los lados a, b y la medida del ángulo B.
La ley de los cosenos puede ser usada cuando tenemos las siguientes situaciones:
- Queremos encontrar la longitud de un lado y conocemos las longitudes de dos lados y su ángulo intermedio.
- Queremos encontrar la medida de cualquier ángulo y conocemos las longitudes de los tres lados del triángulo.
Para usar la ley de los cosenos siempre usamos el ángulo que se encuentra entre los dos lados conocidos. Por ejemplo, podemos aplicar la ley de cosenos si es que queremos encontrar la longitud del lado c en el siguiente triángulo y conocemos las longitudes de a y b y la medida del ángulo γ.
Ejercicios de ley de senos y cosenos resueltos
Los siguientes ejercicios son resueltos usando las leyes del seno y del coseno. Cada ejercicio tiene su respectiva respuesta, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la solución.
EJERCICIO 1
Tenemos un triángulo con los ángulos A=40° y B=50° y tenemos al lado a=12. ¿Cuál es la longitud del lado b?
Solución
Tenemos la siguiente información:
- A=40°
- B=50°
- a=12
En este caso, podemos usar la ley de los senos. Entonces, tenemos:
$latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}$
$latex \frac{12}{\sin(40)}=\frac{b}{\sin(50)}$
$latex \frac{12}{0.643}=\frac{b}{0.766}$
$latex 15.55=\frac{b}{0.766}$
$latex b=15.55(0.766)$
$latex b=11.9$
La longitud de b es 11.9.
EJERCICIO 2
¿Cuál es la medida del ángulo A en un triángulo si es que tenemos a=10, B=30° y b=8?
Solución
Tenemos los siguientes datos:
- a=10
- B=30°
- b=8
Usamos la ley de senos nuevamente. Entonces, tenemos:
$latex \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}$
$latex \frac{10}{\sin(A)}=\frac{8}{\sin(30)}$
$latex \frac{10}{\sin(A)}=\frac{8}{0.5}$
$latex \frac{10}{\sin(A)}=16$
$latex \sin(A)=\frac{10}{16}$
Ahora, encontramos la medida del ángulo usando la función seno inversa:
$latex A={{\sin}^{-1}}(\frac{10}{16})$
$latex A=38.7$°
El ángulo A mide 38.7°.
EJERCICIO 3
En un triángulo, tenemos las longitudes b=12 y c=10 y el ángulo A=45°, ¿cuál es la longitud del lado a?
Solución
Extraemos los siguientes datos:
- b=12
- c=10
- A=45°
En este caso, podemos usar la ley de cosenos para encontrar la longitud de a:
$latex {{a}^2}={{b}^2}+{{c}^2}-2bc~\cos(A)$
$latex {{a}^2}={{12}^2}+{{10}^2}-2(12)(10)~\cos(45)$
$latex {{a}^2}=144+100-169.7$
$latex {{c}^2}=74.3$
$latex c=8.62$
La longitud de a es 8.62.
EJERCICIO 4
En un triángulo, tenemos los lados a=7, b=8 y c=9. ¿Cuál es la medida del ángulo C?
Solución
Tenemos la siguiente información:
- a=7
- b=8
- c=9
Nuevamente, usamos la ley de cosenos. Entonces, al resolver para el ángulo C, tenemos:
$latex {{c}^2}={{a}^2}+{{b}^2}-2ab~\cos(C)$
$latex {{9}^2}={{7}^2}+{{8}^2}-2(7)(8)~\cos(C)$
$latex 81=49+64-2(7)(8)~\cos(C)$
$latex 81=113-112~\cos(C)$
$latex 112~\cos(C)=32$
$latex C={{\cos}^{-1}}(\frac{32}{112})$
$latex C=73.4$°
El ángulo C mide 73.4°.
Ejercicios de ley de senos y cosenos para resolver
Usa la ley de los senos y la ley de los cosenos para resolver los siguientes ejercicios de práctica. Selecciona una respuesta y haz clic en «Verificar» para comprobar que obtuviste la respuesta correcta.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
