La regla de tres sirve para encontrar un cuarto número cuando conoces tres y las cantidades están ligadas por una proporción. Si 3 kilos de manzanas cuestan $12, ¿cuánto cuestan 5 kilos? Tres datos conocidos y una incógnita. Es la herramienta detrás de las recetas, el cambio de divisas, los problemas de velocidad y los planos a escala.
Hay tres versiones: directa, inversa y compuesta. La única decisión de fondo es si las cantidades suben juntas o en sentidos opuestos.
Regla de tres directa
Dos cantidades son directamente proporcionales cuando al duplicar una se duplica la otra. Su razón no cambia. Pon el par conocido en una fila y el valor nuevo en la segunda, con la incógnita x debajo de su pareja:
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{x} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{b \times c}{a} $$
Ejemplo 1. 3 kilos de manzanas cuestan $12. ¿Cuánto cuestan 5 kilos? Más manzanas, más dinero: directa.
$$ x = \frac{12 \times 5}{3} = 20 $$
Cinco kilos cuestan $20. Otra forma de verlo: el peso se multiplicó por $latex \frac{5}{3}$, así que el precio también.
Ejemplo 2. Una receta para 4 personas usa 300 g de arroz. Para 10 personas: $latex x = \frac{300 \times 10}{4} = 750$ g.
Regla de tres inversa
Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al duplicar una la otra se reduce a la mitad. Lo que no cambia es su producto. Ahora el valor nuevo divide a la respuesta, así que la multiplicación en cruz cambia:
$$ a \times b = c \times x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{a \times b}{c} $$
Ejemplo 3. 4 obreros terminan un trabajo en 6 días. ¿Cuánto tardarán 8 obreros? Más obreros, menos días: inversa.
$$ x = \frac{4 \times 6}{8} = 3 $$
Ejemplo 4. Un coche a 90 km/h tarda 2 horas en un viaje. A 60 km/h: $latex x = \frac{90 \times 2}{60} = 3$ horas. Menos velocidad, más tiempo.
Pruébalo: el cuarto número se llena mientras escribes
Elige directa o inversa y cambia los tres números. La gráfica muestra la relación: una recta que pasa por el origen en los problemas directos y una curva que baja en los inversos. El par conocido es azul y tu respuesta es naranja.
Cómo distinguir directa de inversa
Hazte una sola pregunta: si la primera cantidad sube, ¿la segunda sube o baja?
| Si más de A significa... | La relación es | Fórmula | Ejemplos típicos |
|---|---|---|---|
| más de B | Directa | $latex x = \frac{b \times c}{a}$ | precio y peso; paga y horas |
| menos de B | Inversa | $latex x = \frac{a \times b}{c}$ | obreros y días; velocidad y tiempo |
Revisa el resultado con sentido común. En un problema directo la respuesta debe crecer si el valor nuevo es mayor que el anterior. En uno inverso debe disminuir.
Regla de tres compuesta
Cuando la incógnita depende de dos o más cantidades, atiéndelas de una en una. Para cada cantidad decide si mueve la incógnita en el mismo sentido (directa) o al revés (inversa), conviértela en una razón y multiplica el valor inicial por todas las razones. Una cantidad directa da la razón nuevo entre anterior. Una inversa da anterior entre nuevo.
Ejemplo 5. 6 obreros que trabajan 8 horas al día levantan 120 m de barda en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 8 obreros que trabajan 6 horas al día para levantar 180 m?
- Más obreros significa menos días (inversa): multiplica por 6/8.
- Menos horas por día significa más días (inversa): multiplica por 8/6.
- Más barda significa más días (directa): multiplica por 180/120.
$$ x = 10 \times \frac{6}{8} \times \frac{8}{6} \times \frac{180}{120} = 15 \text{ días} $$
Aquí las dos primeras razones se cancelan, y tiene sentido: 8 obreros durante 6 horas hacen el mismo trabajo diario que 6 obreros durante 8 horas. Solo la barda extra suma tiempo, con un factor de 1.5.
Cada fila es una cantidad que cambia: su nombre, su valor anterior, su valor nuevo, y si mueve la incógnita en el mismo sentido (directa) o al revés (inversa).
El método de reducción a la unidad y los porcentajes
La regla de tres es un atajo del método de reducción a la unidad: hallar el valor de una unidad y escalar. En el Ejemplo 1, 1 kilo cuesta $latex 12 \div 3 = 4$, así que 5 kilos cuestan $latex 5 \times 4 = 20$. Usa el que te dé más confianza.
Los porcentajes también son proporciones directas. Si 250 es el 100%, ¿qué porcentaje es 40? $latex x = \frac{40 \times 100}{250} = 16\%$. Revisa cómo calcular porcentajes para ver más.
Errores comunes
- Tratar un problema inverso como directo. Duplicar los obreros no duplica los días. Hazte primero la pregunta de sube o baja.
- Mezclar unidades. Si la primera fila está en minutos, la segunda también. Pasa las horas a minutos antes de calcular.
- Suponer que todo es proporcional. Si una playera se seca en 2 horas en el tendedero, 5 playeras colgadas lado a lado también tardan cerca de 2 horas, no 10. El tiempo de cocción, la edad y los precios con descuento por volumen tampoco son proporcionales.
- Poner los números en lugares equivocados. La incógnita va con el valor del mismo tipo que su pareja conocida. Rotula cada columna antes de multiplicar.
- Olvidar una cantidad en un problema compuesto. Toda cantidad que cambia necesita su propia razón.
Ejercicios para practicar
Problema 1
7 cuadernos cuestan $42. ¿Cuánto cuestan 12 cuadernos?
Respuesta
Directa: $latex x = \frac{42 \times 12}{7} = 72$.
Respuesta: $72.
Problema 2
2 tubos llenan una alberca en 9 horas. ¿Cuánto tardarán 6 tubos?
Respuesta
Más tubos, menos tiempo: inversa. $latex x = \frac{2 \times 9}{6} = 3$.
Respuesta: 3 horas.
Problema 3
Un viaje dura 5 horas a 80 km/h. ¿Cuánto dura a 100 km/h?
Respuesta
Más velocidad, menos tiempo: inversa. $latex x = \frac{80 \times 5}{100} = 4$.
Respuesta: 4 horas.
Problema 4
15 obreros que trabajan 8 horas al día terminan una obra en 12 días. ¿Cuántos días necesitarán 20 obreros que trabajan 5 horas al día?
Respuesta
Más obreros: inversa, $latex \frac{15}{20}$. Menos horas por día: inversa, $latex \frac{8}{5}$.
$$ x = 12 \times \frac{15}{20} \times \frac{8}{5} = 14.4 $$
Respuesta: 14.4 días.
Problema 5
Una impresora imprime 240 páginas en 8 minutos. ¿Cuánto tardan 2 impresoras en imprimir 600 páginas?
Respuesta
Más páginas: directa, $latex \frac{600}{240}$. Más impresoras: inversa, $latex \frac{1}{2}$.
$$ x = 8 \times \frac{600}{240} \times \frac{1}{2} = 10 $$
Respuesta: 10 minutos.
Problema 6
Con 250 g de harina se hacen 15 galletas. ¿Cuántas galletas salen con 1 kg de harina?
Respuesta
Pasa 1 kg a 1000 g y usa la directa: $latex x = \frac{15 \times 1000}{250} = 60$.
Respuesta: 60 galletas.
Preguntas frecuentes
¿La regla de tres es lo mismo que una proporción?
Es una forma rápida de resolverla. Escribir a/b = c/x y multiplicar en cruz da el mismo resultado que la regla de tres.
¿Cómo sé si un problema es directo o inverso?
Pregúntate si más de la primera cantidad da más o menos de la segunda. Más da directa. Menos da inversa.
¿Se puede usar la regla de tres con porcentajes?
Sí. Toma el total como 100% y despeja la parte, o al revés. Los porcentajes son proporciones directas.
¿La regla compuesta necesita una tabla?
Una tabla ayuda, pero solo lista cada cantidad con su valor anterior y su valor nuevo, y marca si es directa o inversa. Después se multiplican las razones.
Calculadoras relacionadas
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