Un porcentaje es una fracción con denominador 100. Decir 35% significa 35 de cada 100, o $latex \frac{35}{100} = 0.35$. Todos los problemas de porcentajes tienen las mismas tres piezas: una parte, un total y una tasa (el porcentaje). Conoces dos y buscas la tercera.
Aquí vemos el porcentaje de un número, qué porcentaje es un número de otro, aumentos y descuentos, dos descuentos seguidos y la variación porcentual. Tres herramientas interactivas te dejan mover los números y ver cómo cambian las barras.
Qué es realmente un porcentaje
Para pasar un porcentaje a decimal, divide entre 100: $latex 35\% = 0.35$. Para regresar, multiplica por 100: $latex 0.08 = 8\%$. Conviene saber de memoria algunos porcentajes:
| Porcentaje | Fracción | Decimal | Truco rápido |
|---|---|---|---|
| 50% | $latex \frac{1}{2}$ | 0.5 | dividir entre 2 |
| 25% | $latex \frac{1}{4}$ | 0.25 | dividir entre 4 |
| 20% | $latex \frac{1}{5}$ | 0.2 | dividir entre 5 |
| 10% | $latex \frac{1}{10}$ | 0.1 | recorrer el punto decimal un lugar a la izquierda |
| 5% | $latex \frac{1}{20}$ | 0.05 | la mitad del 10% |
| 1% | $latex \frac{1}{100}$ | 0.01 | recorrer el punto decimal dos lugares |
Con estos atajos armas cualquier otro porcentaje. Para el 15% de 80, toma el 10% (8) y suma el 5% (4): 12.
Los tres problemas básicos de porcentajes
1. Calcular el porcentaje de un número
$$ \text{parte} = \frac{p}{100} \times \text{total} $$
Ejemplo. ¿Cuánto es el 15% de 80?
$$ \frac{15}{100} \times 80 = 0.15 \times 80 = 12 $$
2. Calcular qué porcentaje es un número de otro
$$ p = \frac{\text{parte}}{\text{total}} \times 100 $$
Ejemplo. Acertaste 18 preguntas de 24. ¿Qué porcentaje es?
$$ \frac{18}{24} \times 100 = 0.75 \times 100 = 75\% $$
3. Calcular el total cuando conoces la parte
$$ \text{total} = \frac{\text{parte}}{p/100} $$
Ejemplo. 30 es el 12% de ¿qué número?
$$ \frac{30}{0.12} = 250 $$
Compruébalo: el 12% de 250 es 30. Hacer la cuenta al revés es la forma más rápida de detectar un descuido.
Aumentos y descuentos
Sumar p% a un precio significa pagar 100% + p% de él, es decir $latex 1 + \frac{p}{100}$ veces el precio. Quitar p% significa pagar $latex 1 - \frac{p}{100}$ veces el precio. Una sola multiplicación resuelve todo:
$$ \text{precio nuevo} = \text{precio} \times \left(1 \pm \frac{p}{100}\right) $$
Ejemplo de descuento. Una chamarra cuesta $80 y tiene 25% de descuento. El factor es $latex 1 - 0.25 = 0.75$, así que pagas $latex 80 \times 0.75 = 60$, o sea $60.
Ejemplo de aumento. La cuenta del restaurante es de $64 y dejas 15% de propina. El factor es 1.15, así que el total es $latex 64 \times 1.15 = 73.6$, es decir $73.60.
Ejemplo para encontrar el precio original. Un videojuego cuesta $64 después de un descuento de 20%. El precio de oferta es el 80% del original, así que divide:
$$ \frac{64}{0.80} = 80 $$
El precio original era $80. Si le sumaras 20% al precio de oferta obtendrías $76.80, que está mal porque el 20% se calculó sobre el precio original y no sobre $64.
Dos descuentos seguidos
Una tienda quita 20% y luego otro 10% al precio nuevo. Mucha gente los suma y espera 30% de descuento. El segundo descuento se aplica a un precio ya más chico, así que quita menos pesos. Mejor multiplica los factores:
$$ 0.80 \times 0.90 = 0.72 $$
Pagas el 72% del precio, así que el descuento total es de 28%, no de 30%.
En general, para dos descuentos $latex d_1$ y $latex d_2$ escritos como decimales, el descuento total es $latex 1 - (1 - d_1)(1 - d_2)$. El orden no importa y la misma idea sirve para cualquier cadena de aumentos y descuentos. El deslizador muestra qué tan lejos queda el precio real del precio que saldría “sumando”.
Una trampa parecida: subes un precio 20% y después lo bajas 20%. Los factores son 1.20 y 0.80, y $latex 1.20 \times 0.80 = 0.96$. El precio termina 4% por debajo del inicial.
Variación porcentual
La variación porcentual compara un valor nuevo con uno anterior. La base siempre es el valor anterior:
$$ \text{variación porcentual} = \frac{\text{nuevo} - \text{anterior}}{\text{anterior}} \times 100 $$
Un resultado positivo es un aumento y uno negativo es una disminución. Un valor que pasa de 50 a 75 cambia $latex \frac{75 - 50}{50} \times 100 = 50\%$. Regresar de 75 a 50 es $latex \frac{50 - 75}{75} \times 100 \approx -33.33\%$. La diferencia es la misma, de 25, pero el punto de partida cambia y por eso cambia el porcentaje.
Errores comunes
- Sumar porcentajes sucesivos. 20% de descuento y luego 10% de descuento es 28%, no 30%.
- Deshacer un porcentaje con el mismo porcentaje. Un aumento de 20% no se cancela con una baja de 20%, porque se calculan sobre bases distintas.
- Dividir entre el número equivocado en la variación porcentual. Se divide siempre entre el valor anterior, aunque el nuevo parezca la base natural.
- Confundir porcentaje con puntos porcentuales. Una tasa que sube de 4% a 5% subió 1 punto y subió 25%.
- Olvidar pasar a decimal. El 35% de 240 es 0.35 × 240, no 35 × 240.
Ejercicios para practicar
Problema 1
¿Cuánto es el 35% de 240?
Respuesta
$latex 0.35 \times 240 = 84$.
Respuesta: 84.
Problema 2
Unos tenis cuestan $120. Tienen 30% de descuento y luego se suma 8% de IVA al precio de oferta. ¿Cuál es el precio final?
Respuesta
Descuento: $latex 120 \times 0.70 = 84$. IVA: $latex 84 \times 1.08 = 90.72$.
Respuesta: $90.72.
Problema 3
Un celular cuesta $450 después de un descuento de 10%. ¿Cuál era el precio original?
Respuesta
El precio de oferta es el 90% del original: $latex \frac{450}{0.90} = 500$.
Respuesta: $500.
Problema 4
La renta sube de $800 a $868. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?
Respuesta
$$ \frac{868 - 800}{800} \times 100 = \frac{68}{800} \times 100 = 8.5\% $$
Respuesta: 8.5%.
Problema 5
Una tienda da dos descuentos seguidos, 25% y luego 20%. ¿Cuál es el descuento total?
Respuesta
Factores: $latex 0.75 \times 0.80 = 0.6$. Pagas el 60% del precio.
Respuesta: un descuento total de 40%.
Problema 6
Un precio sube 20% y después baja 20%. ¿Regresa al original? Da el cambio neto.
Respuesta
$latex 1.20 \times 0.80 = 0.96$. El precio final es el 96% del original.
Respuesta: no. El cambio neto es de -4%.
Preguntas frecuentes
¿Cómo saco el 20% de un número de cabeza?
Toma el 10% moviendo el punto decimal un lugar a la izquierda y luego duplícalo. Para el 20% de 70, el 10% es 7, así que el 20% es 14.
¿Cómo encuentro el precio original después de un descuento?
Divide el precio de oferta entre la parte que todavía pagas. Con 25% de descuento pagas el 75%, así que precio original = precio de oferta ÷ 0.75.
¿Un porcentaje puede ser mayor que 100%?
Sí. El 150% de un número es una vez y media ese número. Un valor que se triplica aumentó 200%.
¿Cuál es la diferencia entre porcentaje y puntos porcentuales?
El porcentaje compara un cambio con un valor inicial. Los puntos porcentuales son la resta simple entre dos porcentajes. De 4% a 5% hay 1 punto porcentual, o un aumento de 25%.
Calculadoras relacionadas
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