Las funciones exponenciales pueden ser usadas para modelar escenarios de crecimiento poblacional u otras situaciones que siguen patrones con crecimiento a tasas fijas. Existen fórmulas que pueden ser usadas para encontrar soluciones a la mayoría de problemas relacionados con crecimiento exponencial.
A continuación, veremos un resumen del crecimiento exponencial y las fórmulas que pueden ser usadas para resolver este tipo de problemas. Además, veremos varios ejercicios de crecimiento exponencial para aprender cómo aplicar estas fórmulas.
Resumen de crecimiento exponencial
El crecimiento exponencial es un patrón de datos que muestra incrementos más grandes a medida que pasa el tiempo, creando la curva de una función exponencial.
Por ejemplo, si es que una población de bacteria empieza con dos en el primer mes, luego con cuatro en el segundo mes, 16 en el tercer mes, 256 en el cuarto mes y así, significa que la población crece exponencialmente con una potencia de 2 cada año.
La siguiente fórmula es usada para modelar el crecimiento exponencial. Si es que una cantidad crece por un porcentaje fijo en intervalos regulares, el patrón puede ser descrito por esta función:
| Crecimiento Exponencial |
| $latex y=a{{(1+r)}^x}$ |
Recordamos que la función exponencial original tiene la forma $latex y=a{{b}^x}$. En la fórmula del crecimiento original, hemos reemplazado a b con $latex 1+r$. Entonces, en esta fórmula tenemos:
- $latex a=$ valor inicial. Esta es la cantidad inicial antes del crecimiento.
- $latex r=$ tasa de crecimiento. Esto es representado como un decimal.
- $latex x=$ intervalo de tiempo. Esto es el tiempo que ha pasado.
La mayoría de eventos que ocurren naturalmente crecen continuamente. Por ejemplo, las bacterias siguen creciendo a lo largo de un periodo de 24 horas. Las bacterias no esperan hasta el final de las 24 horas para reproducirse todas al mismo tiempo.
Para modelar el crecimiento continuo que ocurre naturalmente como las poblaciones, bacteria, etc., usamos el exponencial e. e puede ser pensada como una constante universal que representa las posibilidades de crecimiento usando un proceso continuo.
Además, usando e también podemos representar al crecimiento medido periodicamente a lo largo del tiempo.
Entonces, si es que una cantidad crece continuamente con un porcentaje fijo, podemos usar la siguiente fórmula para modelar este patrón:
| Crecimiento Exponencial Continuo |
| $latex A=A_{0}{{e}^{kt}}$ |
En esta fórmula tenemos:
- $latex A=$ valor final. Esta es la cantidad después del crecimiento.
- $latex A_{0}=$ valor inicial. Esta es la cantidad antes del crecimiento.
- $latex e=$ exponencial. e es aproximadamente igual a 2.718…
- $latex k=$ tasa de crecimiento continuo. También es denominada la constante de proporcionalidad.
- $latex t=$ tiempo transcurrido.
Ejercicios de crecimiento exponencial resueltos
Los siguientes ejercicios usan las fórmulas detalladas arriba y alguna variación para encontrar la solución. Es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar la respuesta.
EJERCICIO 1
Una población de bacteria crece de acuerdo con la función $latex f(x)=100{{e}^{0.02t}}$, en donde t es medido en minutos. ¿Cuántas bacterias habrá después de 4 horas (240 minutos)?
Solución
Este es un crecimiento continuo, por lo que tenemos la fórmula $latex A=A_{0}{{e}^{kt}}$. Podemos reconocer los siguientes datos:
- $latex A_{0}=100$
- $latex k=0.02$
- $latex t=240$
Entonces, tenemos:
$latex f(240)=100{{e}^{0.02(240)}}\approx 12151$
Entonces, habrá 12 151 bacterias después de 4 horas.
EJERCICIO 2
Una población de bacteria crece de acuerdo con la función $latex f(x)=100{{e}^{0.02t}}$, en donde t es medido en minutos. ¿Cuándo llegará la población a 50 000?
Solución
Aquí, tenemos misma fórmula que el anterior ejercicio, pero ahora tenemos que encontrar el tiempo conociendo la cantidad final. Podemos reconocer los siguientes datos:
- $latex A_{0}=100$
- $latex k=0.02$
- $latex A=50000$
Entonces, tenemos:
$latex 50 000=100{{e}^{0.02t}}$
$latex 500={{e}^{0.02t}}$
$latex \ln(500)=0.02t$
$latex t=\frac{\ln(500)}{0.02}$
$latex t\approx 310.73$
Entonces, la población de bacterias llegará a ser 50 000 después de 310.73 minutos.
EJERCICIO 3
Podemos modelar a la población de una comunidad con la fórmula $latex A=10000({{e}^{0.005t}})$. Aquí, A representa a la población y t representa el tiempo en años. ¿Cuál es la población después de 10 años?
Solución
Ya tenemos una fórmula dada: $latex A=10000({{e}^{0.005t}})$. Tenemos que calcular la población usando el tiempo $latex t=10$. Entonces, reemplazamos $latex t=10$ para obtener:
$latex A=10000({{e}^{0.005(10)}})$
$latex =10000({{e}^{0.05}})$
$latex =10000(1.0513)$
$latex =10513$
Por lo tanto, la población en la comunidad después de 10 años será 10 513.
EJERCICIO 4
La población de cierta comunidad era 10 000 en el año 1980. En el año 2000, se encontró había crecido y era 20 000. Forma una función exponencial para modelar a la población de la comunidad P que cambia a través del tiempo t.
Solución
Cuando tenemos crecimiento poblacional continuo, podemos modelar a la población con la fórmula general $latex P=P_{0}({{e}^{\lambda t}})$, en donde $latex P_{0}$ representa a la población inicial, λ es la constante de crecimiento exponencial y t es el tiempo.
Usando la información dada, tenemos que encontrar la constante λ para completar la fórmula. Entonces, tenemos:
$latex P=P_{0}({{e}^{\lambda t}})$
$latex 20000=10000({{e}^{20 \lambda}})$
$latex \frac{20000}{10000}={{e}^{20 \lambda}}$
$latex 2={{e}^{20 \lambda}}$
$latex \ln(2)=20 \lambda$
$latex \frac{\ln(2)}{20}=\lambda$
$latex 0.0347=\lambda$
Entonces, podemos modelar al crecimiento poblacional de la comunidad con la fórmula $latex P=10000({{e}^{0.0347 t}})$.
EJERCICIO 5
El crecimiento poblacional de una ciudad pequeña es modelado con la función $latex P=P_{0}({{e}^{0.1234t}})$. ¿Cuándo llegó la población a 37 500 si es que en 1980 la población fue 12500?
Solución
Podemos reemplazar los valores en la fórmula con la información dada:
$latex P=P_{0}({{e}^{0.1234t}})$
$latex 37500=12500({{e}^{0.1234t}})$
Ahora, tenemos que despejar para el tiempo:
$latex 37500=12500({{e}^{0.1234t}})$
$latex \frac{37500}{12500}=({{e}^{0.1234t}})$
$latex 3=({{e}^{0.1234t}})$
$latex \ln(3)=0.1234t$
$latex \frac{\ln(3)}{0.1234}=t$
$latex 8.9=t$
Por lo tanto, la población de la ciudad llegó a 37 500 en 1989.
EJERCICIO 6
Un tipo de bacteria se duplica cada 5 minutos. Asumiendo que empezamos con una bacteria, ¿cuántas bacterias tendremos al final de 96 minutos?
Solución
Sabemos que la bacteria crece continuamente, por lo que tenemos que usar la fórmula:
$latex A=A_{0}({{e}^{kt}})$
La bacteria se duplica cada 5 minutos, entonces después de 5 minutos, tendremos 2. Usamos esto para encontrar el valor de k:
$latex 2=1({{e}^{5k}})$
$latex \ln(2)=\ln({{e}^{5k}})$
$latex \ln(2)=5k$
$latex k=\frac{\ln(2)}{5}$
$latex k=0.13863$
Ahora, formamos la ecuación usando este valor de k y resolvemos usando el tiempo de 96 minutos:
$latex A=A_{0}({{e}^{0.13863t}})$
$latex A=1({{e}^{0.13863(96)}})$
$latex A\approx602 248$
→ Calculadora de Ecuaciones Exponenciales
Ejercicios de crecimiento exponencial para resolver
Practica el uso de las fórmulas de crecimiento exponencial con los siguientes ejercicios. Resuelve los ejercicios y selecciona una respuesta. Verifica tu respuesta para comprobar que seleccionaste la correcta.
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre funciones exponenciales? Mira estas páginas:
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
