Aplicaciones de la Función Exponencial

Existen importantes aplicaciones de la función exponencial en la vida cotidiana. Las aplicaciones más importantes se relacionan con el crecimiento poblacional, el decrecimiento exponencial y el interés compuesto.

Estas situaciones pueden ser modeladas fácilmente con las funciones exponenciales. Es posible predecir escenarios futuros con el conocimiento de ciertos parámetros actuales.

ÁLGEBRA
ejercicios de crecimiento exponencial

Relevante para

Conocer algunas aplicaciones de la función exponencial.

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1. Crecimiento poblacional

En algunos casos los científicos empiezan con un cierto número de bacterias o animales y miran cómo cambia su población. Por ejemplo, si es que la población se duplica cada 7 días, esto puede ser modelado por una función exponencial.

La fórmula general usada para representar al crecimiento poblacional es $latex P(r, t, f)=P_{i}(1+r)^{\frac{t}{f}}$, en donde $latex P_{i}$ representa a la población inicial, r es la tasa de crecimiento poblacional, t es el tiempo transcurrido, y f es el periodo sobre el cual la población crece por una tasa de r.

La razón de t a f es muchas veces simplificada en un solo valor que representa el número de ciclos compuestos. A pesar de que esa es la fórmula general, muchos de los modelos poblacionales usan el número e y forman la fórmula $latex P=P_{i}e^{kt}$.

Los modelos poblacionales pueden ocurrir en dos maneras. Una manera es si es que tenemos una función exponencial y tenemos que encontrar estimaciones. La segunda forma involucra encontrar una ecuación exponencial a partir de la información dada. Miraremos ejemplos de ambas maneras.

aplicaciones de la funcion exponencial

EJEMPLO 1

La población de una ciudad es $latex P=350 000e^{0.012t}$, en donde $latex t=0$ representa a la población en el año 2020.

a) Encuentra la población de la ciudad en el año 2030.

Solución: Para encontrar la población en el año 2030, necesitamos usar $latex t=10$ en la ecuación dada:

$$P=350 000e^{0.012t}=350 000e^{0.12}=394 624$$

b) Encuentra la población de la ciudad en el año 2035.

Solución: Para encontrar la población en el año 2035, necesitamos usar $latex t=15$:

$$P=350 000e^{0.012t}=350 000e^{0.18}=419 026$$

c) Encuentra cuándo la población será igual a 450 000.

Solución: De la anterior pregunta, sabemos que la población en el año 2035 será 419 026, por lo que tiene sentido que la respuesta sea mayor que 2035. Recuerda que la P en la ecuación es la población final, la cual tenemos que es 450 000. La ecuación que tenemos que resolver para encontrar el tiempo es:

$latex 450 000=350 000e^{0.012t}$

Entonces, resolvemos de la siguiente manera:

$latex 450 000=350 000e^{0.012t}$

$$\frac{450 000}{350 000}=e^{0.012t}$$

$$\ln\left( \frac{450 000}{350 000}\right)=\ln e^{0.012t}$$

$$\ln\left( \frac{450 000}{350 000}\right)= 0.012t$$

$$\frac{\ln\left( \frac{450 000}{350 000}\right)}{0.012}= t$$

$latex 20.94=t$

Por lo tanto, tomará casi 21 para que la población llegue a 450 000. Esto significa que la población llegará a 450 000 cerca del 2041.

EJEMPLO 2

Un científico empieza con 100 bacterias. Después de 10 días, descubre que la población ha crecido a 500.

a) Determina una ecuación para esta población de bacterias.

Solución: Para encontrar una ecuación, necesitamos encontrar los valores de $latex P_{i}$ y $latex k$. $latex P_{i}$ es la cantidad de bacterias con las que el científico empieza, es decir, 100. Sabemos que después de $latex t=10$ días, la población es 500, por lo que podemos usar esto para encontrar $latex k$:

$latex 500=100e^{10k}$

$latex 5=e^{10k}$

$latex \ln (5)=\ln e^{10k}$

$latex \ln (5)=10k$

$latex \frac{\ln (5)}{10}=k$

$latex 0.161=k$

Ahora que conocemos k, reemplazamos estos valores en la ecuación general para obtener:

$latex P=100e^{0.161t}$

b) Usa la ecuación para calcular la población después de 20 días.

Solución: Tenemos que sustituir el valor de 20 por t en la ecuación obtenida en la anterior pregunta:

$$P=100e^{0.161(20)}=100{e}^{3.22}=2 502.8$$

Esto es igual a aproximadamente 2 503 bacterias después de 20 días.

c) Usa la ecuación para estimar cuándo la población será igual a 1000.

$latex 1000=100e^{0.161t}$

$latex \frac{1000}{100}=e^{0.161t}$

$latex \ln (10)=\ln e^{0.161t}$

$latex \ln (10)= 0.161t$

$latex \frac{\ln (10)}{0.161}= t$

$latex 14.3=t$

Entonces, entre 14 y 15 días, la población de bacterias será 1000.


2. Decrecimiento exponencial

Similar a como es posible que una variable crezca exponencialmente como una función de otra, también es posible que la variable decrezca exponencialmente. Considera el decrecimiento de una población que ocurre a una tasa proporcional a su valor. Esta tasa con la cual la población está decreciendo permanece constante, pero a medida que la población continúa decreciendo, la disminución general se hace menos y menos inclinada.

El decrecimiento exponencial puede ser modelado con la fórmula $latex N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}$, en donde $latex N$ es la cantidad final, $latex N_{0}$ es la cantidad inicial, $latex \lambda$ es la constante de decrecimiento y $latex t$ es el tiempo.

grafica de decrecimiento exponencial

EJEMPLO

El número de miligramos de un fármaco en el cuerpo de una persona después de t horas está dado por la función exponencial $latex F=20e^{-0.4t}$.

a) Encuentra la cantidad del fármaco después de 2 horas.

Solución: Para resolver el problema, usamos $latex t=2$ en la función dada:

$latex F=20e^{-0.4(2)}=20e^{-0.8}=8.987$

Después de 2 horas, quedan 8 987 miligramos de fármaco en el cuerpo.

b) Encuentra la cantidad de fármaco después de 5 horas.

Solución: Usamos $latex t=5$ en la función dada:

$latex F=20e^{-0.4(5)}=20e^{-2}=2.707$

Después de 5 horas, quedan 2 707 miligramos de fármaco en el cuerpo.

c) ¿Cuándo será la cantidad de fármaco en el cuerpo 1 miligramo?

Solución: Necesitamos usar $latex F=1$ y resolver para el tiempo:

$latex 1=20e^{-0.4t}$

$latex 0.05=e^{-0.4t}$

$latex \ln (0.05)=\ln e^{-0.4t}$

$latex \ln (0.05)=-0.4t$

$latex \frac{\ln (0.05)}{-0.4}= t$

$latex 7.49=t$

Entonces, después de aproximadamente 7 horas y 30 minutos, la cantidad de fármaco que queda en el cuerpo es 1 miligramo.


3. Interés compuesto

El interés compuesto es una aplicación de las funciones exponenciales que es encontrada comúnmente en nuestro día a día. El interés es generalmente una cuota cobrada por el préstamo de dinero. Existen dos tipos de interés: simple y compuesto.

En el interés simple, el interés es acumulado solo en el principal o la cantidad inicial. Esto significa que la cantidad de interés ganada en cada periodo es la misma, ya que el interés es ganado sobre la cantidad inicial que no ha sido cambiada.

En el interés compuesto, el interés es acumulado tanto en la cantidad inicial como en el interés ganado previamente. Por esta razón, si es que todas las otras condiciones son las mismas, el interés compuesto crece a una tasa más rápida que el interés simple. La cantidad de interés ganada crece en cada periodo.

La fórmula para el interés compuesto es $latex A=C\left(1+\frac{r}{n} \right)^{nt}$, en donde A representa la cantidad de dinero después de un periodo de tiempo, C representa la cantidad inicial de dinero, r representa la tasa de interés escrita en decimal, n es el número de veces que el interés es compuesto en un año y t es la cantidad de tiempo en años.

aplicaciones de las funciones exponenciales

EJEMPLO

a) Imagina que inviertes 1000 dólares en una cuenta de ahorros. La tasa promedio de interés es 5% y es compuesta 4 veces al año. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta de ahorros después de 10 años?

Solución: Usamos la fórmula $latex A=C\left(1+\frac{r}{n} \right)^{nt}$ y reemplazamos $latex C=1000$, $latex r=0.05$, $latex n=4$ y $latex t=10$.

$$A=1000\left(1+\frac{0.005}{4} \right)^{4(10)}=1643.6$$

b) Ahora imagina que inviertes los mismos 1000 dólares en una cuenta que te ofrece un 7% de interés compuesto mensualmente. ¿Cuánto dinero tendrás después de 10 años?

Solución: Ahora usamos la fórmula con los datos: $latex C=1000$, $latex r=0.07$, $latex n=12$ y $latex t=10$.

$$A=1000\left(1+\frac{0.007}{12} \right)^{12(10)}=2009.7$$


Véase también

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