Tipos de Funciones Algebraicas y sus Gráficas

Existen varios tipos de funciones algebraicas que presentan diferentes características que las hacen únicas. Muchas de estas funciones algebraicas pueden ser identificadas al visualizar su gráfica.

En este artículo, conoceremos los tipos de funciones algebraicas y sus gráficas junto con algunas de sus características más importantes.

ÁLGEBRA
tipos de funciones algebraicas y sus gráficas

Relevante para

Visualizar las gráficas de los diferentes tipos de funciones.

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¿Qué son las funciones?

Una función es una relación entre un conjunto de entradas y un conjunto de salidas con la propiedad de que cada entrada está relacionada con exactamente una salida. Supongamos que tenemos los conjuntos P y Q, mapear de P a Q será una función sólo cuando cada elemento en el conjunto P tenga un solo elemento del conjunto Q asignado.

tipos de funciones algebraicas y sus graficas

Condiciones para una función

Los conjuntos P y Q no deben ser vacíos.

En una función, una entrada particular es dada para obtener una salida particular.

Una función f: P→Q denota que f es una función de P a Q, en donde P es el dominio y Q es el rango.

Prueba de la línea vertical: La prueba de la línea vertical es usada para determinar si es que la curva representa a una función o no. Para que la gráfica sea una función, cualquier línea vertical trazada debe cruzar a la gráfica en un solo punto.

Si es que es posible trazar una línea vertical que cruce a la gráfica en dos o más de dos puntos, la gráfica no es una función.

grafica que falla la prueba de la linea vertical

Representación de funciones

Las funciones generalmente son representadas como $latex f(x)$.

Si es que tenemos la función $latex f(x)={{x}^3}$, leímos esto como f de x es igual a x al cubo.

Ten en cuenta que podemos usar cualquier letra del abecedario tanto minúscula como mayúscula para representar a las funciones y sus variables. Por ejemplo, las siguientes también son representaciones válidas de funciones:

$latex g(t),  h(x), f(s)$


¿Cuáles son los tipos de funciones algebraicas?

Los siguientes son los tipos de funciones algebraicas más importantes:

  • Función polinómica
  • Función constante
  • Función lineal
  • Función cuadrática
  • Función cúbica
  • Función identidad
  • Función racional
  • Función inversa
  • Función exponencial
  • Función logarítmica
  • Funciones trigonométricas
  • Funciones pares e impares
  • Funciones definidas a trozos
  • Función inyectiva
  • Función sobreyectiva
  • Función biyectiva
  • Función valor absoluto

Tipos de funciones algebraicas y sus gráficas

Función polinómica

Una función polinómica es una función que es un polinomio como

$latex f(x)=a{{x}^3}+b{{x}^2}+cx+d$

El dominio de las funciones polinómicas es todos los números reales. Estas funciones son continuas en todo su dominio.

La potencia más alta en la expresión es conocida como el grado de la función polinómica. Por ejemplo, la siguiente gráfica representa a una función polinómica de tercer grado:

grafica de funcion polinomica

Función constante

La función constante es una función polinómica de cero grado, en donde tenemos $latex f(x)=f(0)=c$. Sin importar cuál sea el valor de entrada, la función siempre resulta en el mismo valor constante.

grafica de funcion constante

Función lineal

Todas las funciones de la forma $latex f(x)=ax+b$, en donde a y b son números reales y a es diferente de cero, son funciones lineales. La gráfica de estas funciones siempre será una línea recta. Esto significa que la función lineal es una función polinómica de primer grado:

grafica de funcion lineal

Función cuadrática

Todas las funciones que tienen la forma $latex f(x)=a{{x}^2}+bx+c$, en donde a, b y c son números reales y a es diferente de cero, son funciones cuadráticas. Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado, por lo que su gráfica es una parábola:

grafica de funcion cuadratica

Función cúbica

Similar a las funciones polinómicas anteriores, la función cúbica tiene la forma $latex f(x)=a{{x}^3}+b{{x}^2}+cx+d$, en donde a, b, c y d son números reales y a es diferente de cero. Esta función es una función polinómica de tercer grado:

grafica de funcion cubica

Función identidad

Una función identidad es una función en la que la imagen de cualquier elemento es ese mismo elemento: $latex f(x)=x$.

La función identidad es una función lineal de pendiente $latex m=1$ que pasa por el punto (0, 0). Esta función divide al primer y al tercer cuadrante en partes iguales:

grafica de funcion identidad

Función racional

Las funciones racionales son funciones que son representadas como fracciones de dos polinomios, $latex f(x)=\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$, en donde el cociente es irreducible y Q(x) es diferente de cero. El dominio de una función racional son todos los números reales excepto los números que hacen que el denominador sea igual a cero.

grafica de funcion racional

Función inversa

Una función inversa es una función que revierte el efecto de la función original. Por ejemplo, si es que la función original multiplica por 3, la función inversa divide por 3 y si es que la función original multiplica por 3 y luego suma 4, entonces, la función inversa resta 4 y luego divide por 3. La siguiente es la gráfica de la función $latex f(x)={{x}^3}$ y de su inversa:

grafica de funcion inversa

Función exponencial

Las funciones exponenciales son funciones que tienen a la variable como el exponente de una base. Estas funciones tienen la forma general $latex f(x)={{b}^x}$, en donde b es la base de la función exponencial.

grafica de funcion exponencial

Función logarítmica

Una función logarítmica está formada por un logaritmo con base b. En su forma más simple, la función logarítmica tiene la forma $latex f(x)={{\log }_{b}}\left( x \right)$.

grafica de funcion logaritmica

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones que son obtenidas de diferentes relaciones de los tres lados de un triángulo rectángulo. Las seis funciones trigonométricas principales son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

Seno: El seno de un ángulo es definido como la razón entre el lado opuesto (O) y la hipotenusa (H). $latex \sin (\theta) =\frac{O}{H}$.

grafica del seno

Coseno: El coseno de un ángulo es definido como la razón entre el lado adyacente (O) y la hipotenusa (H). $latex \cos (\theta) =\frac{A}{H}$.

grafica del coseno

Tangente: La tangente de un ángulo es definida como la razón entre el lado opuesto (O) y el lado adyacente (A). $latex \tan (\theta) =\frac{O}{A}$.

grafica de la tangente

Cosecante: La cosecante es la razón trigonométrica recíproca del seno. La cosecante  es definida como la razón entre la hipotenusa (H) y el lado opuesto (H). $latex \csc (\theta) =\frac{H}{O}$.

grafica de la cosecante

Secante: La secante es la razón trigonométrica recíproca del coseno. La cosecante es definida como la razón entre la hipotenusa (H) y el lado adyacente. $latex \sec (\theta) =\frac{H}{A}$.

grafica de la secante

Cotangente: La cotangente es la razón trigonométrica recíproca de la tangente. La cotangente es definida como la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto (O). $latex \cot (\theta) =\frac{A}{O}$.

grafica de la cotangente

Funciones pares e impares

Si es que tenemos que $latex f(x)=f(-x)$, entonces la función será par. La función par es simétrica con respecto al eje y.

grafica de funcion par

Si es que tenemos que $latex -f(x)=f(x)$, entonces la función será impar. La función impar es simétrica con respecto al origen.

grafica de funcion impar

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos o también conocidas como funciones por partes, son funciones que tienen diferentes expresiones dependiendo del intervalo en el que se encuentra la variable independiente.

grafica de funcion definida a trozos o por partes

Función valor absoluto

La función valor absoluto produce que las salidas de la función sean siempre positivas. En su forma más simple, la función valor absoluto tiene la forma $latex f(x)=\left| x \right|$. Esta función forma una gráfica con forma de V.

grafica de funcion valor absoluto

Función inyectiva

La función inyectiva es una función en la que cada elemento del conjunto final (Y) tiene un único elemento del conjunto inicial (X). Estas funciones también son conocidas como uno a uno.

grafica de funcion inyectiva y no inyectiva

Función sobreyectiva

Una función sobreyectiva es una función en la que todos los elementos del conjunto final (Y) tienen por lo menos un elemento del conjunto inicial (X) que le corresponde.

grafica de funcion sobreyectiva y no sobreyectiva

Función biyectiva

Una función biyectiva es una función que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

grafica de funciones biyectiva y no biyectiva

Véase también

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