El interés es el precio de usar dinero. El banco te lo paga cuando ahorras y tú lo pagas cuando pides prestado. La forma de calcularlo decide si $1000 se convierten en $1500 o en $1628.89 después de diez años, con la misma tasa de 5%.
Hay dos métodos. El interés simple se calcula siempre sobre el capital inicial. El interés compuesto también genera intereses sobre los intereses que ya se sumaron. Aquí encuentras las dos fórmulas, una gráfica que puedes mover para ver cómo se abre la diferencia, la razón por la que capitalizar más seguido ayuda poco y la regla del 72, un atajo para estimar cuánto tarda el dinero en duplicarse. Es una explicación matemática, no asesoría financiera.
Términos básicos
- Capital (C): la cantidad inicial.
- Tasa (i): la tasa anual escrita como decimal. El 5% es $latex 0.05$.
- Tiempo (t): el número de años.
- Monto (M): el total al final, capital más intereses.
- Interés (I): $latex I = M - C$.
Las unidades deben coincidir. Si la tasa es anual, el tiempo va en años: seis meses son $latex t = 0.5$.
Fórmula del interés simple
El interés simple se calcula solo sobre el capital, así que cada año gana la misma cantidad.
$latex I = C\,i\,t \qquad M = C(1 + it)$
Con una tasa de 5%, $1000 ganan $50 cada año. En 10 años son $500 de interés y el monto es $1500. El saldo sube en línea recta porque cada año se suma lo mismo. Es una sucesión aritmética.
Fórmula del interés compuesto
En el interés compuesto, los intereses se suman al saldo al final de cada periodo, y los del periodo siguiente se calculan sobre el saldo más grande.
$latex M = C\left(1 + \frac{i}{n}\right)^{nt}$
- $latex n$ es el número de periodos de capitalización por año: 1 si es anual, 2 semestral, 4 trimestral, 12 mensual, 365 diaria.
- $latex i/n$ es la tasa de un periodo.
- $latex nt$ es el número total de periodos.
Con capitalización anual $latex n = 1$ y la fórmula queda $latex M = C(1+i)^t$. El saldo se multiplica cada año por el mismo factor $latex 1+i$, así que forma una sucesión geométrica. Esta tabla compara los dos métodos con $1000 al 5% anual:
| Año | Interés simple | Interés compuesto (anual) |
|---|---|---|
| 1 | $1050.00 | $1050.00 |
| 2 | $1100.00 | $1102.50 |
| 3 | $1150.00 | $1157.63 |
| 5 | $1250.00 | $1276.28 |
| 10 | $1500.00 | $1628.89 |
| 20 | $2000.00 | $2653.30 |
| 30 | $2500.00 | $4321.94 |
El primer año es idéntico. Después, el saldo compuesto se adelanta, porque los intereses de cada año se calculan sobre una cifra mayor.
La carrera entre los dos métodos
Mueve los controles. Con una tasa muy baja las líneas casi se juntan en una sola. Sube la tasa y los años y la zona sombreada crece: esa diferencia son intereses ganados por intereses. Las barras debajo de la gráfica muestran qué cambia cuando la misma tasa se capitaliza con más frecuencia.
Carrera: interés simple contra interés compuesto
Cambia los datos y mira cómo se abre la diferencia. Pulsa Carrera para repetir la animación.
Interés ganado según la frecuencia de capitalización
Por qué importa la frecuencia de capitalización (y por qué deja de importar)
Capitalizar más seguido suma los intereses al saldo más pronto, y esos intereses empiezan a ganar más pronto. El efecto existe, pero es pequeño. Estos son $1000 al 6% durante 10 años:
| Capitalización | Monto después de 10 años |
|---|---|
| Anual (n = 1) | $1790.85 |
| Semestral (n = 2) | $1806.11 |
| Trimestral (n = 4) | $1814.02 |
| Mensual (n = 12) | $1819.40 |
| Diaria (n = 365) | $1822.03 |
| Continua | $1822.12 |
Pasar de anual a mensual agrega $28.55. Pasar de mensual a diaria agrega apenas $2.63. Las cifras se amontonan hacia un límite, porque $latex \left(1+\frac{i}{n}\right)^{n}$ se acerca a $latex e^{i}$ cuando $latex n$ crece. Ese límite se llama capitalización continua:
$latex M = Ce^{it}$
Para comparar cuentas que capitalizan distinto, convierte cada una a su tasa efectiva anual, $latex \left(1+\frac{i}{n}\right)^{n}-1$. Una tasa de 6% capitalizada mensualmente tiene una tasa efectiva anual de 6.17%, un poco más que el 6% que dice la etiqueta. Usa la Calculadora de interés compuesto para probar tus propios números.
La regla del 72
Para estimar cuánto tarda el dinero en duplicarse, divide 72 entre la tasa anual escrita como porcentaje:
$latex \text{años para duplicar} \approx \frac{72}{\text{tasa en porcentaje}}$
Con 8% la estimación es $latex 72 \div 8 = 9$ años. La respuesta exacta sale de resolver $latex C(1+i)^t = 2C$:
$latex t = \frac{\ln 2}{\ln(1+i)}$
Con 8% son 9.006 años, así que el atajo se equivoca por unos días. La Calculadora de logaritmos calcula los logaritmos, y el artículo sobre aplicaciones de los logaritmos muestra de dónde sale esta fórmula.
¿Por qué 72? Para tasas pequeñas, $latex \ln(1+i)$ se parece a $latex i$ y $latex \ln 2 \approx 0.693$, lo que da 69.3 entre la tasa. Se usa 72 porque ajusta mejor con las tasas típicas de 6% a 10% y se divide exacto entre 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 12. Así se comparan los dos resultados, con una curva que puedes recorrer:
| Tasa | Años exactos para duplicar | 72 ÷ tasa |
|---|---|---|
| 2% | 35.00 | 36.00 |
| 4% | 17.67 | 18.00 |
| 6% | 11.90 | 12.00 |
| 8% | 9.01 | 9.00 |
| 9% | 8.04 | 8.00 |
| 12% | 6.12 | 6.00 |
| 18% | 4.19 | 4.00 |
| 24% | 3.22 | 3.00 |
La regla del 72 contra el tiempo exacto de duplicación
Mueve la tasa. La curva continua es exacta; la punteada es 72 dividido entre la tasa.
El atajo funciona mejor entre 6% y 10%. Con tasas muy altas subestima el tiempo (24% da 3.00 años con la regla y 3.22 exactos). Escribe siempre la tasa como número de porcentaje: 8 y no 0.08.
Ejemplos resueltos
EJEMPLO 1
Calcula el interés y el monto de $2000 al 5% de interés simple durante 3 años.
Usa $latex I = Cit$: $latex I = 2000 \times 0.05 \times 3 = 300$.
El monto es $latex M = 2000 + 300 = 2300$. El interés es $300 y el monto es $2300.
EJEMPLO 2
El mismo dinero, pero con capitalización anual: $2000 al 5% durante 3 años.
$latex M = 2000(1+0.05)^3 = 2000 \times 1.157625 = 2315.25$.
El interés es $315.25, es decir, $15.25 más que con interés simple sobre el mismo dinero. La diferencia es pequeña a los 3 años y crece rápido después.
EJEMPLO 3
Calcula el monto de $5000 al 6% anual capitalizado mensualmente durante 2 años.
Aquí $latex n = 12$, así que la tasa mensual es $latex 0.06/12 = 0.005$ y el número de periodos es $latex nt = 24$.
$latex M = 5000(1+0.005)^{24} = 5635.8$. El monto es $5635.80.
EJEMPLO 4
¿Cuánto tarda el dinero en duplicarse al 8% con capitalización anual?
Resuelve $latex 1.08^t = 2$. Con logaritmos, $latex t = \ln 2 / \ln 1.08 = 9.006$.
Tarda unos 9 años. La regla del 72 da $latex 72/8 = 9$, muy cerca.
Errores comunes
- Escribir la tasa como número entero. En las fórmulas usa 0.05, no 5. La regla del 72 es el único lugar donde se usa 5.
- Mezclar unidades de tiempo. Una tasa mensual pide t en meses. Una tasa anual pide t en años.
- Confundir n con t. El exponente es $latex nt$, el número de periodos, no solo t.
- Olvidar restar el capital. Las fórmulas de $latex M$ dan el total. El interés es $latex M - C$.
- Redondear demasiado pronto. Conserva todos los decimales de $latex (1+i/n)$ hasta el último paso.
- Esperar que capitalizar a diario sea una gran mejora. Después de la capitalización mensual, las ganancias son mínimas.
Ejercicios resueltos
EJERCICIO 1
Calcula el interés y el monto de $1500 al 4% de interés simple durante 5 años.
Solución
$latex I = 1500 \times 0.04 \times 5 = 300$, así que el interés es $300 y el monto es $latex 1500 + 300 = 1800$, o sea $1800.
EJERCICIO 2
¿Cuántos años necesitan $800 al 3% de interés simple para ganar $120 de interés?
Solución
De $latex I = Cit$ sale $latex t = \frac{I}{Ci} = \frac{120}{800 \times 0.03} = 5$. Necesitan 5 años.
EJERCICIO 3
Calcula el monto de $3000 al 7% con capitalización anual durante 4 años.
Solución
$latex M = 3000(1.07)^4 = 3000 \times 1.31079601 = 3932.39$. El monto es $3932.39.
EJERCICIO 4
Calcula el monto de $2500 al 8% anual capitalizado trimestralmente durante 3 años.
Solución
$latex n = 4$, $latex nt = 12$ y la tasa trimestral es $latex 0.08/4 = 0.02$. Entonces $latex M = 2500(1.02)^{12} = 3170.6$. El monto es $3170.60.
EJERCICIO 5
(a) Usa la regla del 72 para estimar el tiempo de duplicación al 6%. (b) ¿Qué tasa anual duplica el dinero en 9 años? Compara con los valores exactos.
Solución
(a) $latex 72/6 = 12$ años. Exacto: $latex \ln 2/\ln 1.06 = 11.9$ años.
(b) La regla da $latex 72/9 = 8$%. Exacto: $latex 1+i = 2^{1/9}$, de donde $latex i = 0.0801$, cerca de 8.01%.
EJERCICIO 6
Compara $10 000 al 6% durante 30 años con interés simple y con capitalización anual.
Solución
Simple: $latex M = 10000(1 + 0.06 \times 30) = 28\,000$. Compuesto: $latex M = 10000(1.06)^{30} = 57\,434.91$.
El resultado compuesto es $57 434.91, más del doble de los $28 000 del interés simple.
Preguntas frecuentes
¿Qué conviene más, interés simple o compuesto?
Cuando ganas intereses, conviene el compuesto, porque después del primer periodo siempre paga más. Cuando pagas intereses por un préstamo, esa misma propiedad juega en tu contra. Revisa qué método usa el contrato.
¿Capitalizar a diario es mucho mejor que hacerlo mensual?
No. En la tabla de arriba, pasar de mensual a diaria agrega $2.63 sobre $1000 en diez años. El salto que cuenta es el primero, de anual a varias veces al año.
¿La regla del 72 es exacta?
No, es una estimación que funciona mejor con tasas de 6% a 10%. Para una respuesta exacta usa $latex t = \ln 2/\ln(1+i)$.
¿Y si deposito una cantidad cada mes?
Eso sigue otra fórmula, que suma una serie geométrica. Esta página trata un solo depósito que se deja quieto.
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