Las dos sucesiones más simples con las que podemos trabajar son las sucesiones aritméticas y geométricas. En este artículo, exploraremos estas sucesiones y aprenderemos a escribir términos tanto de sucesiones aritméticas como de sucesiones geométricas.

También aprenderemos a resolver ejercicios con estas sucesiones.

ÁLGEBRA
ejercicios de sucesiones aritméticas

Relevante para

Resolver problemas con sucesiones aritméticas y geométricas.

Ver ejemplos

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ejercicios de sucesiones aritméticas

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Sucesiones aritméticas

Una sucesión aritmética es una lista de números con un patrón definido. Si es que tomamos un número de la sucesión y luego lo restamos por el número previo y el resultado siempre es el mismo, entonces es una sucesión aritmética.

La diferencia constante en todos los pares de números consecutivos en una sucesión es llamada la diferencia común, denotada por la letra d. Usamos la diferencia común para ir de un término al otro. Si es que tomamos un término en la sucesión y sumamos la diferencia común, nos moveremos al siguiente término. Así es como los términos en una sucesión aritmética son generados.

Si es que la diferencia común entre los términos es positiva, decimos que la sucesión está incrementando. Por otro lado, cuando la diferencia entre los términos es negativa, decimos que la sucesión está decreciendo.

Los siguientes son dos ejemplos de sucesiones aritméticas. Observa sus diferencias comunes.

sucesiones aritméticas y geométricas

Fórmula de la sucesión aritmética

Si es que queremos encontrar cualquier término (conocido como el término n) en la sucesión aritmética, podemos usar la fórmula de la sucesión aritmética para lograr esto. Lo único que tenemos que hacer es extraer o identificar valores del problema que serán sustituidos en la fórmula.

Veamos las partes esenciales de la fórmula:

fórmula de sucesión aritmética

en donde tenemos:

{{a}_{n}}= término que queremos encontrar

{{a}_{1}}= primer término en la lista ordenada de números

n= la posición del término, por ejemplo, 5 para el quinto término

d= la diferencia común de cualquier par de términos consecutivos


Ejemplos de sucesiones aritméticas

EJEMPLO 1

Encuentra el siguiente término en la siguiente sucesión:

4, 7, 10, 13, 16, ?

Solución: Primero, encontramos la diferencia común en cada par de números consecutivos:

  • 7-4=3
  • 10-7=3
  • 13-10=3
  • 16-13=3

Dado que d=3, podemos encontrar el término que sigue después del 16 simplemente sumando 3. Entonces, tenemos 16+3=19.

4, 7, 10, 13, 16, 19

EJEMPLO 2

Encuentra el siguiente término en la siguiente sucesión:

29, 22, 15, 8,  ?

Solución: Primero, encontramos la diferencia común en cada par de números consecutivos:

  • 22-29=-7
  • 15-22=-7
  • 8-15=-7

Dado que d=-7, podemos encontrar el término que sigue después del 8 simplemente sumando -7. Entonces, tenemos 8+(-7)=1.

29, 22, 15, 8, 1

EJEMPLO 3

Encuentra el término 20 en la siguiente sucesión aritmética:

3, 6, 9, 12, …

Solución: Necesitamos tres cosas para encontrar el término 20 usando la fórmula:

  • El primer término ({{a}_{1}})
  • La diferencia común entre términos consecutivos (d)
  • La posición del término (n)

Entonces tenemos: 

  • primer término={{a}_{1}}=3
  • diferencia común =d=3
  • posición del término =n=20

y sustituimos los valores en la fórmula: 

{{a}_{n}}={{a}_{1}}+(n-1)d

{{a}_{20}}=3+(20-1)3

{{a}_{20}}=3+(19)3

{{a}_{20}}=3+57

{{a}_{20}}=60

EJEMPLO 4

Encuentra el término 15 en la siguiente sucesión aritmética:

25, 21, 17, 13, …

Solución: Necesitamos tres cosas para encontrar el término 15 usando la fórmula:

  • El primer término ({{a}_{1}})
  • La diferencia común entre términos consecutivos (d)
  • La posición del término (n)

Entonces tenemos: 

  • primer término={{a}_{1}}=25
  • diferencia común =d=-4
  • posición del término =n=15

y sustituimos los valores en la fórmula: 

{{a}_{n}}={{a}_{1}}+(n-1)d

{{a}_{15}}=25+(15-1)(-4)

{{a}_{15}}=25+(14)(-4)

{{a}_{15}}=25-56

{{a}_{15}}=-31

EJEMPLO 5

Encuentra el término 22 en la siguiente sucesión aritmética:

5, 11, 17, 23, …

Solución: Necesitamos tres cosas para encontrar el término 22 usando la fórmula:

  • El primer término ({{a}_{1}})
  • La diferencia común entre términos consecutivos (d)
  • La posición del término (n)

Entonces tenemos: 

  • primer término={{a}_{1}}=5
  • diferencia común =d=6
  • posición del término =n=22

y sustituimos los valores en la fórmula: 

{{a}_{n}}={{a}_{1}}+(n-1)d

{{a}_{22}}=5+(22-1)6

{{a}_{22}}=5+(21)6

{{a}_{22}}=5+126

{{a}_{22}}=131

Inténtalo tú mismo – Resuelve los ejercicios

Encuentra el siguiente término en la sucesión: 42, 37, 32, 27, ?.

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Encuentra el término 15 en la sucesión: 4, 8, 12, 16, …

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Sucesiones geométricas

Una sucesión geométrica es una sucesión de números que sigue un patrón en donde el siguiente término es encontrado al multiplicar por una constante llamada la razón común r.

Similar a las sucesiones aritméticas, las sucesiones geométricas también pueden incrementar o decrecer. Sin embargo, en las sucesiones geométricas, esto depende en si la razón común es mayor a 1 o menor a 1:

sucesiones aritméticas y geométricas

Fórmula de la sucesión geométrica

Si es que queremos encontrar cualquier término (conocido como el término n) en la sucesión geométrica, podemos usar la fórmula de la sucesión geométrica para lograr esto. Sólo necesitamos extraer la información necesaria del problema para reemplazarla en la fórmula.

Las siguientes son las partes esenciales de la fórmula:

fórmula de sucesiones geométricas

en donde tenemos:

{{a}_{n}}= término que queremos encontrar

{{a}_{1}}= primer término en la sucesión

n= la posición del término, por ejemplo, 4 para el cuarto término

r= la razón común 

La razón común puede ser calculada al dividir un término por el término previo:

r=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{a}_{{n-1}}}}}


Ejemplos de sucesiones geométricas

EJEMPLO 1

Encuentra el siguiente término en la siguiente sucesión:

5, 15, 45, 135,  ?

Solución: Primero, encontramos la razón común en cada par de números consecutivos:

  • r=\frac{15}{5}=3
  • r=\frac{45}{15}=3
  • r=\frac{135}{45}=3

Dado que r=3, podemos encontrar el término que sigue después del 135 simplemente multiplicando por 3. Entonces, tenemos 135(3)=405.

5, 15, 45, 135, 405

EJEMPLO 2

Encuentra el siguiente término en la siguiente sucesión:

4, -20, 100, -500, 2500,  ?

Solución: Primero, encontramos la razón común en cada par de números consecutivos:

  • r=\frac{-20}{4}=-5
  • r=\frac{100}{-20}=-5
  • r=\frac{-500}{100}=-5
  • r=\frac{2500}{-500}=-5

Dado que r=-5, podemos encontrar el término que sigue después del 2500 simplemente multiplicando por -5. Entonces, tenemos 2500(-5)=-12500.

4, -20, 100, -500, 2500, -12500

EJEMPLO 3

Encuentra el siguiente término en la siguiente sucesión:

-80, 40, -20, 10,  ?

Solución: Primero, encontramos la razón común en cada par de números consecutivos:

  • r=\frac{40}{-80}=-0.5
  • r=\frac{-20}{40}=-0.5
  • r=\frac{10}{-20}=-0.5

Dado que r=-0.5, podemos encontrar el término que sigue después del 10 simplemente multiplicando por -0.5. Entonces, tenemos 10(-0.5)=-5.

-80, 40, -20, 10, -5

EJEMPLO 4

Encuentra el término 10 en la siguiente sucesión geométrica:

2, 4, 8, 16, …

Solución: Necesitamos tres cosas para encontrar el término 10 usando la fórmula:

  • El primer término ({{a}_{1}})
  • La razón común entre términos consecutivos (r)
  • La posición del término (n)

Entonces tenemos: 

  • primer término={{a}_{1}}=2
  • razón común =r=\frac{4}{2}=2
  • posición del término =n=10

y sustituimos los valores en la fórmula: 

{{a}_{n}}={{a}_{1}}\left( {{{r}^{{n-1}}}} \right)

{{a}_{10}}=2\left( {{{2}^{{10-1}}}} \right)

{{a}_{10}}=2\left( {{{2}^{{9}}}} \right)

{{a}_{10}}=2(512)

{{a}_{10}}=1024

EJEMPLO 5

Encuentra el término 6 en la siguiente sucesión geométrica:

3, 12, 48, 192, …

Solución: Necesitamos tres cosas para encontrar el término 6 usando la fórmula:

  • El primer término ({{a}_{1}})
  • La razón común entre términos consecutivos (r)
  • La posición del término (n)

Entonces tenemos: 

  • primer término={{a}_{1}}=3
  • razón común =r=\frac{12}{3}=4
  • posición del término =n=6

y sustituimos los valores en la fórmula: 

{{a}_{n}}={{a}_{1}}\left( {{{r}^{{n-1}}}} \right)

{{a}_{6}}=3\left( {{{4}^{{6-1}}}} \right)

{{a}_{6}}=3\left( {{{4}^{{5}}}} \right)

{{a}_{6}}=3(1024)

{{a}_{6}}=3072

EJEMPLO 6

Encuentra el término 6 en la siguiente sucesión geométrica:

-2400, 1200, -600, 300, …

Solución: Necesitamos tres cosas para encontrar el término 6 usando la fórmula:

  • El primer término ({{a}_{1}})
  • La razón común entre términos consecutivos (r)
  • La posición del término (n)

Entonces tenemos: 

  • primer término={{a}_{1}}=-2400
  • razón común =r=\frac{1200}{-2400}=-0.5
  • posición del término =n=6

y sustituimos los valores en la fórmula: 

{{a}_{n}}={{a}_{1}}\left( {{{r}^{{n-1}}}} \right)

{{a}_{6}}=-2400\left( {{{-0.5}^{{6-1}}}} \right)

{{a}_{6}}=-2400\left( {{{-0.5}^{{5}}}} \right)

{{a}_{6}}=-2400(-0.03125)

{{a}_{6}}=75

Inténtalo tú mismo – Resuelve los ejercicios

Encuentra el siguiente término en la sucesión: 3, -6, 12, -24, ?.

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Encuentra el término 10 en la sucesión: 4, 12, 36, 108, …

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