Diferencia de Cuadrados – Fórmula y Ejemplos

Cuando aprendemos a factorizar, usualmente exploramos fórmulas importantes al mismo tiempo. Una de estas fórmulas es la diferencia de cuadrados. El teorema de la diferencia de cuadrados nos dice que si es que tenemos una expresión de la forma a²-b², esto es equivalente a (a+b)(ab).

En este artículo, aprenderemos qué es la diferencia de cuadrados, miraremos cómo factorizar usando esta fórmula y veremos ejemplos resueltos para entender los conceptos.

ÁLGEBRA
ejercicios de diferencia de cuadrados

Relevante para

Aprender a resolver ejercicios con diferencia de cuadrados.

Ver fórmula

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¿Qué es la diferencia de cuadrados?

La diferencia de dos cuadrados es un teorema que nos dice si es que una ecuación cuadrática puede ser escrita como un producto de dos binomios, en donde uno muestra la diferencia de las raíces cuadradas y el otro muestra la suma de las raíces cuadradas.

Una diferencia de cuadrados es algo que se ve como $latex {{x}^{2}}-4$. Esto es debido a que $latex {{2}^{2}}=4$, por lo que en realidad tenemos $latex {{x}^{2}}-{{2}^{2}}$, algo que es una diferencia de cuadrados.


Diferencia de cuadrados fórmula

La fórmula de la diferencia de cuadrados es una forma algebraica que es usada para expresar la diferencia entre dos valores elevados al cuadrado. Una diferencia de cuadrados es expresada en la forma:

$latex {{a}^{2}}-{{b}^{2}}$

en donde el primero y el último términos son cuadrados perfectos.

Factorizando la diferencia de cuadrados, tenemos: 

$latex {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a+b)(a-b)$

Esto es verdadero debido a que $$(a+b)(a-b)={{a}^{2}}+ab-ab-{{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$$


¿Cómo factorizar la diferencia de cuadrados?

Los siguientes son los pasos requeridos para factorizar una diferencia de cuadrados:

Paso 1: Decide si es que los términos tienen algo en común, llamado como el mayor factor común. Si es que es así, factoriza ese factor común y no olvides incluirlo en la respuesta final.

Paso 2: Todos los problemas de diferencia de cuadrados pueden ser factorizados de la siguiente manera: $latex {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a+b)(a-b)$. Entonces, todo lo que tenemos que hacer es determinar los números cuadrados que producirán los resultados deseados.

Paso 3: Determina si es que los factores restantes pueden ser factorizados aún más.


Ejemplos resueltos

Los siguientes ejemplos siguen el proceso indicado arriba para factorizar la diferencia de cuadrados:

EJEMPLO 1

Factoriza $latex {{x}^{2}}-9$.

Paso 1: Decide si es que los términos tienen algo en común: no tienen nada en común.

Paso 2: Para factorizar el problema en la forma $latex (a+b)(a-b)$ necesitamos determinar el valor que tenemos que elevar al cuadrado para obtener $latex {{x}^{2}}$ y el valor que tenemos que elevar al cuadrado para obtener $latex 9$. En este caso, tenemos x y 3 ya que $latex (x)(x)={{x}^{2}}$ y $latex (3)(3)=9$.

$latex (x+3)(x-3)$

Paso 3: Determina si es que los factores sobrantes pueden ser factorizados: en este caso no.

EJEMPLO 2

Factoriza $latex 4{{x}^{2}}-49$.

Paso 1: Decide si es que los términos tienen algo en común: no tienen nada en común.

Paso 2: Para factorizar el problema en la forma $latex (a+b)(a-b)$ necesitamos determinar el valor que tenemos que elevar al cuadrado para obtener $latex {{x}^{2}}$ y el valor que tenemos que elevar al cuadrado para obtener $latex 49$. En este caso, tenemos x y 7 ya que $latex (x)(x)={{x}^{2}}$ y $latex (7)(7)=49$.

$latex (x+7)(x-7)$

Paso 3: Determina si es que los factores sobrantes pueden ser factorizados: en este caso no.

EJEMPLO 3

Factoriza $latex 18{{x}^{2}}-98$.

Paso 1: Decide si es que los términos tienen algo en común: tienen en común el 2: 

$latex 2(9{{x}^{2}}-49)$

Paso 2: Para factorizar el problema en la forma $latex (a+b)(a-b)$ necesitamos determinar el valor que tenemos que elevar al cuadrado para obtener $latex 9{{x}^{2}}$ y el valor que tenemos que elevar al cuadrado para obtener $latex 49$. En este caso, tenemos 3x y 7 ya que $latex (3x)(3x)=3{{x}^{2}}$ y $latex (7)(7)=49$.

$latex 2(3x+7)(3x-7)$

Paso 3: Determina si es que los factores sobrantes pueden ser factorizados: en este caso no.

EJEMPLO 4

Factoriza $latex 4{{x}^{2}}-64$.

Paso 1: Decide si es que los términos tienen algo en común: tienen el 4 en común.

$latex 4({{x}^{2}}-16)$

Paso 2: Para factorizar el problema en la forma $latex (a+b)(a-b)$ necesitamos determinar el valor que tenemos que elevar al cuadrado para obtener $latex {{x}^{2}}$ y el valor que tenemos que elevar al cuadrado para obtener $latex 16$. En este caso, tenemos x y 4 ya que $latex (x)(x)={{x}^{2}}$ y $latex (4)(4)=16$.

$latex 4(x+4)(x-4)$

Paso 3: Determina si es que los factores sobrantes pueden ser factorizados: en este caso no.

EJEMPLO 5

Factoriza $latex 16{{x}^{4}}-1$.

Paso 1: Decide si es que los términos tienen algo en común: no tienen nada en común.

Paso 2: Para factorizar el problema en la forma $latex (a+b)(a-b)$ necesitamos determinar el valor que tenemos que elevar al cuadrado para obtener $latex 16{{x}^{4}}$ y el valor que tenemos que elevar al cuadrado para obtener $latex 1$.

En este caso, tenemos $latex 4{{x}^{2}}$ y 1 ya que $latex (4{{x}^{2}})(4{{x}^{2}})=16{{x}^{4}}$ y $latex (1)(1)=1$.

$latex (4{{x}^{2}}+1)(4{{x}^{2}}-1)$

Paso 3: Determina si es que los factores sobrantes pueden ser factorizados: en este caso uno de los factores es una diferencia de cuadrados, por lo que podemos factorizarlo: necesitamos determinar el valor que tenemos que elevar al cuadrado para obtener $latex 4{{x}^{2}}$ y el valor que tenemos que elevar al cuadrado para obtener $latex 1$.

En este caso, tenemos $latex 2x$ y 1 ya que $latex (2x)(2x)=4{{x}^{2}}$ y $latex (1)(1)=1$.

$latex (4{{x}^{2}}+1)(2x+1)(2x-1)$

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Inténtalo tú mismo – Resuelve los siguientes ejercicios

Factoriza la expresión $latex -3{{x}^2}+12$.

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Factoriza la expresión $latex 81{{x}^2}-25$.

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¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a $latex 4x^2-25y^2$?

Escoge una respuesta






Encuentra la expresión que es igual a $latex 18x^4-32$.

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