Las ecuaciones lineales son las ecuaciones que producen gráficas que son lineales, es decir, sus gráficas son líneas rectas. En este artículo, exploraremos más a detalle estas ecuaciones.
Empezaremos conociendo qué son las ecuaciones lineales en general, para luego mirar las diferentes formas en las que pueden ser escritas. Exploraremos la forma pendiente-intercepto, la forma punto-pendiente y la forma estándar.
¿Qué son las ecuaciones lineales?
Las ecuaciones lineales son ecuaciones de primer orden. Estas ecuaciones están definidas por líneas en el plano cartesiano. Una ecuación para una línea recta es llamada una ecuación lineal. Todas las variables en las ecuaciones lineales tienen un orden máximo de 1.
Ejemplo: la ecuación $latex y=x+2$ es lineal:
Los siguientes son ejemplos de ecuaciones lineales con 1 variable, con 2 variables y con 3 variables:
EJEMPLOS
Ecuaciones lineales con una variable:
- $latex 2x+4=17$
- $latex 3x=24$
- $latex \frac{1}{2}x+2=10$
Ecuaciones lineales con dos variables:
- $latex x+3y=15$
- $latex y=3x-12$
- $latex \frac{1}{3}x+2y=5$
Ecuaciones lineales con tres variables:
- $latex x+2y-2z=10$
- $latex 2a+4b-c=8$
- $latex \frac{1}{2}x+2y=3z-4$
Formas de ecuaciones lineales
Hay varias formas diferentes de escribir ecuaciones lineales, pero por lo general, las ecuaciones tienen constantes (como 2 o c) y deben contener únicamente variables simples (como “x” o “y”).
EJEMPLOS
Estas son ecuaciones lineales:
- $latex y=2x-4$
- $latex y-5=2(x-1)$
- $latex y+3x-5=0$
- $latex 3x=24$
- $latex \frac{y}{3}=12$
Sin embargo, ten en cuenta que las ecuaciones lineales no deben contener variables (como la “x” o “y”) con exponentes, raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc.
EJEMPLOS
Estas no son ecuaciones lineales:
- $latex {{y}^{2}}+3=9$
- $latex {{y}^{2}}+3=9$
- $latex \frac{{{{x}^{2}}}}{4}=20$
Forma pendiente-intercepto de ecuaciones lineales
La forma pendiente-intercepto es la más común en ecuaciones lineales. Esta forma es representada de la siguiente manera:
La línea que tenemos arriba representa a la ecuación $latex y=2x+1$. En esta ecuación:
- la pendiente es $latex m=2$.
- el intercepto en y es 1.
Pendiente
La pendiente de la línea es igual a la tasa de variación de $latex y$ sobre la tasa de variación de $latex x$. La pendiente puede ser evaluada de la siguiente manera:
$latex m=\frac{{\left( {{{y}_{2}}-{{y}_{1}}} \right)}}{{\left( {{{x}_{2}}-{{x}_{1}}} \right)}}$
Básicamente, la pendiente indica la inclinación de la línea en el plano.
Forma punto-pendiente de ecuaciones lineales
Otra forma común para las ecuaciones lineales es la forma punto-pendiente. En esta forma, la ecuación de la ecuación lineal es formada considerando los puntos en el plano cartesiano:
Un ejemplo de esta forma es la ecuación $latex y-3=\frac{1}{2}\left( {x-2} \right)$, en donde:
- $latex {{y}_{1}}=3$
- $latex {{x}_{1}}=2$
- $latex m=\frac{1}{2}$
Forma estándar de ecuaciones lineales
La forma estándar de una ecuación lineal con dos variables es representada como
$latex Ax+By+C=0$
en donde A≠0, B≠0 y $latex x$ y $latex y$ son las variables.
EJEMPLOS
La ecuación $latex 2x+4y+5=0$ está en la forma estándar y tenemos:
- A=2
- B=4
- C=5
Preguntas frecuentes
¿Qué son las ecuaciones lineales?
Las ecuaciones lineales son las ecuaciones para líneas rectas. Las ecuaciones para líneas en el plano cartesiano son ecuaciones lineales.
¿Cuáles son las tres formas principales de las ecuaciones lineales?
Las tres formas principales de las ecuaciones lineales son forma punto-pendiente, forma pendiente-intercepto y forma estándar.
¿Cómo expresamos la forma estándar de ecuaciones lineales?
La forma estándar de ecuaciones lineales está dada por $latex Ax+By+C=0$.
¿Cuál es la forma pendiente- intercepto de ecuaciones lineales?
La forma pendiente-intercepto está dada por $latex y=mx+b$. En donde $latex m$ es la pendiente y $latex b$ es el intercepto en $latex y$.
¿Cuál es la diferencia entre ecuaciones lineales y ecuaciones no-lineales?
Una ecuación lineal corresponde a líneas rectas.
Una ecuación no-lineal no forma una línea recta. Podría ser una curva, oscilaciones u otros.
Véase también
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Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
