Sucesiones Geométricas – Ejercicios Resueltos

Primero, tenemos que encontrar la razón común de la sucesión geométrica. Para esto, dividimos a un término por el término previo:

• $latex \frac{32}{16}=2$
• $latex \frac{16}{8}=2$
• $latex \frac{8}{4}=2$

Entonces, la razón común es 2. Para encontrar el siguiente término, multiplicamos al último término por la razón común: $latex 32 \times 2=64$.

Empezamos encontrando la razón común de la sucesión geométrica. Entonces, dividimos a cada término por su término previo:

• $latex \frac{375}{75}=5$
• $latex \frac{75}{15}=5$
• $latex \frac{15}{3}=5$

Vemos que la razón común es 5. Encontramos el siguiente término al multiplicar al último término por la razón común: $latex 375 \times 5=1875$.

Nuevamente, empezamos encontrando la razón común en la sucesión:

• $latex \frac{6}{12}=0.5$
• $latex \frac{12}{24}=0.5$
• $latex \frac{24}{48}=0.5$

En este caso, vemos que la razón común está entre 0 y 1, por lo que la sucesión es decreciente. El siguiente término en la sucesión geométrica es $latex 6 \times 0.5=3$.

Tenemos los siguientes valores:

• Primer término: $latex a_{1}=3$
• Razón común: $latex r=2$
• Posición del término: $latex n=6$

Entonces, podemos usar la fórmula de sucesiones geométricas con los valores dados:

$latex a_{n}=a_{1}(r^{n-1})$

$latex a_{6}=3(2^{6-1})$

$latex a_{6}=3(2^{5})$

$latex a_{6}=5(32)$

$latex a_{6}=160$

En este caso, tenemos que usar la fórmula de sucesiones geométricas $latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$. Entonces, tenemos que identificar el primer término, la razón común y la posición del término:

• Primer término: $latex a_{1}=5$
• Razón común: $latex r=3$
• Posición del término: $latex n=12$

Ahora, reemplazamos estos datos en la fórmula:

$latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$

$latex a_{12}=5({{3}^{12-1}})$

$latex a_{12}=5({{3}^{11}})$

$latex a_{12}=5(177147)$

$latex a_{12}=885 735$

Vemos que obtuvimos un número muy grande. Las sucesiones geométricas tienden a crecer rápidamente dependiendo en la razón común.

Nuevamente, empezamos identificando al primer término, la razón común y la posición del término para usar con la fórmula:

• Primer término: $latex a_{1}=8$
• Razón común: $latex r=4$
• Posición del término: $latex n=8$

Ahora, usamos la fórmula con esos valores:

$latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$

$latex a_{8}=8({{4}^{8-1}})$

$latex a_{8}=8({{4}^{7}})$

$latex a_{8}=8(16384)$

$latex a_{8}=131072$

En este caso, tenemos una sucesión geométrica decreciente por lo que esperamos que la razón común se encuentre entre 0 y 1:

• Primer término: $latex a_{1}=168$
• Razón común: $latex r=0.5$
• Posición del término: $latex n=10$

Usamos la fórmula para encontrar el término 10:

$latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$

$latex a_{10}=168({{0.5}^{10-1}})$

$latex a_{10}=168({{0.5}^{9}})$

$latex a_{10}=168(0.001953)$

$latex a_{10}=0.328$

Similar al ejercicio anterior, aquí tenemos una sucesión geométrica decreciente por lo que la razón común debe estar entre 0 y 1:

• Primer término: $latex a_{1}=540$
• Razón común: $latex r=\frac{1}{3}$
• Posición del término: $latex n=7$

Usamos estos valores para reemplazar en la fórmula:

$latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$

$latex a_{7}=540({{\left( \frac{1}{3}\right)}^{7-1}})$

$latex a_{7}=540({{\left( \frac{1}{3}\right)}^{6}})$

$latex a_{7}=540(0.0013717)$

$latex a_{7}=0.7407$

En este caso, no conocemos ni el valor del primer término, ni la razón común. Sin embargo, podemos empezar formando las siguientes ecuaciones:

$latex a_{4}=a_{1}(r^{4-1})$

$latex 16=a_{1}(r^{3})~~~[1]$

$latex a_{7}=a_{1}(r^{7-1})$

$latex 128=a_{1}(r^{6})~~~[2]$

Si es que dividimos a la ecuación 2 por la 1, tenemos:

$$\frac{128}{16}=\frac{a_{1}(r^{6})}{a_{1}(r^{3})$$

$latex 8=r^{3}$

$latex r=2$

Si es que consideramos al término 7 como el término 1, el término 11 ahora es el término 5:

• Primer término: $latex a_{1}=128$
• Razón común: $latex r=2$
• Posición del término: $latex n=5$

Usando estos valores en la fórmula, tenemos:

$latex a_{n}=a_{1}(r^{n-1})$

$latex a_{5}=128(2^{5-1})$

$latex a_{5}=128(2^4)$

$latex a_{5}=128(16)$

$latex a_{5}=2048$

Entonces, el término 11 de la sucesión dada es 2048.

Similar al ejercicio anterior, podemos encontrar la razón común al formar las siguientes ecuaciones:

$latex a_{3}=a_{1}(r^{3-1})$

$latex 256=a_{1}(r^{2})~~~[1]$

$latex a_{8}=a_{1}(r^{8-1})$

$latex -8=a_{1}(r^{7})~~~[2]$

Ahora las dividimos para obtener:

$$\frac{-8}{256}=\frac{a_{1}(r^{7})}{a_{1}(r^{2})$$

$$-\frac{1}{32}=r^{5}$$

$$r=-\frac{1}{2}$$

Considerando al término 8 como el primer término, el término 14 corresponde al término 7. Entonces:

• Primer término: $latex a_{1}=-8$
• Razón común: $latex r=-\frac{1}{2}$
• Posición del término: $latex n=7$

Usando la fórmula, tenemos:

$latex a_{n}=a_{1}(r^{n-1})$

$$a_{7}=-8(-\frac{1}{2}^{7-1})$$

$$a_{7}=-8(-\frac{1}{2}^6)$$

$$a_{7}=-8(\frac{1}{64})$$

$$a_{7}=-\frac{1}{8}$$

Entonces, el término 14 de la sucesión dada es $latex -\frac{1}{8}$.