Sucesiones Geométricas – Ejercicios Resueltos

Las sucesiones geométricas se caracterizan por tener una razón común, la cual es multiplicada por el último término para encontrar el siguiente término. Es posible encontrar cualquier término en una sucesión geométrica usando una fórmula.

A continuación, miraremos un resumen sobre las sucesiones geométricas y conoceremos su fórmula. Además, veremos varios ejercicios resueltos y ejercicios para resolver y practicar estos conceptos.

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ejercicios de sucesiones geometricas

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Resumen de sucesiones geométricas

Las sucesiones geométricas son sucesiones en las que el siguiente número en la sucesión es encontrando al multiplicar el término previo por un número llamado la razón común. La razón común es denotada por la letra r.

Dependiendo en la razón común, la sucesión geométrica puede ser creciente o decreciente. Si es que la razón común es mayor que 1, la sucesión es creciente y si es que la razón común se encuentra entre 0 y 1, la sucesión es decreciente:

ejercicios de sucesiones geométricas

Podemos encontrar cualquier número en la sucesión geométrica usando la fórmula de la sucesión geométrica:

fórmula de sucesiones geométricas

Podemos encontrar la razón común al dividir un término por el término previo:

$latex r=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$


Ejercicios de sucesiones geométricas resueltos

EJERCICIO 1

Encuentra el siguiente término en la sucesión geométrica: 4, 8, 16, 32, ?.

Primero, tenemos que encontrar la razón común de la sucesión geométrica. Para esto, dividimos a un término por el término previo:

  • $latex \frac{32}{16}=2$
  • $latex \frac{16}{8}=2$
  • $latex \frac{8}{4}=2$

Entonces, la razón común es 2. Para encontrar el siguiente término, multiplicamos al último término por la razón común: $latex 32 \times 2=64$.

EJERCICIO 2

¿Cuál es el siguiente término en la sucesión geométrica? 3, 15, 75, 375, ?.

Empezamos encontrando la razón común de la sucesión geométrica. Entonces, dividimos a cada término por su término previo:

  • $latex \frac{375}{75}=5$
  • $latex \frac{75}{15}=5$
  • $latex \frac{15}{3}=5$

Vemos que la razón común es 5. Encontramos el siguiente término al multiplicar al último término por la razón común: $latex 375 \times 5=1875$.

EJERCICIO 3

Determina el siguiente término en la sucesión geométrica: 48, 24, 12, 6, ?.

Nuevamente, empezamos encontrando la razón común en la sucesión:

  • $latex \frac{6}{12}=0.5$
  • $latex \frac{12}{24}=0.5$
  • $latex \frac{24}{48}=0.5$

En este caso, vemos que la razón común está entre 0 y 1, por lo que la sucesión es decreciente. El siguiente término en la sucesión geométrica es $latex 6 \times 0.5=3$.

EJERCICIO 4

¿Cuál es el valor del término 6 de una sucesión geométrica en donde el primer término es 3 y la razón común es 2?

Tenemos los siguientes valores:

  • Primer término: $latex a_{1}=3$
  • Razón común: $latex r=2$
  • Posición del término: $latex n=6$

Entonces, podemos usar la fórmula de sucesiones geométricas con los valores dados:

$latex a_{n}=a_{1}(r^{n-1})$

$latex a_{6}=3(2^{6-1})$

$latex a_{6}=3(2^{5})$

$latex a_{6}=5(32)$

$latex a_{6}=160$

EJERCICIO 5

Encuentra el término 12 en la sucesión geométrica: 5, 15, 45, 135, …

En este caso, tenemos que usar la fórmula de sucesiones geométricas $latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$. Entonces, tenemos que identificar el primer término, la razón común y la posición del término:

  • Primer término: $latex a_{1}=5$
  • Razón común: $latex r=3$
  • Posición del término: $latex n=12$

Ahora, reemplazamos estos datos en la fórmula:

$latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$

$latex a_{12}=5({{3}^{12-1}})$

$latex a_{12}=5({{3}^{11}})$

$latex a_{12}=5(177147)$

$latex a_{12}=885 735$

Vemos que obtuvimos un número muy grande. Las sucesiones geométricas tienden a crecer rápidamente dependiendo en la razón común.

EJERCICIO 6

Encuentra el término 8 en la sucesión geométrica 8, 32, 128, 512, …

Nuevamente, empezamos identificando al primer término, la razón común y la posición del término para usar con la fórmula:

  • Primer término: $latex a_{1}=8$
  • Razón común: $latex r=4$
  • Posición del término: $latex n=8$

Ahora, usamos la fórmula con esos valores:

$latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$

$latex a_{8}=8({{4}^{8-1}})$

$latex a_{8}=8({{4}^{7}})$

$latex a_{8}=8(16384)$

$latex a_{8}=131072$

EJERCICIO 7

Encuentra el término 10 en la sucesión geométrica: 168, 84, 42, 21, …

En este caso, tenemos una sucesión geométrica decreciente por lo que esperamos que la razón común se encuentre entre 0 y 1:

  • Primer término: $latex a_{1}=168$
  • Razón común: $latex r=0.5$
  • Posición del término: $latex n=10$

Usamos la fórmula para encontrar el término 10:

$latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$

$latex a_{10}=168({{0.5}^{10-1}})$

$latex a_{10}=168({{0.5}^{9}})$

$latex a_{10}=168(0.001953)$

$latex a_{10}=0.328$

EJERCICIO 8

Encuentra el término 7 en la sucesión geométrica: 540, 180, 60, 20, …

Similar al ejercicio anterior, aquí tenemos una sucesión geométrica decreciente por lo que la razón común debe estar entre 0 y 1:

  • Primer término: $latex a_{1}=540$
  • Razón común: $latex r=\frac{1}{3}$
  • Posición del término: $latex n=7$

Usamos estos valores para reemplazar en la fórmula:

$latex a_{n}=a_{1}({{r}^{n-1}})$

$latex a_{7}=540({{\left( \frac{1}{3}\right)}^{7-1}})$

$latex a_{7}=540({{\left( \frac{1}{3}\right)}^{6}})$

$latex a_{7}=540(0.0013717)$

$latex a_{7}=0.7407$

EJERCICIO 9

Si es que el término 4 de una sucesión geométrica es 16 y el término 7 es 128, ¿cuál es el término 11?

En este caso, no conocemos ni el valor del primer término, ni la razón común. Sin embargo, podemos empezar formando las siguientes ecuaciones:

$latex a_{4}=a_{1}(r^{4-1})$

$latex 16=a_{1}(r^{3})~~~[1]$

$latex a_{7}=a_{1}(r^{7-1})$

$latex 128=a_{1}(r^{6})~~~[2]$

Si es que dividimos a la ecuación 2 por la 1, tenemos:

$$\frac{128}{16}=\frac{a_{1}(r^{6})}{a_{1}(r^{3})$$

$latex 8=r^{3}$

$latex r=2$

Si es que consideramos al término 7 como el término 1, el término 11 ahora es el término 5:

  • Primer término: $latex a_{1}=128$
  • Razón común: $latex r=2$
  • Posición del término: $latex n=5$

Usando estos valores en la fórmula, tenemos:

$latex a_{n}=a_{1}(r^{n-1})$

$latex a_{5}=128(2^{5-1})$

$latex a_{5}=128(2^4)$

$latex a_{5}=128(16)$

$latex a_{5}=2048$

Entonces, el término 11 de la sucesión dada es 2048.

EJERCICIO 10

Una sucesión geométrica tiene un término 3 igual a 256 y un término 8 igual a -8. ¿Cuál es el valor del término 14?

Similar al ejercicio anterior, podemos encontrar la razón común al formar las siguientes ecuaciones:

$latex a_{3}=a_{1}(r^{3-1})$

$latex 256=a_{1}(r^{2})~~~[1]$

$latex a_{8}=a_{1}(r^{8-1})$

$latex -8=a_{1}(r^{7})~~~[2]$

Ahora las dividimos para obtener:

$$\frac{-8}{256}=\frac{a_{1}(r^{7})}{a_{1}(r^{2})$$

$$-\frac{1}{32}=r^{5}$$

$$r=-\frac{1}{2}$$

Considerando al término 8 como el primer término, el término 14 corresponde al término 7. Entonces:

  • Primer término: $latex a_{1}=-8$
  • Razón común: $latex r=-\frac{1}{2}$
  • Posición del término: $latex n=7$

Usando la fórmula, tenemos:

$latex a_{n}=a_{1}(r^{n-1})$

$$a_{7}=-8(-\frac{1}{2}^{7-1})$$

$$a_{7}=-8(-\frac{1}{2}^6)$$

$$a_{7}=-8(\frac{1}{64})$$

$$a_{7}=-\frac{1}{8}$$

Entonces, el término 14 de la sucesión dada es $latex -\frac{1}{8}$.


Ejercicios de sucesiones geométricas para resolver

Práctica de sucesiones geométricas
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En una sucesión geométrica, el término 4 es 135 y el término 7 es 3645. ¿Cuál es el valor del término 15?

Escribe la respuesta en la casilla.

$latex a_{15}=$


Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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