El dominio de las funciones exponenciales es igual a todos los números reales, ya que no tenemos restricciones con los valores que x puede tomar. El rango de las funciones exponenciales es igual a los valores encima o debajo de la asíntota horizontal.

A continuación, veremos detalladamente cómo encontrar el dominio y el rango de funciones exponenciales. También, veremos varios ejemplos con las gráficas de las funciones para ilustrar estas ideas.

ÁLGEBRA
dominio y rango de funciones exponenciales

Relevante para

Aprender sobre el dominio y el rango de funciones exponenciales.

Ver ejemplos

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dominio y rango de funciones exponenciales

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Aprender sobre el dominio y el rango de funciones exponenciales.

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¿Cómo encontrar el dominio y el rango de funciones exponenciales?

Recordemos que el dominio es el conjunto de los valores de entrada que son usados para la variable independiente.

También, recordemos que el rango es el conjunto de todos los valores de salida para la variable dependiente.

Para cualquier función exponencial con la forma general f(x)=a{{b}^x}, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Es decir, tenemos:

-\infty <x<\infty

Para cualquier función exponencial con la forma general f(x)=a{{b}^x}, el rango es el conjunto de todos los números reales encima o debajo de la asíntota horizontal, y=d. El rango no incluye al valor de la asíntota, d. Es decir, tenemos:

Si es que a>0, f(x)>d

Si es que a<0, f(x)<d


Ejemplos de dominio y rango de funciones exponenciales

EJEMPLO 1

Una función exponencial simple como f(x)={{2}^x} tiene un dominio igual a todos los números reales. Sin embargo, su rango es igual a solo los números positivos, en donde, y>0.

Es decir, la función f(x) nunca toma un valor negativo. Además, la función nunca alcanza el valor de 0 a pesar de que se acerca mucho a medida que x tiende a infinito negativo.

grafica de funcion exponencial

EJEMPLO 2

Podemos reemplazar a x con –x en la función del ejemplo anterior para obtener la función g(x)={{2}^{-x}}. Vemos que la gráfica fue reflejada con respecto al eje y.

Sin embargo, el dominio y el rango no cambian. El dominio es igual a todos los números reales. Y el rango es igual a solo los números positivos, en donde, y>0.

grafica de funcion exponencial

EJEMPLO 3

Si es que ahora podemos un signo negativo en frente de la función, tenemos h(x)=-{{2}^x}. En este caso, la gráfica es reflejada con respecto al eje x. El dominio sigue siendo todos los números reales de x.

Sin embargo, el rango ahora es todos los números negativos, en donde, y<0.

grafica de funcion exponencial

EJEMPLO 4

Encuentra el dominio y el rango de la función f(x)={{2}^{x+3}}

grafica de funcion exponencial

Solución: La gráfica de esta función es simplemente la gráfica de f(x)={{2}^x} trasladada 3 unidades hacia la izquierda.

La función está definida para todos los números reales, por lo que el dominio de la función es el conjunto de los números reales.

A medida que x tiende a infinito, la función también tiende a infinito y a medida que x tiende a infinito negativo, la función se acerca al eje x, pero nunca lo toca.

Entonces, el rango es el conjunto de todos los números reales  \{y\in R|y>0\}.

EJEMPLO 5

¿Cuál es el dominio y el rango de la función f(x)=1.5({{2}^x}})+3?

grafica de funcion exponencial

Solución: Esta función también está definida para todos los números reales. Entonces, el dominio de la función es el conjunto de los números reales.

Vemos que en este caso d=3. Esto significa que la asíntota horizontal es igual a y=3 y la función tiene un rango que es igual a todos los números reales mayores que 3.

Entonces, el rango es el conjunto de todos los números reales  \{y\in R|y>3\}.

EJEMPLO 6

¿Cuál es el dominio y el rango de la función f(x)=-{{3}^x}}-1?

grafica de funcion exponencial

Solución: La función puede tomar cualquier valor de x como entradaEsto significa que el dominio es el conjunto de todos los números reales.

La función solo tiene valores negativos de y. Además, vemos que tenemos d=-1, por lo que la asíntota horizontal es igual a y=-1. Entonces, el rango es todos los valores menores que -1.

El rango es el conjunto de todos los números reales  \{y\in R|y<-1\}.


Véase también

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