Ejercicios de Funciones Exponenciales Resueltos

Para evaluar cualquier función, simplemente tenemos que usar la entrada dada. Entonces, tenemos:

$latex f(-2)={{2}^{-2}}$

$latex =\frac{1}{{{2}^2}}$

$latex =\frac{1}{4}$

Para graficar una función, podemos usar varios valores de x para encontrar puntos que se ubiquen en la gráfica. Sabemos que todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1), por lo que ya tenemos un punto.

Adicionalmente, podemos usar los valores $latex x=-1$, $latex x=-2$, $latex x=1$ y $latex x=2$:

• Cuando $latex x=-1$, tenemos $latex f(-1)={{2}^{-1}}=\frac{1}{2}$.
• Cuando $latex x=-2$, tenemos $latex f(-2)={{2}^{-2}}=\frac{1}{4}$.
• Cuando $latex x=1$, tenemos $latex f(1)={{2}^1}=2$.
• Cuando $latex x=2$, tenemos $latex f(2)={{2}^2}=4$.

Trazando estos puntos y graficando la curva, tenemos lo siguiente:

Este es un ejemplo del uso de funciones exponenciales para modelar el crecimiento poblacional. Tenemos la función $latex A=10000({{e}^{0.005t}})$ y tenemos el tiempo $latex t=10$. Reemplazando $latex t=10$, tenemos:

$latex A=10000({{e}^{0.005(10)}})$

$latex =10000({{e}^{0.05}})$

$latex =10000(1.0513)$

$latex =10513$

Entonces, la población de la región después de 10 años será 10513.

Sabemos que la función exponencial que modela al crecimiento poblacional tiene la forma general $latex P=N({{e}^{\lambda t}})$, en donde N es la población inicial, λ es una constante y t es el tiempo.

Tenemos que encontrar la constante λ con la información dada. Entonces, tenemos:

$latex P=N({{e}^{\lambda t}})$

$latex 20000=10000({{e}^{20 \lambda}})$

$latex \frac{20000}{10000}={{e}^{20 \lambda}}$

$latex 2={{e}^{20 \lambda}}$

$latex \ln(2)=20 \lambda$

$latex \frac{\ln(2)}{20}=\lambda$

$latex 0.0347=\lambda$

La fórmula que modela este crecimiento poblacional es $latex P=10000({{e}^{0.0347 t}})$.

Con la información dada, podemos completar la fórmula de crecimiento poblacional:

$latex P=N({{e}^{0.1234t}})$

$latex 37500=12500({{e}^{0.1234t}})$

 Ahora, resolvemos para el tiempo:

$latex 37500=12500({{e}^{0.1234t}})$

$latex \frac{37500}{12500}=({{e}^{0.1234t}})$

$latex 3=({{e}^{0.1234t}})$

$latex \ln(3)=0.1234t$

$latex \frac{\ln(3)}{0.1234}=t$

$latex 8.9=t$

Esto significa que la población llegará a 37500 en 1959.

La función exponencial usada para calcular el dinero con interés compuesto es $latex D=A{{(1+\frac{r}{n})}^{nt}}$, en donde, D es la cantidad de dinero final, A es la cantidad de dinero inicial, r es la tasa de interés en decimales, n es el número de veces que el interés es compuesto al año y t es el tiempo en años.

Usando los datos dados, tenemos:

$latex D=10000{{(1+\frac{0.075}{4})}^{4(10)}}$

$latex D=10000{{(1.01875)}^{40}}$

$latex D=21023.5$

Entonces, después de 10 años, habrá 21023.5 dólares en la cuenta.

Podemos usar los dato dados para formar la función exponencial de interés compuesto:

$latex D=A{{(1+\frac{r}{n})}^{nt}}$

$latex 10000=2000{{(1+\frac{0.07}{4})}^{4t}}$

$latex 10000=2000{{(1.0175)}^{4t}}$

$latex \frac{10000}{2000}={{(1.0175)}^{4t}}$

$latex 5={{(1.0175)}^{4t}}$

$latex \ln(5)=\ln({{(1.0175)}^{4t}})$

$latex \ln(5)=4t\ln(1.0175)$

$latex \frac{\ln(5)}{\ln(1.0175)}=4t$

$latex \frac{99.77}{4}=t$

$latex 23.2=t$

Entonces, después de 23.2 años, habrá 10000 dólares en la cuenta.