El promedio simple trata a todos los valores como igual de importantes. Eso falla cuando unos pesan más que otros: un examen final que vale 40% del curso importa más que una tarea que vale 10%, y una materia de 8 créditos mueve más tu promedio que una de 2. El promedio ponderado le da a cada valor un peso que dice cuánto cuenta.
La fórmula
Multiplica cada valor por su peso, suma los resultados y divide entre la suma de los pesos:
$$ \bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} $$
Los pesos pueden ser porcentajes, créditos, horas, kilogramos o cualquier número positivo. Si son porcentajes que suman 100, la división entre 100 ya viene incluida y basta sumar los productos.
Ejemplo 1: calificación de un curso. Las tareas valen 10% de la calificación, los quizzes 20%, el parcial 30% y el proyecto 40%. Tus notas son 95, 80, 62 y 88.
$$ \frac{95(10) + 80(20) + 62(30) + 88(40)}{10 + 20 + 30 + 40} $$
$$ = \frac{7930}{100} = 79.3 $$
El promedio simple de las cuatro notas es 81.25, que exagera el resultado porque el parcial, con una nota baja, pesa mucho.
El promedio ponderado es un sube y baja
Imagina una barra marcada de 0 a 100. Pon un círculo en cada calificación, con un tamaño que corresponde a su peso. El promedio ponderado es el punto donde la barra se equilibra sobre un apoyo. Los círculos grandes jalan el punto de equilibrio hacia ellos. Cambia una calificación o mueve un peso, y luego marca la casilla para pasar el apoyo al promedio simple y ver cómo se inclina la barra.
Cada círculo es una calificación y su tamaño es su peso. El promedio ponderado es el punto donde la barra se equilibra. Cambia una calificación o mueve un peso.
| Parte | Calif. | Peso | Puntos |
|---|
Créditos y promedio general
Los créditos son pesos. En un semestre llevas Cálculo (8 créditos, calificación 8.5), Física (6 créditos, 9), Historia (4 créditos, 7) e Inglés (2 créditos, 10).
$$ \text{promedio} = \frac{8(8.5) + 6(9) + 4(7) + 2(10)}{8 + 6 + 4 + 2} $$
$$ = \frac{170}{20} = 8.5 $$
El promedio simple de las cuatro calificaciones es 8.63. El promedio con créditos es menor porque Historia y Cálculo, que pesan más créditos juntas, tienen las notas más bajas.
¿Cuánto necesito en el examen final?
Supón que tu trabajo calificado hasta ahora promedia c y el final vale una fracción w del curso. El resto del trabajo vale $latex 1 - w$. Para terminar con una calificación meta T:
$$ c(1 - w) + x\,w = T \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{T - c(1 - w)}{w} $$
Ejemplo 2. Llevas 82 de promedio en todo menos el final, que vale 30%. Quieres 85 en el curso.
$$ x = \frac{85 - 82(0.70)}{0.30} = \frac{85 - 57.4}{0.30} = 92 $$
Necesitas 92 en el final. Ahora prueba con una meta de 95: $latex x = \frac{95 - 57.4}{0.30} \approx 125.33$. Eso pasa de 100, así que 95 no se alcanza. Incluso un final perfecto da $latex 57.4 + 30 = 87.4$.
Ejemplo 3: cuando tienes las partes y no un promedio. Tareas (15%) 90, parcial (35%) 76 y proyecto (20%) 84, con un final que vale 30%. Puntos ganados hasta ahora:
$$ 0.15(90) + 0.35(76) + 0.20(84) = 56.9 $$
Para sacar 80:
$$ x = \frac{80 - 56.9}{0.30} = 77 $$
Necesitas 77 en el final. Restar los puntos que ya tienes y dividir entre el peso del final funciona siempre.
Promedios ponderados fuera de la escuela
Siempre que se combinan cantidades de distinto tamaño, el promedio es ponderado. Una tienda mezcla 3 kg de café a $10 el kilo con 2 kg a $15 el kilo. El precio de la mezcla no es $12.50, el promedio simple de 10 y 15. Es
$$ \frac{3(10) + 2(15)}{3 + 2} = \frac{60}{5} = 12 $$
pesos por kilo, más cerca de 10 porque hay más café barato. La misma idea da el costo promedio de acciones compradas a distintos precios y la concentración promedio de una mezcla.
Errores comunes
- Usar el promedio simple. Sumar las notas y dividir entre cuántas son ignora los pesos.
- Olvidar dividir entre la suma de los pesos. El numerador solo no es un promedio, salvo que los pesos ya sumen 1.
- Mezclar porcentajes con decimales. Usa 30 con un total de 100, o 0.30 con un total de 1, pero no 30 con un total de 1.
- Dividir entre el peso equivocado en el final. Para hallar la nota del final se divide solo entre el peso del final, después de restar los puntos ya ganados.
- Promediar porcentajes de totales distintos. Un 90% en un quiz de 10 puntos y un 60% en un examen de 100 no aportan igual, a menos que el curso lo diga.
Ejercicios para practicar
Problema 1
Tres exámenes dan 70, 85 y 90, con pesos de 25%, 35% y 40%. ¿Cuál es el promedio ponderado?
Respuesta
$$ 0.25(70) + 0.35(85) + 0.40(90) = 17.5 + 29.75 + 36 = 83.25 $$
Respuesta: 83.25.
Problema 2
Una alumna cursa una materia de 3 créditos con 90, una de 4 créditos con 80 y una de 1 crédito con 100. ¿Cuál es el promedio ponderado?
Respuesta
$$ \frac{3(90) + 4(80) + 1(100)}{3 + 4 + 1} = \frac{690}{8} = 86.25 $$
Respuesta: 86.25.
Problema 3
Tu promedio antes del final es 78. El final vale 40%. ¿Qué nota necesitas para sacar 80 en el curso?
Respuesta
$$ x = \frac{80 - 78(0.60)}{0.40} = \frac{80 - 46.8}{0.40} = 83 $$
Respuesta: 83.
Problema 4
Tu promedio antes del final es 70 y el final vale 20%. ¿Todavía puedes terminar con 85?
Respuesta
$$ x = \frac{85 - 70(0.80)}{0.20} = \frac{85 - 56}{0.20} = 145 $$
Respuesta: no. Harían falta 145 en el final. Un final perfecto da como máximo $latex 56 + 20 = 76$.
Problema 5
Una panadería usa 6 kg de harina a $4.50 el kilo y 4 kg a $7.25 el kilo. ¿Cuál es el precio promedio por kilo?
Respuesta
$$ \frac{6(4.50) + 4(7.25)}{10} = \frac{27 + 29}{10} = 5.6 $$
Respuesta: $5.6 por kilo.
Problema 6
Las calificaciones 60, 80 y 100 tienen pesos 2, 3 y 5 (no son porcentajes). ¿Cuál es el promedio ponderado?
Respuesta
$$ \frac{2(60) + 3(80) + 5(100)}{2 + 3 + 5} = \frac{860}{10} = 86 $$
Respuesta: 86.
Preguntas frecuentes
¿Los pesos tienen que sumar 100?
No. Funciona cualquier peso positivo, porque la fórmula divide entre su suma. Pesos de 2, 3 y 5 se comportan igual que 20%, 30% y 50%.
¿Cuándo el promedio ponderado es igual al simple?
Cuando todos los pesos son iguales. Entonces se cancelan y queda la media común.
¿Puede salir un promedio ponderado mayor que la nota más alta?
No. Siempre queda entre el valor más bajo y el más alto, porque es una mezcla de ellos.
¿Cómo incluyo una tarea que no entregué?
Un cero cuenta como cualquier otra calificación con su peso. Si el curso la descarta, quítala y divide solo entre los pesos restantes.
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