La media, la mediana y la moda intentan responder lo mismo: ¿cuál es un valor típico de estos datos? Pueden dar respuestas muy distintas, y elegir la equivocada puede confundir. Aquí vemos cómo se calcula cada una, a qué es sensible y cómo escoger el resumen correcto para tus datos.
Cómo se calcula cada una
Media
La media (el promedio de siempre) suma todos los valores y divide entre cuántos son:
$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} $$
Mediana
Ordena los valores de menor a mayor. La mediana es el que queda en medio. Si la cantidad de valores es par, es la media de los dos centrales. La mitad de los datos queda en la mediana o debajo de ella, y la otra mitad en la mediana o arriba.
Moda
La moda es el valor que más se repite. Un conjunto de datos puede tener una moda, varias, o ninguna cuando no se repite ningún valor.
Ejemplo 1. Siete tiempos de traslado en minutos: 12, 15, 11, 15, 18, 15, 14. Ordenados: 11, 12, 14, 15, 15, 15, 18.
$$ \text{media} = \frac{100}{7} \approx 14.29 $$
$$ \text{mediana} = 15 $$
$$ \text{moda} = 15 $$
La mediana es el cuarto de siete valores ordenados, y el 15 aparece tres veces, así que es la moda.
Ejemplo 2. Seis valores: 4, 8, 6, 5, 3, 7. Ordenados: 3, 4, 5, 6, 7, 8. Con seis valores la mediana es la media del tercero y el cuarto: $latex \frac{5 + 6}{2} = 5.5$. La media es $latex \frac{33}{6} = 5.5$. Ningún valor se repite, así que no hay moda.
Mueve los datos y mira los resúmenes
En la gráfica cada punto es un dato. La línea punteada es la mediana, el triángulo naranja es la media (el punto donde los datos se equilibrarían sobre una regla) y los puntos naranjas marcan la moda. Arrastra un punto y luego presiona varias veces el botón del valor atípico.
Arrastra un punto hacia los lados, haz clic en la gráfica para agregar uno, o enfoca un punto y usa las flechas del teclado. Los puntos naranjas son la moda. Prueba el botón del valor atípico.
Con los datos iniciales la media es 4.3 y la mediana es 4. Al agregar un valor de 20, la media sube a 5.73 y la mediana se queda en 4. La media reacciona a todos los valores, también a los extremos. A la mediana solo le importa el orden.
¿Cuál conviene usar?
| Situación | Mejor resumen | Por qué |
|---|---|---|
| Datos más o menos simétricos, sin valores extremos | Media | Usa todos los valores y coincide con la mediana |
| Datos sesgados: sueldos, precios de casas, tiempos de espera | Mediana | Unos cuantos valores enormes no la alejan del caso típico |
| Categorías o conteos: talla de zapato, color favorito, producto más vendido | Moda | No se puede promediar un color, pero sí encontrar el más común |
| Necesitas un total: costo de n piezas, horas totales | Media | Total = media × n, y solo la media conserva esa relación |
En una distribución con cola a la derecha, los valores altos jalan a la media más allá de la mediana, y la moda queda en el pico. El orden es moda, mediana y media. Con cola a la izquierda se invierte.
Ejemplo 3: sueldos. Una empresa pequeña paga a seis personas $2,800, $3,000, $3,000, $3,200, $3,400 y $12,000 al mes, este último el del dueño.
$$ \text{media} = \frac{27{,}400}{6} \approx 4{,}566.67 $$
$$ \text{mediana} = \frac{3{,}000 + 3{,}200}{2} = 3{,}100 $$
$$ \text{moda} = 3{,}000 $$
La media de $4,566.67 es más alta que lo que gana 5 de las 6 personas, así que no describe a nadie. La mediana de $3,100 retrata bien el sueldo típico. Si quitas al dueño, la media baja a $3,080, casi la mediana ($3,000): un solo valor causó la brecha.
Errores comunes
- No ordenar antes de buscar la mediana. La mediana de 7, 3, 9 es 7, el que queda en medio después de ordenar (3, 7, 9), no el que está en medio de la lista tal como se escribió.
- Poner 0 cuando no hay moda. Si ningún valor se repite, no hay moda. El cero es un número que puede estar o no en los datos.
- Creer que la moda debe ser única. Dos valores empatados como los más frecuentes dan dos modas (datos bimodales).
- Promediar promedios. La media de dos medias de grupo coincide con la media total solo si los grupos tienen el mismo tamaño. Si no, usa un promedio ponderado.
- Usar la media con datos sesgados. Reportar el sueldo medio de una empresa con un solo ingreso muy alto exagera lo que gana la mayoría.
Ejercicios para practicar
Problema 1
Encuentra la media, la mediana y la moda de 6, 9, 3, 9, 8, 5, 9.
Respuesta
Ordenados: 3, 5, 6, 8, 9, 9, 9. Media: $latex \frac{49}{7} = 7$. El valor central es la mediana: 8. El 9 aparece tres veces.
Respuesta: media 7, mediana 8, moda 9.
Problema 2
Encuentra la mediana de 12, 7, 15, 9.
Respuesta
Ordenados: 7, 9, 12, 15. Son cuatro valores, así que promedia los dos centrales: $latex \frac{9 + 12}{2} = 10.5$.
Respuesta: 10.5.
Problema 3
Cinco casas de una colonia se vendieron en (miles de pesos) 210, 225, 230, 240, 1250. ¿Cuál resume mejor un precio típico, la media o la mediana?
Respuesta
Media: $latex \frac{2{,}155}{5} = 431$. Mediana: 230.
Respuesta: la mediana (230). Una casa cara jala la media hasta 431, más que cuatro de las cinco ventas.
Problema 4
La media de cinco números es 12. Cuatro de ellos son 10, 11, 13 y 15. ¿Cuál es el quinto?
Respuesta
Los cinco números suman $latex 5 \times 12 = 60$. Los cuatro conocidos suman $latex 10 + 11 + 13 + 15 = 49$.
Respuesta: $latex 60 - 49 = 11$, así que el quinto número es 11.
Problema 5
Encuentra la moda o modas, la media y la mediana de 1, 2, 2, 3, 3, 4.
Respuesta
El 2 y el 3 aparecen dos veces, así que hay dos modas. Media: $latex \frac{15}{6} = 2.5$. Mediana: $latex \frac{2 + 3}{2} = 2.5$.
Respuesta: modas 2, 3, media 2.5, mediana 2.5.
Problema 6
Compara la media y la mediana de 4, 5, 6, 7, 8 antes y después de agregar el valor 100.
Respuesta
Antes: media 6, mediana 6. Después (4, 5, 6, 7, 8, 100): media $latex \frac{130}{6} \approx 21.67$, mediana $latex \frac{6 + 7}{2} = 6.5$.
Respuesta: la media salta de 6 a 21.67, mientras que la mediana solo pasa de 6 a 6.5.
Preguntas frecuentes
¿La media, la mediana y la moda pueden ser el mismo número?
Sí. En un conjunto perfectamente simétrico y con un solo pico, como 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, las tres valen 4.
¿Cuál es mejor para los ingresos?
La mediana. Unos pocos ingresos muy altos jalan la media hacia arriba, y la mediana muestra lo que gana una persona típica.
¿La media puede ser un valor que no está en los datos?
Sí, y pasa seguido. La media de 1 y 2 es 1.5. La mediana de un conjunto con cantidad par de datos también puede quedar entre dos valores. La moda, en cambio, siempre es uno de los datos.
¿Necesito las tres?
No siempre, pero mirar dos o tres sirve de revisión rápida. Si la media y la mediana difieren mucho, los datos están sesgados o tienen valores atípicos.
Calculadoras relacionadas
- Calculadora de media, mediana y moda
- Calculadora de desviación estándar
- Calculadora de promedio ponderado
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