Derivada de cotangente al cuadrado, cot^2(x) – Demostración y Gráficas

Demostración de la derivada de la cotangente al cuadrado usando la regla de la cadena

Como requisito previo, puede revisar la fórmula de la regla de la cadena y su demostración consultando este artículo: Regla de la Cadena. De igual forma, puedes revisar la demostración de la derivada de la función cotangente visitando este artículo: Derivada de Cotangente, cot(x).

Recordemos que

$latex \cot^{2}{(x)} \neq \cot{(x^2)}$

Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa como una herramienta más directa para demostrar la derivada de la función cotangente al cuadrado.

Entonces, empezamos con la función:

$latex F(x) = \cot^{2}{(x)}$

Para una mejor representación, podemos reescribirla como

$latex F(x) = \cot^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\cot{(x)})^2$

Es evidente que la función de potencia dada es la función externa a considerar, mientras que la función cotangente, es la función interna. Podemos configurar la función externa de la siguiente manera:

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \cot{(x)}$

La función cotangente trigonométrica, como función interna de f(u), se denotará como g(x).

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \cot{(x)}$

Derivando la función externa f(u) usando la regla de la potencia en términos de u, tenemos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando la función interna g(x) usando la fórmula derivada de la función trigonométrica cotangente en términos de x, tenemos

$latex g(x) = \cot{(x)}$

$latex g'(x) = -\csc^{2}{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-\csc^{2}{(x)})$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\cot{(x)})) \cdot (-\csc^{2}{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = – 2\cot{(x)} \cdot \csc^{2}{(x)}$

lo que nos lleva a la fórmula de la derivada de la cosecante al cuadrado x

$latex \frac{d}{dx} \cot^{2}{(x)} = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

¿Por qué la derivada de la cotangente al cuadrado y la cosecante al cuadrado son iguales?

Quizás te preguntes por qué la derivada de ambas funciones

$latex \cot^{2}{(x)}$

y

$latex \csc^{2}{(x)}$

son las mismas.

La identidad trigonométrica de Pitágoras para cotangentes y cosecantes nos dice que

$latex \csc^{2}{(x)} = 1 + \cot^{2}{(x)}$

Si es que derivamos ambos lados de esta fórmula, tenemos:

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

Ahora, vemos que en el lado derecho tenemos una derivada de un constante, lo cual es igual a cero. Entonces,

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

Por eso tanto la cotangente al cuadrado como la cosecante al cuadrado tienen la misma derivada.

Gráfica de cotangente al cuadrado de x VS. La derivada de la cotangente al cuadrado de x

La gráfica de la función

$latex f(x) = \cot^{2}{(x)}$

es

Al derivar a la función $latex f(x) = \cot^{2}{(x)}$, tenemos

$latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

y su gráfica es

Comparando sus gráficas, tenemos:

Usando sus gráficas, podemos ver que la función original $latex f(x) = \cot^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex [0,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$

Ejemplos

Los siguientes ejemplos muestran cómo encontrar la derivada de la cotangente al cuadrado compuesta.

Práctica de derivadas de funciones cotangente cuadrado

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas al cuadrado? Mira estas páginas:

• Derivada de seno al cuadrado, sin^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de coseno al cuadrado, cos^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de tangente al cuadrado, tan^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de secante al cuadrado, sec^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de cosecante al cuadrado, csc^2(x) – Demostración y Gráficas