Derivada de cotangente al cuadrado, cot^2(x) – Demostración y Gráficas

La derivada de la cotangente al cuadrado es igual a menos dos cotangentes por la cosecante al cuadrado, -2cot(x)csc2(x). Esta derivada se puede encontrar usando la regla de la cadena y las derivadas de las funciones trigonométricas fundamentales.

Aquí, conoceremos cómo demostrar esta derivada, veremos una comparación gráfica de la cotangente al cuadrado y su derivada y resolveremos algunos ejercicios.

CÁLCULO
Derivada de cotangente al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la cotangente al cuadrado.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de cotangente al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la cotangente al cuadrado.

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Demostración de la derivada de la cotangente al cuadrado usando la regla de la cadena

Como requisito previo, puede revisar la fórmula de la regla de la cadena y su demostración consultando este artículo: Regla de la Cadena. De igual forma, puedes revisar la demostración de la derivada de la función cotangente visitando este artículo: Derivada de Cotangente, cot(x).

Recordemos que

$latex \cot^{2}{(x)} \neq \cot{(x^2)}$

Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa como una herramienta más directa para demostrar la derivada de la función cotangente al cuadrado.

Entonces, empezamos con la función:

$latex F(x) = \cot^{2}{(x)}$

Para una mejor representación, podemos reescribirla como

$latex F(x) = \cot^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\cot{(x)})^2$

Es evidente que la función de potencia dada es la función externa a considerar, mientras que la función cotangente, es la función interna. Podemos configurar la función externa de la siguiente manera:

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \cot{(x)}$

La función cotangente trigonométrica, como función interna de f(u), se denotará como g(x).

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \cot{(x)}$

Derivando la función externa f(u) usando la regla de la potencia en términos de u, tenemos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando la función interna g(x) usando la fórmula derivada de la función trigonométrica cotangente en términos de x, tenemos

$latex g(x) = \cot{(x)}$

$latex g'(x) = -\csc^{2}{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-\csc^{2}{(x)})$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\cot{(x)})) \cdot (-\csc^{2}{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = – 2\cot{(x)} \cdot \csc^{2}{(x)}$

lo que nos lleva a la fórmula de la derivada de la cosecante al cuadrado x

$latex \frac{d}{dx} \cot^{2}{(x)} = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$


¿Por qué la derivada de la cotangente al cuadrado y la cosecante al cuadrado son iguales?

Quizás te preguntes por qué la derivada de ambas funciones

$latex \cot^{2}{(x)}$

y

$latex \csc^{2}{(x)}$

son las mismas.

La identidad trigonométrica de Pitágoras para cotangentes y cosecantes nos dice que

$latex \csc^{2}{(x)} = 1 + \cot^{2}{(x)}$

Si es que derivamos ambos lados de esta fórmula, tenemos:

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

Ahora, vemos que en el lado derecho tenemos una derivada de un constante, lo cual es igual a cero. Entonces,

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

Por eso tanto la cotangente al cuadrado como la cosecante al cuadrado tienen la misma derivada.


Gráfica de cotangente al cuadrado de x VS. La derivada de la cotangente al cuadrado de x

La gráfica de la función

$latex f(x) = \cot^{2}{(x)}$

es

Gráfica de cotangente al cuadrado cot^2x

Al derivar a la función $latex f(x) = \cot^{2}{(x)}$, tenemos

$latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

y su gráfica es

Gráfica de la derivada de cot^2x

Comparando sus gráficas, tenemos:

Gráfica de cotangente al cuadrado y su derivada

Usando sus gráficas, podemos ver que la función original $latex f(x) = \cot^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex [0,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$


Ejemplos

Los siguientes ejemplos muestran cómo encontrar la derivada de la cotangente al cuadrado compuesta.

EJEMPLO 1

Determina la derivada de la función $latex f(x) = \cot^2(7x)$.

Solución

EJEMPLO 2

¿Cuál es la derivada de la función $latex F(x) = \cot^2(3x^3-5x)$?

Solución

Práctica de derivadas de funciones cotangente cuadrado

Práctica de derivadas de cotangente cuadrado
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Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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