Derivada de cotangente al cuadrado, cot^2(x) – Demostración y Gráficas

La función cotangente al cuadrado es la cotangente elevada a la potencia de dos. La derivada de la cotangente al cuadrado es igual a menos dos cotangentes por la cosecante al cuadrado, -2cot(x)csc2(x). Esta derivada se puede encontrar usando la regla de la cadena y las derivadas de las funciones trigonométricas fundamentales.

Repasaremos los conceptos básicos, la definición, la fórmula, la comparación gráfica de la cotangente derivada y derivada al cuadrado, la prueba, las técnicas de derivación y algunas instancias más relevantes.

CÁLCULO
Derivada de cotangente al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la cotangente al cuadrado.

Ver demostración

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Derivada de cotangente al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la cotangente al cuadrado.

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Demostración de la derivada de la cotangente al cuadrado usando la regla de la cadena

Como requisito previo, puede revisar la fórmula de la regla de la cadena y su demostración consultando este artículo: Regla de la Cadena. De igual forma, puedes revisar la demostración de la derivada de la función cotangente visitando este artículo: Derivada de Cotangente, cot(x).

Recordemos que

$latex \cot^{2}{(x)} \neq \cot{(x^2)}$

Para evitar malentendidos, la primera es una «función trigonométrica completa» elevada a la potencia de dos, mientras que la segunda es una función trigonométrica del «cuadrado de una variable».

Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa como una herramienta más directa para demostrar la derivada de la función cotangente al cuadrado, siempre que ya sepas cómo probar la fórmula de la regla de la cadena y la derivada de una función cotangente.

Suponiendo que se nos pide encontrar la derivada de

$latex F(x) = \cot^{2}{(x)}$

Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Hay una función de potencia y una función trigonométrica en este escenario. Para ser más exactos, se trata de una función elevada a una potencia de dos y una función trigonométrica de cotangente, basada en nuestra F(x) dada.

Para una mejor representación, podemos reescribirla como

$latex \frac{dy}{dx} = \cot^{2}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = (\cot{(x)})^2$

Es evidente que la función de potencia dada es la función exterior a considerar, mientras que la función cotangente, siendo elevada por la función de potencia dada, es la función interior. Podemos configurar la función externa de la siguiente manera:

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \cot{(x)}$

La función cotangente trigonométrica, como función interna de f(u), se denotará como g(x).

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \cot{(x)}$

Derivando la función externa f(u) usando la regla de la potencia en términos de u, tenemos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando la función interna g(x) usando la fórmula derivada de la función trigonométrica cotangente en términos de x, tenemos

$latex g(x) = \cot{(x)}$

$latex g'(x) = -\csc^{2}{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-\csc^{2}{(x)})$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\cot{(x)})) \cdot (-\csc^{2}{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = – 2\cot{(x)} \cdot \csc^{2}{(x)}$

lo que nos lleva a la fórmula de la derivada de la cosecante al cuadrado x

$latex \frac{d}{dx} \cot^{2}{(x)} = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$


Relación entre la derivada de la cotangente al cuadrado y la cosecante al cuadrado, ¿por qué son iguales?

Quizás te preguntes por qué la derivada de ambas funciones

$latex \cot^{2}{(x)}$

y

$latex \csc^{2}{(x)}$

son las mismas.

De acuerdo con la fórmula de Pitágoras para cotangentes y cosecantes,

$latex \csc^{2}{(x)} = 1 + \cot^{2}{(x)}$

Si tratamos de derivar ambos lados de la ecuación, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

Evaluando la derivada del primer término del lado derecho de la ecuación, que es la derivada de una constante 1, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

Por eso tanto la cotangente al cuadrado como la cosecante al cuadrado tienen la misma derivada.


¿Cómo se deriva una función cuadrática cotangente? Métodos más rápidos

La cotangente al cuadrado es una función compuesta de potencia y la función trigonométrica cotangente. En lugar de usar la fórmula de la regla de la cadena repetitivamente, como lo hicimos en la demostración, podemos simplemente usar la fórmula derivada establecida para una función cotangente al cuadrado.

MÉTODO 1: Derivada del cuadrado de una cotangente de x en términos del mismo ángulo x

$latex \frac{d}{dx} \left( \cot^{2}{(x)} \right) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

Paso 1: Determina si la cotangente al cuadrado de un ángulo es una función del mismo ángulo. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \cot^{2}{(x)}$, determina si es una función del mismo ángulo x o f(x).

Nota: si $latex \cot^{2}{(x)}$ es una función de un ángulo o variable diferente, como f(t) o f(y), se usará la diferenciación implícita, que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Luego aplique directamente la fórmula derivada comprobada de la función cotangente al cuadrado

$latex \frac{dy}{dx} = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

Si no se puede simplificar nada más, entonces esa es la solución final.

MÉTODO 2: Derivada del cuadrado de una cotangente de cualquier función v en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \cot^{2}{(v)} \right) = -2\cot{(v)}\csc^{2}{(v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \cot^{2}{(v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Trata $latex \cot^{2}{(v)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x)$. Haciendo esto, tenemos

$latex g(v) = \cot{(v)}$

y también

$latex h(x) = v$

Paso 3: Derive la función externa $latex g(v)$ y use la derivada de la función cotangente al cuadrado, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \cot^{2}{(v)} \right) = -2\cot{(v)}\csc^{2}{(v)}$

Paso 4: Derive la función interna $latex h(x) = v$. Use cualquier regla derivada apropiada que se aplique a $latex v$.

Paso 5: Multiplique algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$ para aplicar completamente la regla de la cadena.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -2\cot{(v)}\csc^{2}{(v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$.

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de funciones siempre que corresponda, luego finalice la respuesta.


Gráfica de cotangente al cuadrado de x VS. La derivada de la cotangente al cuadrado de x

Dada la función

$latex f(x) = \cot^{2}{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de cotangente al cuadrado cot^2x

Como ya sabemos, la derivada de $latex f(x) = \cot^{2}{(x)}$ es

$latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

y su gráfica es

Gráfica de la derivada de cot^2x

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de cotangente al cuadrado y su derivada

Al examinar las diferencias entre estas funciones basándote en los gráficos anteriores, puedes ver que la función original $latex f(x) = \cot^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex [0,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$


Ejemplos

Estos son algunos ejemplos de cómo derivar una función cuadrática cotangente utilizando el primer o el segundo método.

EJEMPLO 1

Derive: $latex f(\beta) = \cot^{2}{(\beta)}$

Solución: Después de examinar la función cotangente al cuadrado dada, muestra que es solo un cuadrado de una cotangente de un solo ángulo $latex \beta$. Por lo tanto, podemos aplicar el primer método a este problema.

Paso 1: Evalúa si el cuadrado de la cotangente $latex \beta$ es una función de $latex \beta$. Está en este problema. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada de la función cotangente al cuadrado y derivar en términos de $latex \beta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = -2\cot{(\beta)}\csc^{2}{(\beta)}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex G(x) = \cot^{2}{(9-4x^2)}$

Solución: Después de examinar la función cotangente al cuadrado dada, se muestra que es el cuadrado de una cotangente de una función polinomial. Por lo tanto, podemos aplicar el segundo método a este problema.

Paso 1: Expresar la función cotangente al cuadrado como $latex G(x) = \cot^{2}{(v)}$, usando $latex v$ para representar cualquier función que no sea x, que es el ángulo de la cotangente al cuadrado . En este problema,

$latex v = 9-4x^2$

Sustituyamos esto más tarde mientras evaluamos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \cot{(v)}$ como la función externa $latex g(v)$. Entonces $latex v$ será la función interna, denotada como $latex h(x)$ también. Para este problema tenemos

$latex g(v) = \cot{(v)}$

y también

$latex h(x) = v = 9-4x^2$

Paso 3: Obtenga la función externa $latex g(v)$ usando la derivada de la función cotangente al cuadrado, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \cot^{2}{(v)} \right) = -2\cot{(v)}\csc^{2}{(v)}$

Paso 4: Obtenga la función interna $latex h(x)$ o $latex v$. Dado que nuestro $latex v$ en este problema es una función polinomial, apliquemos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex v$.

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{d}{dx} \left(9-4x^2 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = -8x$

Paso 5: Evalúe la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$.

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = (-2\cot{(v)}\csc^{2}{(v)}) \cdot (-8x)$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$.

$$\frac{dy}{dx} = (-2\cot{(v)}\csc^{2}{(v)}) \cdot (-8x)$$

$$\frac{dy}{dx} = (-2\cot{(9-4x^2)}\csc^{2}{(9-4x^2)}) \cdot (-8x)$$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.

$$\frac{dy}{dx} = (-2\cot{(9-4x^2)}\csc^{2}{(9-4x^2)}) \cdot (-8x)$$

$$\frac{dy}{dx} = 2\cot{(9-4x^2)}\csc^{2}{(9-4x^2)} \cdot 8x$$

$$\frac{dy}{dx} = 16x \cot{(9-4x^2)}\csc^{2}{(9-4x^2)}$$

Y la respuesta final es:

$$G'(x) = 16x \cot{(9-4x^2)}\csc^{2}{(9-4x^2)}$$


Véase también

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