Derivada de cosecante al cuadrado, csc^2(x) – Demostración y Gráficas

Demostración de la derivada de la cosecante al cuadrado con la regla de la cadena

Como requisito previo, revise la fórmula de la regla de la cadena y su demostración consultando el artículo: Regla de la Cadena. Del mismo modo, puedes revisar la demostración de la función derivada de la cosecante visitando este artículo: Derivada de Cosecante, csc(x).

Recordemos que

$latex \csc^{2}{(x)} \neq \csc{(x^2)}$

Esta es una función cosecante compuesta, por lo que puede ser derivada usando la regla de la cadena. Entonces, empezamos con la función:

$latex F(x) = \csc^{2}{(x)}$

Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Una función está elevada a una potencia de dos y la otra es una función trigonométrica de cosecante.

Si es que reescribimos a la función de la siguiente forma, podemos ver esto más claramente:

$latex F(x) = \csc^{2}{(x)}$

$latex F(x) = (\csc{(x)})^2$

Ahora es claro que la función de potencia es la función externa, mientras que la función cosecante, es la función interna. Podemos configurar la función externa de la siguiente manera:

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \csc{(x)}$

La función cosecante trigonométrica, como función interna de f(u), se denotará como g(x).

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \csc{(x)}$

Derivando la función externa f(u) usando la regla de la potencia en términos de u, tenemos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando la función interna g(x) usando la fórmula derivada de la función trigonométrica cosecante en términos de x, tenemos

$latex g(x) = \csc{(x)}$

$latex g'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-\csc{(x)}\cot{(x)})$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\csc{(x)})) \cdot (-\csc{(x)}\cot{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = -(2(\csc{(x)})) \cdot (\csc{(x)}\cot{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = -2\csc^{2}{(x)} \cdot \cot{(x)}$

lo que nos lleva a la fórmula de la derivada de la cosecante al cuadrado x

$latex \frac{d}{dx} \csc^{2}{(x)} = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

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Relación entre la derivada de la cosecante al cuadrado y la cotangente al cuadrado

Tal vez te preguntes porqué

$latex \csc^{2}{(x)}$

y

$latex \cot^{2}{(x)}$

tienen derivadas similares.

De acuerdo con la fórmula de Pitágoras para cosecantes y cotangentes,

$latex \csc^{2}{(x)} = 1 + \cot^{2}{(x)}$

Si tratamos de derivar ambos lados de la ecuación, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

La derivada de una constante es igual a cero, entonces:

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

Por eso tanto la cosecante al cuadrado como la cotangente al cuadrado tienen la misma derivada, por la fórmula pitagórica de las cosecantes y cotangentes.

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Gráfica de cosecante al cuadrado de x vs. la derivada de la cosecante al cuadrado x

Dada la función

$latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$

su gráfica es

Como ya sabemos, la derivada de $latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$ es

$latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

que se grafica como

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Al examinar las diferencias entre estas funciones basándote en los gráficos anteriores, puedes ver que la función original $latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex [1,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$

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Ejemplos

En los siguientes ejemplos, podemos observar cómo derivar una función cosecante al cuadrado compuesta.

Práctica de derivadas de funciones cosecante cuadrado

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Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas al cuadrado? Mira estas páginas:

• Derivada de seno al cuadrado, sin^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de coseno al cuadrado, cos^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de tangente al cuadrado, tan^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de secante al cuadrado, sec^2(x) – Demostración y Gráficas
• Derivada de cotangente al cuadrado, cot^2(x) – Demostración y Gráficas