Derivada de cosecante al cuadrado, csc^2(x) – Demostración y Gráficas

La función cosecante al cuadrado es la función trigonométrica cosecante elevada a la potencia de dos. La derivada de la cosecante al cuadrado es igual a menos dos tiempos contingentes de la cosecante al cuadrado, -2cot(x)csc2(x). Podemos encontrar esta derivada usando la regla de la cadena y las derivadas de las funciones trigonométricas fundamentales.

Repasaremos los conceptos básicos, la definición, la fórmula, la comparación gráfica de la cosecante derivada y derivada al cuadrado, la prueba, las técnicas de derivación y algunas instancias más relevantes.

CÁLCULO
Derivada de cosecante al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la cosecante al cuadrado.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de cosecante al cuadrado

Relevante para

Aprender a encontrar la derivada de la cosecante al cuadrado.

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Demostración de la derivada de la cosecante al cuadrado con la regla de la cadena

Como requisito previo, revise la fórmula de la regla de la cadena y su demostración consultando el artículo: Regla de la Cadena. Del mismo modo, puedes revisar la demostración de la función derivada de la cosecante visitando este artículo: Derivada de Cosecante, csc(x).

Recordemos que

$latex \csc^{2}{(x)} \neq \csc{(x^2)}$

Para evitar malentendidos, la primera es una «función trigonométrica completa» elevada a la potencia de dos, mientras que la segunda es una función trigonométrica del «cuadrado de una variable».

Debido a que es una función compuesta, la fórmula de la regla de la cadena se usa como una herramienta más sencilla para demostrar la derivada de la función cosecante al cuadrado, siempre que ya sepas cómo probar la fórmula de la regla de la cadena y la derivada de una función cosecante.

Suponiendo que se nos pide encontrar la derivada de

$latex F(x) = \csc^{2}{(x)}$

Podemos identificar las dos funciones que componen F(x). Hay una función de potencia y una función trigonométrica en este escenario. Para ser más exactos, se trata de una función elevada a una potencia de dos y una función trigonométrica de cosecante, basada en nuestra F(x) dada.

Podemos reescribirla como

$latex \frac{dy}{dx} = \csc^{2}{(x)}$

$latex \frac{dy}{dx} = (\csc{(x)})^2$

Es evidente que la función de potencia dada es la función exterior a considerar, mientras que la función cosecante, siendo elevada por la función de potencia dada, es la función interior. Podemos configurar la función externa de la siguiente manera:

$latex f(u) = u^2$

en donde

$latex u = \csc{(x)}$

La función cosecante trigonométrica, como función interna de f(u), se denotará como g(x).

$latex f(u) = f(g(x))$

$latex u = g(x)$

$latex g(x) = \csc{(x)}$

Derivando la función externa f(u) usando la regla de la potencia en términos de u, tenemos

$latex f(u) = u^2$

$latex f'(u) = 2u$

Derivando la función interna g(x) usando la fórmula derivada de la función trigonométrica cosecante en términos de x, tenemos

$latex g(x) = \csc{(x)}$

$latex g'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$

Multiplicando algebraicamente la derivada de la función exterior $latex f'(u)$ por la derivada de la función interior $latex g'(x)$, tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = (2u) \cdot (-\csc{(x)}\cot{(x)})$

Sustituyendo u en f‘(u), tenemos

$latex \frac{dy}{dx} = (2(\csc{(x)})) \cdot (-\csc{(x)}\cot{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = -(2(\csc{(x)})) \cdot (\csc{(x)}\cot{(x)})$

$latex \frac{dy}{dx} = -2\csc^{2}{(x)} \cdot \cot{(x)}$

lo que nos lleva a la fórmula de la derivada de la cosecante al cuadrado x

$latex \frac{d}{dx} \csc^{2}{(x)} = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$


Relación entre la derivada de la cosecante al cuadrado y la cotangente al cuadrado, ¿qué las hace semejantes?

Tal vez te preguntes porqué

$latex \csc^{2}{(x)}$

y

$latex \cot^{2}{(x)}$

tienen derivadas similares.

De acuerdo con la fórmula de Pitágoras para cosecantes y cotangentes,

$latex \csc^{2}{(x)} = 1 + \cot^{2}{(x)}$

Si tratamos de derivar ambos lados de la ecuación, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

Evaluando la derivada del primer término en el lado derecho de la ecuación, donde la derivada es cero, tenemos

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = 0 + \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

$latex \frac{d}{dx} (\csc^{2}{(x)}) = \frac{d}{dx}(\cot^{2}{(x)})$

Por eso tanto la cosecante al cuadrado como la cotangente al cuadrado tienen la misma derivada, por la fórmula pitagórica de las cosecantes y cotangentes.


¿Cómo se deriva una función cosecante al cuadrado? Métodos más rápidos

La cosecante al cuadrado, como se dijo anteriormente, es una función compuesta de potencia y la función trigonométrica cosecante. En lugar de usar la fórmula de la regla de la cadena repetidamente como lo hicimos en la demostración, podemos simplemente usar la fórmula derivada establecida para una función cosecante al cuadrado.

MÉTODO 1: Derivada del cuadrado de una cosecante de x en términos del mismo ángulo x

$latex \frac{d}{dx} \left( \csc^{2}{(x)} \right) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

Paso 1: determina si la cosecante al cuadrado de un ángulo es una función del mismo ángulo. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \csc^{2}{(x)}$, determina si es una función del mismo ángulo x o f(x).

Nota: si $latex \csc^{2}{(x)}$ es una función de un ángulo o variable diferente, como f(t) o f(y), se usará la diferenciación implícita, que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Luego aplique directamente la fórmula derivada comprobada de la función cosecante al cuadrado

$latex \frac{dy}{dx} = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

Si no se puede simplificar nada más, entonces esa es la solución final.

MÉTODO 2: Derivada del cuadrado de una cosecante de cualquier función v en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \csc^{2}{(v)} \right) = -2\cot{(v)}\csc^{2}{(v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 1: Exprese la función como $latex G(x) = \csc^{2}{(v)}$, donde $latex v$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Trata $latex \csc^{2}{(v)}$ como la función externa $latex g(v)$ y $latex v$ como la función interna $latex h(x)$ de la función compuesta $latex G(x)$. Haciendo esto, tenemos

$latex g(v) = \csc{(v)}$

y también

$latex h(x) = v$

Paso 3: Obtenga la función externa $latex g(v)$ y use la derivada de la función cosecante al cuadrado, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \csc^{2}{(v)} \right) = -2\cot{(v)}\csc^{2}{(v)}$

Paso 4: Derive la función interna $latex h(x) = v$. Use cualquier regla derivada apropiada que se aplique a $latex v$.

Paso 5: Multiplique algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$ para aplicar completamente la regla de la cadena

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -2\cot{(v)}\csc^{2}{(v)} \cdot \frac{d}{dx} (v)$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$.

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de funciones siempre que corresponda, luego finalice la respuesta.


Gráfica de cosecante al cuadrado de x vs. la derivada de la cosecante al cuadrado x

Dada la función

$latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de cosecante al cuadrado csc^2x

Como ya sabemos, derivar $latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$ es

$latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$

que se grafica como

Gráfica de la derivada de csc^2x

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de cosecante al cuadrado y su derivada

Al examinar las diferencias entre estas funciones basándote en los gráficos anteriores, puedes ver que la función original $latex f(x) = \csc^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex [1,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = -2\cot{(x)}\csc^{2}{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y se encuentra dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$


Ejemplos

Estos son algunos ejemplos de cómo derivar una función cosecante al cuadrado utilizando el primer o el segundo método.

EJEMPLO 1

Derive: $latex f(\beta) = \csc^{2}{(\beta)}$

Solución: Después de examinar la función dada de cosecante al cuadrado, se muestra que es solo un cuadrado de una cosecante de un solo ángulo $latex \beta$. Por lo tanto, podemos aplicar el primer método a este problema.

Paso 1: Evalúa si el cuadrado de la cosecante $latex \beta$ es una función de $latex \beta$. Está en este problema. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada de la función cosecante al cuadrado y derivar en términos de $latex \beta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = -2\cot{(\beta)}\csc^{2}{(\beta)}$

EJEMPLO 2

Derive: $latex G(x) = \csc^{2}{(4-9x^2)}$

Solución: Después de examinar la función cosecante al cuadrado dada, se muestra que es el cuadrado de una cosecante de una función polinomial. Por lo tanto, podemos aplicar el segundo método a este problema.

Paso 1: Exprese la función cosecante al cuadrado como $latex G(x) = \csc^{2}{(v)}$, usando $latex v$ para representar cualquier función que no sea x, que es el ángulo de la cosecante al cuadrado . En este problema,

$latex v = 4-9x^2$

Sustituyamos esto más tarde mientras evaluamos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \csc{(v)}$ como la función externa $latex g(v)$. Entonces $latex v$ será la función interna, denotada como $latex h(x)$ también. Para este problema tenemos

$latex g(v) = \csc{(v)}$

y también

$latex h(x) = v = 4-9x^2$

Paso 3: Obtenga la función externa $latex g(v)$ usando la derivada de la función cosecante al cuadrado, en términos de $latex v$.

$latex \frac{d}{du} \left( \csc^{2}{(v)} \right) = -2\cot{(v)}\csc^{2}{(v)}$

Paso 4: Obtenga la función interna $latex h(x)$ o $latex v$. Dado que nuestro $latex v$ en este problema es una función polinomial, apliquemos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex v$.

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = \frac{d}{dx} \left(4-9x^2 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(h(x)) = -18x$

Paso 5: Evalúe la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex g(v)$ por la derivada de la función interna $latex h(x)$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (g(v)) \cdot \frac{d}{dx} (h(x))$$

$$\frac{dy}{dx} = (-2\cot{(v)}\csc^{2}{(v)}) \cdot (-18x)$$

Paso 6: Sustituya $latex v$ en $latex g'(v)$

$$ \frac{dy}{dx} = (-2\cot{(v)}\csc^{2}{(v)}) \cdot (-18x)$$

$$\frac{dy}{dx} = (-2\cot{(4-9x^2)}\csc^{2}{(4-9x^2)}) \cdot (-18x)$$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función siempre que corresponda para finalizar la respuesta.

$$\frac{dy}{dx} = (-2\cot{(4-9x^2)}\csc^{2}{(4-9x^2)}) \cdot (-18x)$$

$$\frac{dy}{dx} = 2\cot{(4-9x^2)}\csc^{2}{(4-9x^2)} \cdot 18x$$

$$\frac{dy}{dx} = 36x \cot{(4-9x^2)}\csc^{2}{(4-9x^2)}$$

Y la respuesta final es:

$$G'(x) = 36x \cot{(4-9x^2)}\csc^{2}{(4-9x^2)}$$


Véase también

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