Derivada de Cosecante, csc(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La derivada de la cosecante es una de las primeras funciones trascendentales introducidas en Cálculo Diferencial (o Cálculo I). La derivada de la función cosecante es igual a menos cosecante por cotangente, -csc(x) cot(x). Podemos demostrar esta derivada usando límites e identidades trigonométricas.

En este artículo, discutiremos cómo derivar la función trigonométrica cosecante. Cubriremos breves fundamentos, su fórmula, una comparación gráfica de cosecante y su derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de cosecante csc(x)

Relevante para

Aprender la demostración y gráficas de la derivada de la cosecante.

Ver demostración

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Derivada de cosecante csc(x)

Relevante para

Aprender la demostración y gráficas de la derivada de la cosecante.

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Demostración de la derivada de la función cosecante

La función trigonométrica cosecante de un ángulo se define como la relación entre la hipotenusa y el lado opuesto de un ángulo en un triángulo rectángulo. Ilustrándolo a través de una figura, tenemos

triángulo rectángulo ABC

donde C es 90°. Para el triángulo rectángulo de muestra, obtener la cosecante del ángulo A se puede evaluar como

$latex \csc{(A)} = \frac{c}{a}$

donde A es el ángulo, c es la hipotenusa y a es su lado opuesto.

Antes de aprender la demostración de la derivada de la función cosecante, se recomienda aprender el teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa y Cho-Sha-Cao, y el primer principio de los límites como requisitos previos.

Recordemos que cualquier función se puede derivar igualándola al límite de

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$latex f(x) = \csc{(x)}$

entonces, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \csc{(x+h)} – \csc{(x)} }{h}}$$

Analizando nuestra ecuación, podemos observar que tanto el primer como el segundo término en el numerador del límite es una cosecante de la suma de dos ángulos x y h y una cosecante del ángulo x. Con esta observación, podemos intentar aplicar las identidades de relación definitorias para cosecante y seno. Aplicando esto, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{1}{\sin{(x+h)}} – \frac{1}{\sin{(x)}} }{h}}$$

Reordenando algebraicamente aplicando algunas reglas de fracciones, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{ \sin{(x)} – \sin{(x+h)} }{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(x)} – \sin{(x+h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }$$

Mirando el numerador reorganizado, podemos aplicar las identidades de producto-suma de seno.

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{x+(x+h)}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-(x+h)}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{x+x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-x-h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{-h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

Según las identidades trigonométricas de un seno de un ángulo negativo, esto es igual al seno negativo de la forma positiva del mismo ángulo. Aplicando esto al segundo multiplicando del numerador, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot \left( -\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \right) }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

Reordenando algebraicamente y aplicando el límite del producto de dos funciones, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{\sin{(x+h)}\sin{(x)} \cdot h} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \cdot \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$

Aplicando algunas reglas de fracción al segundo multiplicando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right)}$$

De acuerdo con los límites de las funciones trigonométricas, el límite de la función trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ a $latex \theta$ cuando $latex \theta$ tiende a cero es igual a uno. Lo mismo se puede aplicar a $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ sobre $latex \frac{h}{2}$. Aplicando tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {1}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)}$$

Finalmente, hemos hecho posible con éxito evaluar el límite de lo que queda en la ecuación. Evaluando sustituyendo el valor de aproximación de $latex h$, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+(0)}{2}\right)} }{ \sin{(x+(0))}\sin{(x)} } \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x}{2}\right)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} } \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{-\cos{(x)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} }$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{\cos{(x)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} }$$

Aplicando algunas identidades trigonométricas para simplificar la fórmula derivada mediante el uso de identidades de relaciones definidas, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{ \cos{(x)} }{ \sin{(x)} } \cdot \frac{1}{\sin{(x)}} $$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cot{(x)} \cdot \csc{(x)} $$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\csc{(x)} \cot{(x)}$$

Por tanto, la derivada de la función trigonométrica ‘cosecante’ es:

$$\frac{d}{dx} (\csc{(x)}) = -\csc{(x)} \cot{(x)}$$


¿Cómo derivar una función cosecante?

El proceso de derivación de una función cosecante es muy sencillo, suponiendo que ya haya aprendido los conceptos detrás del uso de la función cosecante y cómo llegamos a su fórmula derivada.

MÉTODO 1: Derivada de la cosecante de cualquier ángulo x en términos del mismo ángulo x

$latex \frac{d}{dx} \left( \csc{(x)} \right) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$

Paso 1: Analiza si la cosecante del ángulo es función de ese mismo ángulo. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \csc{(x)}$, verifica si es una función del mismo ángulo x o f(x).

Nota: si $latex \csc{(x)}$ es una función de un ángulo o variable diferente, como f(t) o f(y), utilizará una diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Luego aplique directamente la fórmula derivada de la función cosecante

$latex \frac{dy}{dx} = -\csc{(x)}\cot{(x)}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Derivada de la Cosecante de cualquier función u en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \csc{(u)} \right) = -\csc{(u)}\cot{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 1: Exprese la función como $latex F(x) = \csc{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Considere $latex \csc{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex f(u) = \csc{(u)}$

y también

$latex g(x) = u$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la función cosecante, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \csc{(u)} \right) = -\csc{(u)}\cot{(x)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x) = u$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex u$.

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -\csc{(u)}\cot{(x)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 6: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfica de Cosecante x vs. la derivada de la cosecante x

Dada la función

$latex f(x) = \csc{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de cosecante csc(x)

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \csc{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de csc(x)

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de csc(x) y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \csc{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del primer o segundo método para derivar una función cosecante.

EJEMPLO 1

Deriva: $latex f(\beta) = \csc{(\beta)}$

Solución: Al analizar la función cosecante dada, vemos que es solo una cosecante de un solo ángulo $latex \beta$. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si la cosecante de $latex \beta$ es función de $latex \beta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Al aplicar directamente la fórmula derivada de la función cosecante y derivar en términos de $latex \beta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = -\csc{(\beta)}\cot{(\beta)}$

EJEMPLO 2

Deriva: $latex F(x) = \csc{\left(5-10x^2 \right)}$

Solución: Analizando la función cosecante dada, vemos que es una cosecante de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función cosecante como $latex F(x) = \csc{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función que no sea x. en este problema,

$latex u = 5-10x^2$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \csc{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Para este problema tenemos

$latex f(u) = \csc{(u)}$

y también

$latex g(x) = u = 5-10x^2$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la función cosecante, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \csc{(u)} \right) = -\csc{(u)}\cot{(u)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x)$ o $latex u$. Dado que nuestro $latex u$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex u$.

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx} \left(5-10x^2 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = -20x$

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -\csc{(u)}\cot{(u)} \cdot (-20x)$

Paso 6: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

$$\frac{dy}{dx} = -\csc{(u)}\cot{(u)} \cdot (-20x)$$

$$\frac{dy}{dx} = -\csc{(5-10x^2)}\cot{(5-10x^2)} \cdot (-20x)$$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta..

$$\frac{dy}{dx} = \csc{(5-10x^2)}\cot{(5-10x^2)} \cdot 20x$$

$$\frac{dy}{dx} = 20x \csc{(5-10x^2)}\cot{(5-10x^2)}$$

Y la respuesta final es

$$F'(x) = 20x \csc{(5-10x^2)}\cot{(5-10x^2)}$$

o también

$$ F'(x) = 20x \csc{(5(1-2x^2))}\cot{(5(1-2x^2))}$$


Véase también

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