La derivada de la función cosecante es igual a menos cosecante por cotangente, -csc(x) cot(x). Podemos demostrar esta derivada usando límites e identidades trigonométricas.
En este artículo, aprenderemos derivar la función trigonométrica cosecante, tanto en su forma simple, como en su forma compuesta. Veremos una demostración de su derivada, una comparación gráfica de cosecante y su derivada y algunos ejemplos.
CÁLCULO
Relevante para…
Aprender la demostración y gráficas de la derivada de la cosecante.
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Demostración de la derivada de la función cosecante
La función trigonométrica cosecante de un ángulo se define como la relación entre la hipotenusa y el lado opuesto de un ángulo en un triángulo rectángulo. Ilustrándolo a través de una figura, tenemos
donde C es 90°. Para el triángulo rectángulo de muestra, obtener la cosecante del ángulo A se puede evaluar como
$latex \csc{(A)} = \frac{c}{a}$
donde A es el ángulo, c es la hipotenusa y a es su lado opuesto.
Antes de aprender la demostración de la derivada de la función cosecante, se recomienda aprender el teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa y Cho-Sha-Cao, y el primer principio de los límites como requisitos previos.
Recordemos que cualquier función se puede derivar igualándola al límite de
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$
Supongamos que nos piden obtener la derivada de
$latex f(x) = \csc{(x)}$
entonces, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \csc{(x+h)} – \csc{(x)} }{h}}$$
Analizando nuestra ecuación, podemos observar que tanto el primer como el segundo término en el numerador del límite es una cosecante de la suma de dos ángulos x y h y una cosecante del ángulo x. Con esta observación, podemos intentar aplicar las identidades de relación definitorias para cosecante y seno. Aplicando esto, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{1}{\sin{(x+h)}} – \frac{1}{\sin{(x)}} }{h}}$$
Reordenando algebraicamente aplicando algunas reglas de fracciones, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{ \sin{(x)} – \sin{(x+h)} }{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }{h}}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(x)} – \sin{(x+h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }$$
Mirando el numerador reorganizado, podemos aplicar las identidades de producto-suma de seno.
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{x+(x+h)}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-(x+h)}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{x+x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-x-h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{-h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
Según las identidades trigonométricas de un seno de un ángulo negativo, esto es igual al seno negativo de la forma positiva del mismo ángulo. Aplicando esto al segundo multiplicando del numerador, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot \left( -\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \right) }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$
Reordenando algebraicamente y aplicando el límite del producto de dos funciones, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{\sin{(x+h)}\sin{(x)} \cdot h} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \cdot \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$
Aplicando algunas reglas de fracción al segundo multiplicando, tenemos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right)}$$
De acuerdo con los límites de las funciones trigonométricas, el límite de la función trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ a $latex \theta$ cuando $latex \theta$ tiende a cero es igual a uno. Lo mismo se puede aplicar a $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ sobre $latex \frac{h}{2}$. Aplicando tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {1}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)}$$
Finalmente, hemos hecho posible con éxito evaluar el límite de lo que queda en la ecuación. Evaluando sustituyendo el valor de aproximación de $latex h$, tenemos
$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+(0)}{2}\right)} }{ \sin{(x+(0))}\sin{(x)} } \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x}{2}\right)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} } \right)}$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{-\cos{(x)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} }$$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{\cos{(x)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} }$$
Aplicando algunas identidades trigonométricas para simplificar la fórmula derivada mediante el uso de identidades de relaciones definidas, tenemos
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{ \cos{(x)} }{ \sin{(x)} } \cdot \frac{1}{\sin{(x)}} $$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cot{(x)} \cdot \csc{(x)} $$
$$\frac{d}{dx} f(x) = -\csc{(x)} \cot{(x)}$$
Por tanto, la derivada de la función trigonométrica ‘cosecante’ es:
$$\frac{d}{dx} (\csc{(x)}) = -\csc{(x)} \cot{(x)}$$
Gráfica de Cosecante x vs. la derivada de la cosecante x
Dada la función
$latex f(x) = \csc{(x)}$
su gráfica es
Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \csc{(x)}$, obtenemos
$latex f'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$
que se ilustra gráficamente como
Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos
De la comparación gráfica, se puede observar que la función original $latex f(x) = \csc{(x)}$ tiene un dominio de
$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$
dentro de los intervalos finitos de
$latex (-2\pi,2\pi)$
y existe dentro del rango de
$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$
mientras que la derivada $latex f'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$ tiene un dominio de
$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$
dentro de los intervalos finitos de
$latex (-2\pi,2\pi)$
y existe dentro del rango de
$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales
Ejemplos
Los siguientes son algunos ejemplos de cómo usar la regla de la cadena para derivar funciones cosecante compuestas.
EJEMPLO 1
¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \csc(8x)$?
Solución
Tenemos a una función cosecante compuesta, en donde $latex u=8x$ es la función interna. Esto significa que podemos escribir $latex f(u)=\csc(u)$.
Entonces, vamos a usar la regla de la cadena de la siguiente forma:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\csc(u)\cot(u) \times 8$$
Ahora, solo tenemos que sustituir $latex u=8x$ de vuelta en la función y tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=-8\csc(8x)\cot(8x)$$
EJEMPLO 2
Calcula la derivada de $latex F(x) = \csc(6x^2-3)$
Solución
Vamos a usar la regla de la cadena para derivar a esta función. Entonces, expresamos a la función cosecante como $latex f (u) = \csc(u)$, donde $latex u = 6x^2-3$.
Luego, calculamos la derivada de la función $latex f (u) = \csc(u)$:
$$\frac{d}{du} ( \csc{(u)} ) = -\csc(u)\cot(u)$$
Ahora, calculamos la derivada de la función interna $latex u = 6x^2-3$, a la cual denominamos $latex g(x)$:
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx}(6x^2-3)$$
$$\frac{d}{dx}(g(x)) = 12x$$
Para aplicar la regla de la cadena, multiplicamos a la derivada de la función externa por la derivada de la función interna:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$$
$$\frac{dy}{dx} = -\csc(u)\cot(u) \cdot 12x$$
Por último, substituimos $latex u=6x^2-3$ de vuelta:
$$\frac{dy}{dx} = -\csc(6x^2-3)\cot(6x^2-3) \cdot 12x$$
$$\frac{dy}{dx} = -12x\csc(6x^2-3)\cot(6x^2-3)$$
EJEMPLO 3
Encuentra la derivada de $latex f(x) = \csc(\sqrt{x})$
Solución
Para derivar esta función, usamos la regla de la cadena y consideramos a $latex u=\sqrt{x}$ como la función interna.
Ahora, escribimos a $latex u=\sqrt{x}$ como $latex u=x^{\frac{1}{2}}$ para encontrar la derivada de $latex \frac{du}{dx}$:
$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Luego, dado que tenemos $latex f(u)=\csc(u)$, usamos la regla de la cadena:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\csc(u)\cot(u) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
Sustituyendo $latex u=\sqrt{x}$ de vuelta y simplificando, tenemos:
$$\frac{dy}{dx}=-\csc(\sqrt{x})\cot(\sqrt{x}) \times \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\csc(\sqrt{x})\cot(\sqrt{x})$$
Práctica de derivadas de funciones cosecante compuestas
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas? Mira estas páginas:
- Derivada de Seno, sin(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
- Derivada de Coseno, cos(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
- Derivada de Tangente, tan(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
- Derivada de Secante, sec(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
- Derivada de Cotangente, cot(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas
Jefferson Huera Guzmán
Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.
