Derivada de Cosecante, csc(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La derivada de la función cosecante es igual a menos cosecante por cotangente, -csc(x) cot(x). Podemos demostrar esta derivada usando límites e identidades trigonométricas.

En este artículo, aprenderemos derivar la función trigonométrica cosecante, tanto en su forma simple, como en su forma compuesta. Veremos una demostración de su derivada, una comparación gráfica de cosecante y su derivada y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de cosecante csc(x)

Relevante para

Aprender la demostración y gráficas de la derivada de la cosecante.

Ver demostración

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Derivada de cosecante csc(x)

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Demostración de la derivada de la función cosecante

La función trigonométrica cosecante de un ángulo se define como la relación entre la hipotenusa y el lado opuesto de un ángulo en un triángulo rectángulo. Ilustrándolo a través de una figura, tenemos

triángulo rectángulo ABC

donde C es 90°. Para el triángulo rectángulo de muestra, obtener la cosecante del ángulo A se puede evaluar como

$latex \csc{(A)} = \frac{c}{a}$

donde A es el ángulo, c es la hipotenusa y a es su lado opuesto.

Antes de aprender la demostración de la derivada de la función cosecante, se recomienda aprender el teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa y Cho-Sha-Cao, y el primer principio de los límites como requisitos previos.

Recordemos que cualquier función se puede derivar igualándola al límite de

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$latex f(x) = \csc{(x)}$

entonces, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \csc{(x+h)} – \csc{(x)} }{h}}$$

Analizando nuestra ecuación, podemos observar que tanto el primer como el segundo término en el numerador del límite es una cosecante de la suma de dos ángulos x y h y una cosecante del ángulo x. Con esta observación, podemos intentar aplicar las identidades de relación definitorias para cosecante y seno. Aplicando esto, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{1}{\sin{(x+h)}} – \frac{1}{\sin{(x)}} }{h}}$$

Reordenando algebraicamente aplicando algunas reglas de fracciones, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \frac{ \sin{(x)} – \sin{(x+h)} }{\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(x)} – \sin{(x+h)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} }$$

Mirando el numerador reorganizado, podemos aplicar las identidades de producto-suma de seno.

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{x+(x+h)}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-(x+h)}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{x+x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{x-x-h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{-h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

Según las identidades trigonométricas de un seno de un ángulo negativo, esto es igual al seno negativo de la forma positiva del mismo ángulo. Aplicando esto al segundo multiplicando del numerador, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot \left( -\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \right) }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -2\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h\sin{(x+h)}\sin{(x)}} \right)}$$

Reordenando algebraicamente y aplicando el límite del producto de dos funciones, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ -\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} \cdot 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{\sin{(x+h)}\sin{(x)} \cdot h} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \cdot \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ 2\sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{h} \right)}$$

Aplicando algunas reglas de fracción al segundo multiplicando, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right)}$$

De acuerdo con los límites de las funciones trigonométricas, el límite de la función trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ a $latex \theta$ cuando $latex \theta$ tiende a cero es igual a uno. Lo mismo se puede aplicar a $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ sobre $latex \frac{h}{2}$. Aplicando tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)} \cdot \lim \limits_{h \to 0} {1}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+h}{2}\right)} }{ \sin{(x+h)}\sin{(x)} } \right)}$$

Finalmente, hemos hecho posible con éxito evaluar el límite de lo que queda en la ecuación. Evaluando sustituyendo el valor de aproximación de $latex h$, tenemos

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x+(0)}{2}\right)} }{ \sin{(x+(0))}\sin{(x)} } \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\left( \frac{-\cos{\left(\frac{2x}{2}\right)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} } \right)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{-\cos{(x)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} }$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{\cos{(x)} }{ \sin{(x)}\sin{(x)} }$$

Aplicando algunas identidades trigonométricas para simplificar la fórmula derivada mediante el uso de identidades de relaciones definidas, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{ \cos{(x)} }{ \sin{(x)} } \cdot \frac{1}{\sin{(x)}} $$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cot{(x)} \cdot \csc{(x)} $$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\csc{(x)} \cot{(x)}$$

Por tanto, la derivada de la función trigonométrica ‘cosecante’ es:

$$\frac{d}{dx} (\csc{(x)}) = -\csc{(x)} \cot{(x)}$$


Gráfica de Cosecante x vs. la derivada de la cosecante x

Dada la función

$latex f(x) = \csc{(x)}$

su gráfica es

Gráfica de cosecante csc(x)

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \csc{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de csc(x)

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de csc(x) y su derivada

De la comparación gráfica, se puede observar que la función original $latex f(x) = \csc{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,-1] \cup [1,\infty)$

mientras que la derivada $latex f'(x) = -\csc{(x)}\cot{(x)}$ tiene un dominio de

$$(-2\pi,-\pi) \cup (-\pi,0) \cup (0,\pi) \cup (\pi,2\pi)$$

dentro de los intervalos finitos de

$latex (-2\pi,2\pi)$

y existe dentro del rango de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales


Ejemplos

Los siguientes son algunos ejemplos de cómo usar la regla de la cadena para derivar funciones cosecante compuestas.

EJEMPLO 1

¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \csc(8x)$?

Solución

EJEMPLO 2

Calcula la derivada de $latex F(x) = \csc(6x^2-3)$

Solución

EJEMPLO 3

Encuentra la derivada de $latex f(x) = \csc(\sqrt{x})$

Solución

Práctica de derivadas de funciones cosecante compuestas

Práctica de derivadas de cosecante
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Véase también

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Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

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