Derivada de Coseno, cos(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La Derivada del Coseno es una de las primeras funciones trascendentales introducidas en Cálculo Diferencial (o Cálculo I). La derivada del coseno es igual a menos seno, -sin(x). Esta derivada puede ser demostrada usando límites e identidades trigonométricas.

En este artículo, discutiremos cómo derivar la función trigonométrica coseno. Cubriremos breves fundamentos, su definición, fórmula, una comparación gráfica de coseno y su derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de coseno cos(x)

Relevante para

Aprender sobre la demostración y los gráficos del derivado del coseno.

Ver demostración

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Derivada de coseno cos(x)

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Demostración de la Derivada de la Función Coseno

La función trigonométrica coseno de un ángulo se define como la relación entre un lado adyacente a un ángulo en un triángulo rectángulo y la hipotenusa. Ilustrándolo a través de una figura, tenemos

triángulo rectángulo ABC

donde C es 90 °. Para el triángulo de la derecha de la muestra, obtener el coseno del ángulo A se puede evaluar como

$latex \cos{(A)} = \frac{b}{c}$

donde A es el ángulo, b es su lado adyacente y c es la hipotenusa del triángulo rectángulo de la figura.

Antes de aprender la prueba de la derivada de la función coseno, se le recomienda aprender el teorema de Pitagorean, Soh-Cah-Toa y Cho-Sha-Cao, y el primer principio de los límites como requisitos previos.

Recordemos que cualquier función se puede derivar igualándola al límite de

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$latex f(x) = \cos{(x)}$

tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x+h)} – \cos{(x)} }{h}}$$

Analizando nuestra ecuación, podemos observar que el primer término en el numerador del límite es un coseno de la suma de dos ángulos x y h. Con esta observación, podemos tratar de aplicar las identidades de suma y diferencia para coseno y seno, también llamadas identidades de Ptolomeo. Aplicando esto, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x+h)} – \cos{(x)} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ (\cos{(x)}\cos{(h)} – \sin{(x)}\sin{(h)}) – \cos{(x)} }{h}}$$

Intentemos reorganizar el numerador,

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x)}\cos{(h)} – \cos{(x)} – \sin{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$

Teniendo en cuenta el primer y segundo términos de nuestro numerador reorganizado, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x)}(\cos{(h)} – 1) – \sin{(x)}\sin{(h)}) }{h}}$$

Haciendo algunos arreglos algebraicos, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \cos{(x)} (-(1-\cos{(h)})) – \sin{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ -\cos{(x)} (1-\cos{(h)}) – \sin{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \left( \frac{ -\cos{(x)} (1-\cos{(h)}) }{h} – \frac{ \sin{(x)}\sin{(h)} }{h} \right) }$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ -\cos{(x)} (1-\cos{(h)}) }{h} } – \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(x)}\sin{(h)} }{h} }$$

Como estamos calculando el límite en términos de h, todas las funciones que no sean h se considerarán constantes. Reorganizando, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) – \sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(h)} }{h} } \right)$$

De acuerdo con los límites de las funciones trigonométricas, el límite de la función trigonométrica $latex \cos(\theta)$ a $latex \theta$ a medida que $latex \theta $ tiende a cero es igual a uno. Lo mismo se puede aplicar a $latex \cos(h)$ sobre $latex H$. Aplicando, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) – \sin{(x)} \cdot 1$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) – \sin{(x)}$$

Ya hemos evaluado el límite del último término. Sin embargo, el primer término aún es imposible de ser evaluado definitivamente debido al denominador $latex H $. Intentemos usar otra identidad trigonométrica y ver si el truco funcionará.

Podemos intentar usar la identidad de medio ángulo en el numerador del primer término.

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) – \sin{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \left(2\sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)}\right) }{h} } \right) – \sin{(x)}$$

Al aplicar las reglas de fracción al primer término y reorganizar algebraicamente una vez más, tenemos,

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \frac{\sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)}}{1} }{ \frac{h}{2} }} \right) – \sin{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} }} \right) – \sin{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} }} \right) – \sin{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right) }\right) – \sin{(x)}$$

Como notará una vez más, tenemos un seno de una variable sobre esa misma variable. En este caso, es $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ sobre $latex \frac{h}{2}$. Por lo tanto, podemos aplicar nuevamente los límites de las funciones trigonométricas de $latex \frac{\sin{(\theta)}}{\theta}$.

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot 1} \right) – \sin{(x)}$$

Finalmente, hemos logrado evaluar el límite del primer término. Evaluando sustituyendo el valor de aproximación de $latex h$, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }\right) – \sin{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{0}{2}\right)}} \right) – \sin{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{(0)}} \right) – \sin{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} {0} \right) – \sin(x)$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\cos{(x)} \cdot 0 – \sin{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)}$$

Por tanto, la derivada de la función trigonométrica ‘coseno’ es:

$$\frac{d}{dx} (\cos{(x)}) = -\sin{(x)}$$


¿Cómo derivar una función coseno?

El proceso de derivación de una función coseno es muy sencillo, suponiendo que ya haya aprendido los conceptos detrás del uso de la función coseno y cómo llegamos a su fórmula derivada.

MÉTODO 1: Derivada del Coseno de cualquier ángulo x en términos del mismo ángulo x

$latex \frac{d}{dx} \left( \cos{(x)} \right) = -\sin{(x)}$

Paso 1: Analice si el coseno de un ángulo es una función de ese mismo ángulo. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \cos(x)$, verifique si es una función del mismo ángulo x o f(x).

Nota: Si $latex \cos(x)$ es una función de un ángulo o variable diferente como F(t) o f(y), utilizará la diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Luego aplique directamente la fórmula derivada de la función coseno

$latex \frac{dy}{dx} = -\sin{(x)}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Derivada del Coseno de cualquier función u en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \cos{(u)} \right) = -\sin{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 1: Exprese la función como $latex f(x) = \cos(u)$, donde $latex u$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Considere $latex \cos{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex f(u) = \cos{(u)}$

y también

$latex g(x) = u$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la función coseno, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \cos{(u)} \right) = -\sin{(u)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x) = u$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex u$.

Paso 5: Aplique la fórmula de regla de cadena básica multiplicando algebricamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -\sin{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 6: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfico de coseno de x vs. la derivada del coseno de x

Dada la función

$latex f(x) = \cos{(x)}$

el gráfico se ilustra como

Gráfica de coseno cos(x)

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \cos{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = -\sin{(x)}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de la derivada de cos(x)

Ilustrando ambas gráficas en una, tenemos

Gráfica de cos(x) y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puede observar que la función original $latex f(x) = \cos(x)$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [-1,1]$

mientras que la derivada $latex f ‘(x) = -\sin(x)$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [-1,1]$


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del primer o segundo método para derivar una función coseno.

EJEMPLO 1

Deriva: $latex f(\beta) = \cos{(\beta)}$

Solución: Analizando la función coseno dada, vemos que es solo un coseno de un solo ángulo $latex \beta $. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si el coseno de $latex \beta$ es una función de $latex \beta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Aplique directamente la fórmula derivada de la función coseno y deriva en términos de $latex \ beta $. Como no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = -\sin{(\beta)}$

EJEMPLO 2

Deriva: $latex F(x) = \cos{\left(10-5x^2 \right)}$

Solución: Analizando la función coseno dada, vemos que es un coseno de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función coseno como $latex F(x) = \cos{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función que no sea x. en este problema,

$latex u = 10-5x^2$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \cos{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Para este problema tenemos

$latex f(u) = \cos{(u)}$

y también

$latex g(x) = u = 10-5x^2$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la función coseno, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \cos{(u)} \right) = -\sin{(u)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x)$ o $latex u$. Dado que nuestra $latex u$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex u$.

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx} \left(5-10x^2 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = -10x$

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = -\sin{(u)} \cdot (-10x)$

Paso 6: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\sin{(u)} \cdot (-10x)$

$latex \frac{dy}{dx} = -\sin{(10-5x^2)} \cdot (-10x)$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.

$latex \frac{dy}{dx} = -\sin{(10-5x^2)} \cdot (-10x)$

$latex \frac{dy}{dx} = 10x\sin{(10-5x^2)}$

Y la respuesta final es:

$latex F'(x) = = 10x\sin{\left(10-5x^2\right)}$

o también

$latex F'(x) = = 10x\sin{\left(5(2-x^2)\right)}$


Véase también

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