Derivada de Seno, sin(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La Derivada del Seno es una de las primeras funciones trascendentales introducidas en Cálculo Diferencial (o Cálculo I). La derivada del seno es igual al coseno, cos(x). Esta derivada se puede demostrar usando límites y las identidades trigonométricas.

En este artículo, conoceremos cómo derivar la función trigonométrica seno. Aprenderemos sobre su fórmula, veremos una comparación gráfica del seno y su derivada, y terminaremos con algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de seno sin(x)

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada del seno.

Ver demostración

CÁLCULO
Derivada de seno sin(x)

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada del seno.

Ver demostración

Demostración de la derivada de la función seno

La función trigonométrica seno de un ángulo se define como la relación de un lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo a la hipotenusa. Ilustrándolo a través de una figura, tenemos

triángulo rectángulo ABC

donde C es 90°. Para el triángulo rectángulo de muestra, obtener el seno del ángulo A se puede evaluar como

$latex \sin{(A)} = \frac{a}{c}$

donde A es el ángulo, a es su lado opuesto y c es la hipotenusa del triángulo rectángulo de la figura.

Antes de aprender la demostración de la derivada de la función seno, se recomienda aprender el teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa & Cho-Sha-Cao y el primer principio de los límites como requisitos previos.

Para repasar, cualquier función se puede derivar igualándola al límite de

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$latex f(x) = \sin{(x)}$

tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x+h)} – \sin{(x)} }{h}}$$

Analizando nuestra ecuación, podemos observar que el primer término en el numerador del límite es un seno de la suma de dos ángulos x y h. Con esta observación, podemos tratar de aplicar las identidades de suma y diferencia para seno y coseno, también llamadas identidades de Ptolomeo. Aplicando esto, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x+h)} – \sin{(x)} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ (\sin{(x)}\cos{(h)} + \cos{(x)}\sin{(h)}) – \sin{(x)} }{h}}$$

Intentemos reorganizar el numerador.

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x)}\cos{(h)} – \sin{(x)} + \cos{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$

Teniendo en cuenta el primer y segundo términos de nuestro numerador reorganizado, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x)} (\cos{(h)} – 1) + \cos{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$

Haciendo algunos arreglos algebraicos, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x)} (-(1-\cos{(h)})) + \cos{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ -\sin{(x)} (1-\cos{(h)}) + \cos{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \left( \frac{ -\sin{(x)} (1-\cos{(h)}) }{h} + \frac{ \cos{(x)}\sin{(h)} }{h} \right) }$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ -\sin{(x)} (1-\cos{(h)}) }{h} } + \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \cos{(x)}\sin{(h)} }{h} }$$

Como estamos calculando el límite en términos de h, todas las funciones que no sean h se considerarán constantes. Reorganizando, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) + \cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(h)} }{h} } \right)$$

De acuerdo con los límites de las funciones trigonométricas, el límite de la función trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ a $latex \theta$ cuando $latex \theta$ tiende a cero es igual a uno. Lo mismo se puede aplicar a $latex \sin{(h)}$ sobre $latex h$. Aplicando tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) + \cos{(x)} \cdot 1$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) + \cos{(x)}$$

Ya hemos evaluado el límite del último término. Sin embargo, el primer término aún es imposible de ser evaluado definitivamente debido al denominador $latex H$. Intentemos usar otra identidad trigonométrica y ver si el truco funcionará.

Podemos intentar usar la identidad del medio ángulo en el numerador del primer término.

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \left(2\sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)}\right) }{h} } \right) + \cos{(x)}$$

Aplicar las reglas de fracción al primer término y reorganizar algebraicamente una vez más, tenemos,

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \frac{\sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)}}{1} }{ \frac{h}{2} } }\right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} }} \right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} }} \right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right) }\right) + \cos{(x)}$$

Tenemos un seno de una variable sobre esa misma variable. En este caso, es $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ por todo $latex \frac{h}{2}$. Por lo tanto, podemos aplicar nuevamente los límites de las funciones trigonométricas de $latex \frac{\sin{(\theta)}}{\theta}$.

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot 1} \right) + \cos{(x)}$$

Finalmente, hemos logrado evaluar el límite del primer término. Evaluando sustituyendo el valor de aproximación de $latex h$, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}} \right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{0}{2}\right)}} \right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{(0)} }\right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} {0} \right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \cdot 0 + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \cos{(x)}$$

Por tanto, la derivada de la función trigonométrica ‘seno’ es:

$$\frac{d}{dx} (\sin{(x)}) = \cos{(x)}$$


Gráfico de Seno x vs. La derivada del seno x

Dada la función

$latex f(x) = \sin{(x)}$

el gráfico se ilustra como

Gráfica de seno sen(x)

Al derivar a la función $latex f(x) = \sin{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = \cos{(x)}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de derivada de sen(x)

Comparando sus gráficas, tenemos

Gráfica de sen(x) y su derivada

Analizando a las gráficas de estas funciones, se puede observar que la función original $latex f(x) = \sin{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [-1,1]$

mientras que la derivada $latex f'(x) = \cos{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [-1,1]$


Ejemplos

Los siguientes son algunos ejemplos sobre cómo derivar funciones seno compuestas.

EJEMPLO 1

¿Cuál es la derivada de $latex f(x) = \sin(4x)$?

Solución

EJEMPLO 2

Encuentra la derivada de la función $latex F(x) = \sin{\left(2x^2+3 \right)}$.

Solución

EJEMPLO 3

Deriva la función $latex f(x) = \sin(\sqrt{x})$

Solución

Práctica de derivadas de funciones seno compuestas

Práctica de derivadas de seno
Logo
¡Has completado los ejercicios!

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre derivadas de funciones trigonométricas? Mira estas páginas:

Imagen de perfil del autor Jefferson Huera Guzman

Jefferson Huera Guzmán

Jefferson es el autor principal y administrador de Neurochispas.com. Los contenidos interactivos de Matemáticas y Física que he creado han ayudado a muchos estudiantes.

Explora nuestros recursos de matemáticas.

Explorar