Derivada de Seno, sin(x) – Fórmula, Demostración y Gráficas

La Derivada del Seno es una de las primeras funciones trascendentales introducidas en Cálculo Diferencial (o Cálculo I). La derivada del seno es igual al coseno, cos(x). Esta derivada se puede demostrar usando límites y las identidades trigonométricas.

En este artículo, discutiremos cómo derivar la función trigonométrica seno. Cubriremos breves fundamentos, su fórmula, una comparación gráfica del seno y su derivada, una prueba, métodos para derivar y algunos ejemplos.

CÁLCULO
Derivada de seno sin(x)

Relevante para

Aprender sobre la demostración y gráficas de la derivada del seno.

Ver demostración

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Derivada de seno sin(x)

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Demostración de la derivada de la función seno

La función trigonométrica seno de un ángulo se define como la relación de un lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo a la hipotenusa. Ilustrándolo a través de una figura, tenemos

triángulo rectángulo ABC

donde C es 90°. Para el triángulo rectángulo de muestra, obtener el seno del ángulo A se puede evaluar como

$latex \sin{(A)} = \frac{a}{c}$

donde A es el ángulo, a es su lado opuesto y c es la hipotenusa del triángulo rectángulo de la figura.

Antes de aprender la demostración de la derivada de la función seno, se recomienda aprender el teorema de Pitágoras, Soh-Cah-Toa & Cho-Sha-Cao y el primer principio de los límites como requisitos previos.

Para repasar, cualquier función se puede derivar igualándola al límite de

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

Supongamos que nos piden obtener la derivada de

$latex f(x) = \sin{(x)}$

tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x+h)} – \sin{(x)} }{h}}$$

Analizando nuestra ecuación, podemos observar que el primer término en el numerador del límite es un seno de la suma de dos ángulos x y h. Con esta observación, podemos tratar de aplicar las identidades de suma y diferencia para seno y coseno, también llamadas identidades de Ptolomeo. Aplicando esto, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x+h)} – \sin{(x)} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ (\sin{(x)}\cos{(h)} + \cos{(x)}\sin{(h)}) – \sin{(x)} }{h}}$$

Intentemos reorganizar el numerador.

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x)}\cos{(h)} – \sin{(x)} + \cos{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$

Teniendo en cuenta el primer y segundo términos de nuestro numerador reorganizado, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x)} (\cos{(h)} – 1) + \cos{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$

Haciendo algunos arreglos algebraicos, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ \sin{(x)} (-(1-\cos{(h)})) + \cos{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$

$$ \frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} {\frac{ -\sin{(x)} (1-\cos{(h)}) + \cos{(x)}\sin{(h)} }{h}}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \left( \frac{ -\sin{(x)} (1-\cos{(h)}) }{h} + \frac{ \cos{(x)}\sin{(h)} }{h} \right) }$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ -\sin{(x)} (1-\cos{(h)}) }{h} } + \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \cos{(x)}\sin{(h)} }{h} }$$

Como estamos calculando el límite en términos de h, todas las funciones que no sean h se considerarán constantes. Reorganizando, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) + \cos{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{(h)} }{h} } \right)$$

De acuerdo con los límites de las funciones trigonométricas, el límite de la función trigonométrica $latex \sin{(\theta)}$ a $latex \theta$ cuando $latex \theta$ tiende a cero es igual a uno. Lo mismo se puede aplicar a $latex \sin{(h)}$ sobre $latex h$. Aplicando tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) + \cos{(x)} \cdot 1$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) + \cos{(x)}$$

Ya hemos evaluado el límite del último término. Sin embargo, el primer término aún es imposible de ser evaluado definitivamente debido al denominador $latex H$. Intentemos usar otra identidad trigonométrica y ver si el truco funcionará.

Podemos intentar usar la identidad del medio ángulo en el numerador del primer término.

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ (1-\cos{(h)}) }{h} } \right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \left(2\sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)}\right) }{h} } \right) + \cos{(x)}$$

Aplicar las reglas de fracción al primer término y reorganizar algebraicamente una vez más, tenemos,

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \frac{\sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)}}{1} }{ \frac{h}{2} } }\right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin^{2}{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} }} \right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} }} \right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \left( \frac{ \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} }{ \frac{h}{2} } \right) }\right) + \cos{(x)}$$

Tenemos un seno de una variable sobre esa misma variable. En este caso, es $latex \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}$ por todo $latex \frac{h}{2}$. Por lo tanto, podemos aplicar nuevamente los límites de las funciones trigonométricas de $latex \frac{\sin{(\theta)}}{\theta}$.

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)} \cdot 1} \right) + \cos{(x)}$$

Finalmente, hemos logrado evaluar el límite del primer término. Evaluando sustituyendo el valor de aproximación de $latex h$, tenemos

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{h}{2}\right)}} \right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{\left(\frac{0}{2}\right)}} \right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} { \sin{(0)} }\right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \left( \lim \limits_{h \to 0} {0} \right) + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = -\sin{(x)} \cdot 0 + \cos{(x)}$$

$$\frac{d}{dx} f(x) = \cos{(x)}$$

Por tanto, la derivada de la función trigonométrica ‘seno’ es:

$$\frac{d}{dx} (\sin{(x)}) = \cos{(x)}$$


¿Cómo derivar una función seno?

El proceso de derivación de una función seno es muy sencillo, suponiendo que ya haya aprendido los conceptos detrás del uso de la función seno y cómo llegamos a su fórmula derivada.

MÉTODO 1: Derivada del Seno de cualquier ángulo x en términos del mismo ángulo x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sin{(x)} \right) = \cos{(x)}$

Paso 1: Analiza si el seno de un ángulo es función de ese mismo ángulo. Por ejemplo, si el lado derecho de la ecuación es $latex \sin{(x)}$, comprueba si es una función del mismo ángulo x o f(x). Después de esto, continúe con el Paso 2 hasta que complete los pasos de derivación.

Nota: Si $latex \sin{(x)}$ es una función de un ángulo o variable diferente como F(t) o f(y), utilizará la diferenciación implícita que está fuera del alcance de este artículo.

Paso 2: Luego aplique directamente la fórmula derivada de la función seno

$latex \frac{dy}{dx} = \cos{(x)}$

Si nada se va a simplificar más, entonces esa sería la respuesta final.

MÉTODO 2: Derivada del Seno de cualquier función u en términos de x

$latex \frac{d}{dx} \left( \sin{(u)} \right) = \cos{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 1: Exprese la función como $latex F(x) = \sin{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función que no sea x.

Paso 2: Considere $latex \sin{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Por lo tanto, tenemos

$latex f(u) = \sin{(u)}$

y también

$latex g(x) = u$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la función seno, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sin{(u)} \right) = \cos{(u)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x) = u$. Use la regla de derivada apropiada que se aplica a $latex u$.

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \cos{(u)} \cdot \frac{d}{dx} (u)$

Paso 6: Sustituye $látex u$ en $látex f'(u)$.

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de función cuando corresponda para finalizar la respuesta.


Gráfico de Seno x vs. La derivada del seno x

Dada la función

$latex f(x) = \sin{(x)}$

el gráfico se ilustra como

Gráfica de seno sen(x)

Y como ya sabemos, al derivar $latex f(x) = \sin{(x)}$, obtenemos

$latex f'(x) = \cos{(x)}$

que se ilustra gráficamente como

Gráfica de derivada de sen(x)

Ilustrando ambos gráficos en uno, tenemos

Gráfica de sen(x) y su derivada

Analizando las diferencias de estas funciones a través de estas gráficas, puedes observar que la función original $latex f(x) = \sin{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [-1,1]$

mientras que la derivada $latex f'(x) = \cos{(x)}$ tiene un dominio de

$latex (-\infty,\infty)$ o todos los números reales

y existe dentro del rango de

$latex [-1,1]$


Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos del uso del primer o segundo método para derivar una función seno.

EJEMPLO 1

Deriva: $latex f(\beta) = \sin{(\beta)}$

Solución: Analizando la función seno dada, es solo un seno de un solo ángulo $latex \beta$. Por lo tanto, podemos usar el primer método para derivar este problema.

Paso 1: Analiza si el seno de $latex \beta$ es una función de $latex \beta$. En este problema, lo es. Por lo tanto, continúe con el paso 2.

Paso 2: Aplicar directamente la fórmula derivada de la función seno y derivar en términos de $latex \beta$. Dado que no se necesita más simplificación, la respuesta final es:

$latex f'(\beta) = \cos{(\beta)}$

EJEMPLO 2

Deriva: $latex F(x) = \sin{\left(4x^2+8 \right)}$

Solución: Analizando la función seno dada, es un seno de una función polinomial. Por lo tanto, podemos usar el segundo método para derivar este problema.

Paso 1: Exprese la función seno como $latex F(x) = \sin{(u)}$, donde $latex u$ representa cualquier función que no sea x. En este problema,

$latex u = 4x^2+8$

Sustituiremos esto más adelante cuando finalicemos la derivada del problema.

Paso 2: Considere $latex \sin{(u)}$ como la función externa $latex f(u)$ y $latex u$ como la función interna $latex g(x)$ de la función compuesta $latex F(x)$. Para este problema tenemos

$latex f(u) = \sin{(u)}$

y también

$latex g(x) = u = 4x^2+8$

Paso 3: Obtenga la derivada de la función externa $latex f(u)$, que debe usar la derivada de la función seno, en términos de $latex u$.

$latex \frac{d}{du} \left( \sin{(u)} \right) = \cos{(u)}$

Paso 4: Obtenga la derivada de la función interna $latex g(x)$ o $latex u$. Dado que nuestro $latex u$ en este problema es una función polinomial, usaremos la regla de la potencia y la suma/diferencia de derivadas para derivar $latex u$.

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = \frac{d}{dx} \left(4x^2+8 \right)$

$latex \frac{d}{dx}(g(x)) = 8x$

Paso 5: Aplique la fórmula básica de la regla de la cadena multiplicando algebraicamente la derivada de la función externa $latex f(u)$ por la derivada de la función interna $latex g(x)$

$latex \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (f(u)) \cdot \frac{d}{dx} (g(x))$

$latex \frac{dy}{dx} = \cos{(u)} \cdot 8x$

Paso 6: Substituye $latex u$ en $latex f'(u)$

$latex \frac{dy}{dx} = \cos{(u)} \cdot 8x$

$latex \frac{dy}{dx} = \cos{(4x^2+8)} \cdot 8x$

Paso 7: Simplifique y aplique cualquier ley de funciones siempre que corresponda para finalizar la respuesta.

$latex \frac{dy}{dx} = \cos{(4x^2+8)} \cdot 8x$

$latex \frac{dy}{dx} = 8x\cos{(4x^2+8)}$

Y la respuesta final es:

$latex F'(x) = = 8x\cos{\left(4x^2+8\right)}$

o también

$latex F'(x) = = 8x\cos{\left(4(x^2+2)\right)}$


Véase también

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